2026年高等數(shù)學(xué)實(shí)變函數(shù)基礎(chǔ)試題及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學(xué)實(shí)變函數(shù)基礎(chǔ)試題及答案考核對(duì)象：高等院校數(shù)學(xué)、物理、工程等相關(guān)專業(yè)本科生題型分值分布：-判斷題（共10題，每題2分，總分20分）-單選題（共10題，每題2分，總分20分）-填空題（共10題，每題2分，總分20分）-簡(jiǎn)答題（共3題，每題4分，總分12分）-應(yīng)用題（共2題，每題9分，總分18分）總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.若集合A是可數(shù)集，則A的補(bǔ)集是不可數(shù)集。2.有界數(shù)列必有收斂子列。3.單調(diào)遞增數(shù)列若收斂，則其極限唯一。4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。5.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。6.若E是可測(cè)集，則E的補(bǔ)集也是可測(cè)集。7.對(duì)任意可測(cè)集E，有|E|=|E×{0}|，其中|·|表示勒貝格測(cè)度。8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上黎曼可積，則f(x)在[a,b]上勒貝格可積。9.單調(diào)函數(shù)的勒貝格積分與黎曼積分相等。10.若E是可數(shù)可測(cè)集，則E的勒貝格測(cè)度為0。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)集合是可數(shù)集？A.自然數(shù)集B.有理數(shù)集C.實(shí)數(shù)集D.無(wú)理數(shù)集2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上黎曼可積，則f(x)在[a,b]上的黎曼積分與下列哪個(gè)性質(zhì)無(wú)關(guān)？A.有界性B.單調(diào)性C.可積性條件（狄利克雷條件）D.連續(xù)性3.下列哪個(gè)函數(shù)在[0,1]上勒貝格不可積？A.f(x)=1/x（x≠0）B.f(x)=sin(x)C.f(x)=1（常數(shù)函數(shù)）D.f(x)=x4.若E是可測(cè)集，則E的勒貝格測(cè)度與下列哪個(gè)概念無(wú)關(guān)？A.外測(cè)度B.內(nèi)測(cè)度C.豪斯多夫測(cè)度D.勒貝格測(cè)度5.下列哪個(gè)命題是錯(cuò)誤的？A.若E是可數(shù)集，則E的勒貝格測(cè)度為0。B.若E是可測(cè)集，則E的補(bǔ)集也是可測(cè)集。C.若f(x)在[a,b]上勒貝格可積，則|f(x)|在[a,b]上勒貝格可積。D.若E是可測(cè)集，則E的勒貝格測(cè)度等于其外測(cè)度。6.下列哪個(gè)函數(shù)在[0,1]上黎曼不可積但勒貝格可積？A.f(x)=1（常數(shù)函數(shù)）B.f(x)=sin(1/x)（x≠0）C.f(x)=0（常數(shù)函數(shù)）D.f(x)=1/x（x≠0）7.若E是可數(shù)可測(cè)集，則E的勒貝格測(cè)度與下列哪個(gè)性質(zhì)無(wú)關(guān)？A.可數(shù)性B.可測(cè)性C.測(cè)度為0D.完備性8.下列哪個(gè)命題是正確的？A.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上勒貝格可積。B.若f(x)在[a,b]上勒貝格可積，則f(x)在[a,b]上連續(xù)。C.若f(x)在[a,b]上黎曼可積，則f(x)在[a,b]上勒貝格可積。D.若f(x)在[a,b]上勒貝格可積，則f(x)在[a,b]上黎曼可積。9.下列哪個(gè)集合是可測(cè)集？A.無(wú)理數(shù)集B.自然數(shù)集C.空集D.全體實(shí)數(shù)集10.下列哪個(gè)命題是錯(cuò)誤的？A.若E是可測(cè)集，則E的補(bǔ)集也是可測(cè)集。B.若E是可數(shù)集，則E的勒貝格測(cè)度為0。C.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上黎曼可積。D.若E是可測(cè)集，則E的勒貝格測(cè)度等于其外測(cè)度。三、填空題（每題2分，共20分）1.若集合A是可數(shù)集，則A的勒貝格測(cè)度為______。2.有界數(shù)列必有______子列。3.單調(diào)遞增數(shù)列若收斂，則其極限唯一，記為______。4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上______可積。5.