第2講概率、離散型隨機(jī)變量及其分布A組基礎(chǔ)題組1.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B4,A.3 B.4 C.6 D.72.(2017合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分(曲線C的方程為x2y=0)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A.5000 B.6667 C.7500 D.78543.(2017合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測的次數(shù)為ξ,則E(ξ)=()A.3 B.72C.185 4.先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別有1,2,3,4,5,6六個(gè)點(diǎn)),落在水平桌面后,記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,設(shè)事件A為“x+y為偶數(shù)”,事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,則概率P(B|A)=()A.12 B.13 C.14 5.在三棱錐SABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,使得三棱錐PABC的體積滿足V三棱錐PABC<12V三棱錐SABCA.78 B.34 C.12 6.(2017張掖第一次診斷考試)在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)θ,則使2≤2sinθ+2cosθ≤2成立的概率為.

7.(2016四川,12,5分)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.

8.某商場在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng),凡在商場消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng),具體規(guī)則如下:每人最多可射擊3次,一旦擊中,則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊,否則一直射擊到3次為止.設(shè)甲每次擊中的概率為p(p≠0),射擊次數(shù)為η,若η的數(shù)學(xué)期望E(η)>74,則p的取值范圍是9.(2017合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇.方案甲:員工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為45方案乙:員工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為25(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列;(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng),哪個(gè)方案更劃算.10.(2017北京,17,13分)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時(shí)間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ);(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)

B組提升題組1.(2017浙江,8,5分)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)2.在底和高等長度的銳角三角形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,矩形的一邊BC在三角形的底邊上,如圖,在三角形內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自矩形內(nèi)的最大概率為.

3.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)某校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì),其中三級(jí)跳遠(yuǎn)的成績在8.0米(四舍五入,精確到0.1米)以上的進(jìn)入決賽,把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,分成6組,畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖),已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小組的頻數(shù)是7.(1)求進(jìn)入決賽的人數(shù);(2)若從該校學(xué)生(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取2人,記X表示2人中進(jìn)入決賽的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn),甲的成績均勻分布在8~10米之間,乙的成績均勻分布在9.5~10.5米之間,現(xiàn)甲、乙各跳一次,求甲比乙跳得遠(yuǎn)的概率.4.(2017石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(一))為了調(diào)查某地區(qū)成年人血液的一項(xiàng)指標(biāo),現(xiàn)隨機(jī)抽取了成年男性、女性各20人組成一個(gè)樣本,對他們的這項(xiàng)血液指標(biāo)進(jìn)行了檢測,得到了如下莖葉圖.根據(jù)醫(yī)學(xué)知識(shí),我們認(rèn)為此項(xiàng)指標(biāo)大于40為偏高,反之即為正常.(1)依據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)研究此項(xiàng)血液指標(biāo)與性別的關(guān)系,列出2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為此項(xiàng)血液指標(biāo)與性別有關(guān)系;(2)以樣本估計(jì)總體,視樣本頻率為概率,現(xiàn)從本地區(qū)隨機(jī)抽取成年男性、女性各2人,求此項(xiàng)血液指標(biāo)為正常的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:K2=n(P(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879

