北師版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用3直角三角形第2課時(shí)直角三角形全等的判定復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．前面我們學(xué)習(xí)了判定兩個(gè)三角形全等的方法，方法有：SSSASASASAAS2．通過這些方法我們可以看出判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，已知條件中至少有一條邊對應(yīng)相等．如果在兩個(gè)三角形中已知兩邊對應(yīng)相等時(shí)，附加一個(gè)什么條件可以確定這兩個(gè)三角形全等？(附加一邊相等或兩邊的夾角相等，可以確定這兩個(gè)三角形全等．)3.如圖，已知∠CAB＝∠DBA，要使△ACB≌△BDA，還需要添加什么條件？請說明理由．添加___________，利用_______證明△ACB≌△BDA，添加________________，利用________證明△ACB≌△BDA；添加___________，利用________證明△ACB≌△BDA.CDABAC＝BDSAS∠ABC＝∠DABASA∠C＝∠DAAS4．如果附加的條件是其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形還全等嗎？你能畫圖舉例說明嗎？(如圖，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，△ABC與△ABD不全等．)●懸念激趣

舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員想知道這兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．(1)你能幫他想個(gè)辦法嗎？(2)如果他只帶了一個(gè)卷尺，能完成這個(gè)任務(wù)嗎？工作人員測量了每個(gè)三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個(gè)直角三角形是全等的”，你相信他的結(jié)論嗎？命題角度1直角三角形全等的判定探究新知在證明兩直角三角形全等時(shí)，要首先想到“HL”．至于選擇哪種方法證明全等，要以題目條件而定．問題

兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個(gè)三角形全等嗎?如果其中一組等邊的對角都是直角呢?ABCA′B′C′∥∥||它們?nèi)?在直角三角形中，若斜邊和一條直角邊確定，則另一條直角邊也就確定了，然后根據(jù)“SSS”即可判定兩個(gè)三角形全等.已知斜邊和一條直角邊，如何作出這個(gè)直角三角形呢?假設(shè)滿足條件的直角三角形已經(jīng)作出，你能畫出這個(gè)直角三角形的草圖嗎?你是按照怎樣的步驟畫這個(gè)草圖的？能，先畫出已知直角邊，取該直角邊的一個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，然后過直角頂點(diǎn)作該直角邊的垂線，再利用斜邊確定另一個(gè)頂點(diǎn)，從而畫出滿足“斜邊和一條直角邊“條件的直角三角形.思考實(shí)踐探究如圖，已知線段a，c(a<c)，用尺規(guī)作Rt△ABC，使∠C=90°，AB=c，BC=a.a

c作法圖形NCMBA1.作射線CN.2.過點(diǎn)C作射線CN的垂線CM.3.在射線CM上截取CB=a.4.以點(diǎn)B為圓心，以線段c的長為半徑作弧，交射線CN于點(diǎn)A.5.連接AB.△ABC就是所要作的直角三角形.把你作的三角形與同伴作的三角形進(jìn)行比較，它們一定全等嗎?可以發(fā)現(xiàn)：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.請你嘗試證明這一結(jié)論.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，求證△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).【探究1】做一做如圖，已知線段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.解：作法：(1)作∠MCN＝∠α＝90°；(2)在射線CM截取CB＝a；(3)以點(diǎn)B為圓心，線段c的長為半徑作弧，交射線CN于點(diǎn)A；(4)連接AB，得到Rt△ABC.MBCAN跟蹤訓(xùn)練如圖，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC.求證：AB=CD，AD∥BC.證明：∵AB⊥BD，CD⊥DB，∴∠ABD=∠CDB=90°.

∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴∠ADB=∠CBD，AB=CD.∴AD∥BC.例1

如圖，CB⊥AE于點(diǎn)B，AF＝CE，BF＝BE.若AB＝6，BF＝4，則CF＝____．

應(yīng)用舉例2例2如圖，已知PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，PC＝PD.求證：OC＝OD.證明：連接OP.OCDPAB∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90°.在Rt△OCP和Rt△ODP中，∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL).∴OC＝OD.OP＝OP，PC＝PD，命題角度2運(yùn)用“HL”定理解決問題HL定理與其他判定定理的最大不同就是，只需找一組直角邊和一組斜邊相等即可．在某些時(shí)候，到底是哪組直角邊對應(yīng)相等需要分類討論．【探究2】證明定理請證明命題：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等．已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).定理

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等三角形.這一定理可以簡述為“斜邊、直角邊”或“HL”.

ABCA′B′C′∥∥||歸納總結(jié)應(yīng)用舉例例3

如圖，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，點(diǎn)P和點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動(dòng)，且AB＝PQ，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AP＝________時(shí)，△ABC與△APQ全等．5或10例4如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點(diǎn)F.試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關(guān)系，并證明．解：BF⊥AE.證明如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.在Rt△BDC和Rt△AEC中，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).∴∠CBD＝∠CAE.∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠CBD＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.命題角度3方格作圖問題在方格中作圖要明確方格的特點(diǎn)：(1)每個(gè)小方格的邊長都是1；(2)出現(xiàn)很多直角．可以利用勾股定理求得圖形的邊長．應(yīng)用舉例【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意可知AB＝AC，AD邊共用，利用HL可證Rt△ABD≌Rt△ACD，得到BD＝CD.BDCA例1如圖，兩條長度為12m的繩子，一端系在旗桿的同一點(diǎn)上，另一端分別固定在地面的兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由．解：BD＝CD.理由如下：∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，∴BD＝CD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．BDCA應(yīng)用舉例例

如圖，有兩個(gè)長度相等的梯子，左邊梯子豎直方向的高度AC與右邊梯子水平方向的長度DF相等，兩個(gè)梯子的傾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么關(guān)系?解：根據(jù)題意，可知∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).∴∠CBA=∠DEF(全等三角形的對應(yīng)角相等).∵∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的兩個(gè)銳角互余)，∴∠CBA+∠EFD=90°.應(yīng)用舉例D隨堂練習(xí)1．如圖，O是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到AB，AC的距離OE＝OF，則直接判定△AEO≌△AFO的依據(jù)是()A．HLB．AASC．SSSD．ASAA2．如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM.其中正確的結(jié)論是__________．(填序號(hào))①②③3．如圖，D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE＝DF.求證：△ABC是等腰三角形．證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC＝90°，∠BFD＝90°.∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD＝DC.在Rt△BFD和Rt△CED中，∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．4.判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(3)兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(4)一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等.(1)假命題.Rt△ABC與Rt△A′B′C′不全等.4.判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(3)兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(4)一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等.(2)真命題.Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS).4.判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(3)兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(4)一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等.(3)真命題.Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS).4.判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個(gè)銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(3)兩條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等；(4)一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個(gè)直角三角形全等.(4)真命題.5.如圖，兩根長度均為1