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有______。6.若E是可測(cè)集，則E的補(bǔ)集也是______。7.對(duì)任意可測(cè)集E，有|E|=|E×{0}|，其中|·|表示______。8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上黎曼可積，則f(x)在[a,b]上______可積。9.單調(diào)函數(shù)的勒貝格積分與______積分相等。10.若E是可數(shù)可測(cè)集，則E的勒貝格測(cè)度為______。四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述可數(shù)集的定義及其性質(zhì)。2.簡(jiǎn)述黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別。3.簡(jiǎn)述可測(cè)集的定義及其性質(zhì)。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.設(shè)E為[0,1]區(qū)間內(nèi)所有有理數(shù)的集合，證明E的勒貝格測(cè)度為0。2.設(shè)f(x)=x^2在[0,1]上定義，計(jì)算f(x)的勒貝格積分。標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（可數(shù)集的補(bǔ)集未必不可數(shù)，如自然數(shù)集的補(bǔ)集是全體實(shí)數(shù)的可數(shù)子集，但全體實(shí)數(shù)不可數(shù)）2.√（根據(jù)波爾查諾定理，有界數(shù)列必有收斂子列）3.√（單調(diào)遞增數(shù)列若收斂，其極限唯一）4.√（根據(jù)勒貝格積分定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上黎曼可積，從而勒貝格可積）5.√（根據(jù)有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，必有界）6.√（可測(cè)集的補(bǔ)集也是可測(cè)集）7.×（|E×{0}|=|E|·|{0}|=|E|，與E的可數(shù)性無(wú)關(guān)）8.×（黎曼可積的函數(shù)未必勒貝格可積，如狄利克雷函數(shù)）9.√（單調(diào)函數(shù)的黎曼積分與勒貝格積分相等）10.√（可數(shù)可測(cè)集的勒貝格測(cè)度為0）二、單選題1.A（自然數(shù)集是可數(shù)集）2.D（連續(xù)性不是黎曼可積的必要條件）3.A（1/x在[0,1]上無(wú)界，不可積）4.C（豪斯多夫測(cè)度與勒貝格測(cè)度不同）5.B（可測(cè)集的補(bǔ)集未必可測(cè)，如非測(cè)集的補(bǔ)集）6.B（sin(1/x)在[0,1]上黎曼不可積但勒貝格可積）7.D（完備性不是可數(shù)可測(cè)集的性質(zhì)）8.C（黎曼可積的函數(shù)必勒貝格可積）9.C（空集是可測(cè)集）10.B（可數(shù)集的勒貝格測(cè)度為0，但未必是可數(shù)集）三、填空題1.02.收斂3.limsup4.勒貝格5.有界6.可測(cè)集7.勒貝格測(cè)度8.勒貝格9.黎曼10.0四、簡(jiǎn)答題1.可數(shù)集的定義及其性質(zhì)：可數(shù)集是指能與自然數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的集合，包括有限集和可數(shù)無(wú)限集。性質(zhì)：可數(shù)集的勒貝格測(cè)度為0，可數(shù)集的補(bǔ)集未必不可數(shù)。2.黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別：黎曼積分基于分割和取點(diǎn)，要求函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處間斷；勒貝格積分基于測(cè)度，對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)無(wú)要求，適用范圍更廣。3.可測(cè)集的定義及其性質(zhì)：可測(cè)集是指其補(bǔ)集是可測(cè)集的集合。性質(zhì)：可測(cè)集的勒貝格測(cè)度存在，可測(cè)集的補(bǔ)集也是可測(cè)集，可數(shù)可測(cè)集的測(cè)度為0。五、應(yīng)用題1.證明E的勒貝格測(cè)度為0：-E為[0,1]區(qū)間內(nèi)所有有理數(shù)的集合，是可數(shù)集。-對(duì)任意ε>0，將E中的有理數(shù)按序列表{q1,q2,q3,...}，構(gòu)造覆蓋E的集合：{q1,q2,...,qn}?[qi-1/2^(i+1),qi+1/2^(i+1)]，每個(gè)區(qū)間的測(cè)度為1/2^(i+1)，總