答案精解精析A組基礎(chǔ)題組1.D∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B4,12則E(3X+1)=3E(X)+1=7,故選D.2.BS陰影=S正方形01x2dx=113=23,所以233.B由題意知,ξ的所有可能取值為2,3,4,P(ξ=2)=A22AP(ξ=3)=3×2×1+2×3×1+3×2×1A53P(ξ=4)=C32C所以E(ξ)=2×110+3×310+4×354.B正面朝上的點(diǎn)數(shù)(x,y)的不同結(jié)果共有C61·C61=36(種),事件A:“x+y為偶數(shù)”包含事件A1:“x,y都為偶數(shù)”與事件A2:“x,y都為奇數(shù)”兩個(gè)互斥事件,其中P(A1)=C31·C3136=14,P(A2)=C3事件B為“x,y中有偶數(shù)且x≠y”,所以事件AB為“x,y都為偶數(shù)且x≠y”,所以P(AB)=C31·C31-5.A三棱錐SABC與三棱錐PABC的底面相同,設(shè)三棱錐SABC的底面面積為S,則三棱錐PABC的高h(yuǎn)與三棱錐SABC的高h(yuǎn)'滿足13Sh<12×13點(diǎn)P位于棱臺(tái)A'B'C'ABC內(nèi)(如圖),其中A',B',C'分別為SA,SB,SC的中點(diǎn),易知棱臺(tái)的上底面的面積S'=14S,所以棱臺(tái)的體積為V三棱錐SABC18V三棱錐SABC=78V三棱錐SABC,故所求概率為76.答案1解析由2≤2sinθ+2cosθ≤2,得22≤sinθ+π4≤1,結(jié)合θ∈[0,π],得θ∈0,π2,∴使2≤27.答案3解析同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,至少有一枚硬幣正面向上的概率為1122=34∴均值是2×34=38.答案0解析由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1p)p,P(η=3)=(1p)2,則E(η)=p+2(1p)p+3(1p)2=p23p+3>74,解得p>52或p<129.解析(1)P(X=0)=15+45×12×1P(X=500)=45×12=P(X=1000)=45×12×45∴某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為X05001000P728(2)由(1)可知,選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)=0×725+500×25+1000×若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),中獎(jiǎng)次數(shù)ξ~B3,則E(ξ)=3×25=6故選擇方案甲較劃算.10.解析(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為1550(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C22C42=16,P(ξ=1)=C2所以ξ的分布列為ξ012P121故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.B組提升題組1.A解法一:∵E(ξ1)=0×(1p1)+1×p1=p1,同理,E(ξ2)=p2,又0<p1<p2,∴E(ξ1)<E(ξ2).D(ξ1)=(0p1)2(1p1)+(1p1)2·p1=p1p1同理,D(ξ2)=p2p2D(ξ1)D(ξ2)=p1p2(p12p22)=(p1p2)(1p∵0<p1<p2<12,∴1p1p2>0,∴(p1p2)(1p1p2∴D(ξ1)<D(ξ2).故選A.解法二:同解法一知E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)=p1p12,D(ξ2)=p2令f(x)=xx2,則f(x)在0,12上為增函數(shù),∵0<p1<p2<12,∴f(p1)<f(p2),即D(ξ2.答案1解析設(shè)AD=x,AB=y,則由三角形相似可得xa=a-ya,解得y=ax,所以矩形的面積S=xy=x(ax)≤x+a-x22=3.解析(1)第6小組的頻率為1(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,∴總?cè)藬?shù)為70由題圖易知第4、5、6組的學(xué)生均進(jìn)入決賽,人數(shù)為(0.28+0.30+0.14)×50=36,即進(jìn)入決賽的人數(shù)為36.(2)由題意知X的可能取值為0,1,2,∵進(jìn)入決賽的概率為3650=1825,X~P(X=0)=C20×7252=49625,P(X=1)=C21P(X=2)=C22×1825∴X的分布列為X012P49252324∴E(X)=2×1825=3625,即2人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為(3)設(shè)甲、乙各跳一次的成績分別為x米,y米,則基本事件滿足8≤設(shè)事件A為“甲比乙跳得遠(yuǎn)”,則x>y,作出可行域,如圖中陰影部分所示.∴由幾何概型得P(A)=12×1即甲比乙跳得遠(yuǎn)的概率為1164.解析(1)由莖葉圖可得2×2列聯(lián)表:正常偏高合計(jì)男性16420女性12820合計(jì)281240K2=n(ad-所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為此項(xiàng)血液指標(biāo)與性別有關(guān)系.(2)由樣本數(shù)據(jù)可知,男性正常的概率為45,女性正常