專題13隱圓、阿氏圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形題型方法目錄高頻考情深度解讀（高考命題規(guī)律透視+培優(yōu)備考要求）核心考點(diǎn)系統(tǒng)梳理（重難知識(shí)圖譜+解題結(jié)論與高效技巧）聚焦題型精準(zhǔn)解密（5大題型精講+變式拔高訓(xùn)練）題型一定義法構(gòu)建隱形圓（）題型二斜率/向量關(guān)系推導(dǎo)隱形圓（）題型三阿氏圓基本模型（）題型四阿氏圓、蒙日?qǐng)A等與圓錐曲線綜合（）題型五隱形圓/阿氏圓與立體幾何交匯（）實(shí)戰(zhàn)演練高效提分（高考仿真模擬+限時(shí)訓(xùn)練提升）高考中核心考向：隱圓、阿氏圓的軌跡方程求解與最值問題仍為高頻考點(diǎn)，占分約5-10分，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)?；A(chǔ)知識(shí)必備：隱圓：掌握定義法（距離定值、垂直關(guān)系、平方和定值）、斜率/向量關(guān)系推導(dǎo)圓方程的核心條件。阿氏圓：理解“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離比為定值λ（λ≠1）”的定義，熟練推導(dǎo)軌跡方程，牢記圓心、半徑公式。蒙日?qǐng)A：明確橢圓/雙曲線中“互相垂直切線交點(diǎn)的軌跡”性質(zhì)，掌握與圓錐曲線的結(jié)合要點(diǎn)。阿基米德三角形：熟悉拋物線切線構(gòu)成的三角形性質(zhì)，以及與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的關(guān)聯(lián)。輔助知識(shí)：坐標(biāo)系建立與坐標(biāo)轉(zhuǎn)化、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、圓的性質(zhì)（圓心、半徑、位置關(guān)系）、圓錐曲線基礎(chǔ)定義。2026高考預(yù)測(cè)：融合趨勢(shì)：跨模塊綜合加強(qiáng)，如阿氏圓與圓錐曲線（橢圓、拋物線）、立體幾何的交匯，隱圓與向量、斜率條件的結(jié)合。能力側(cè)重：側(cè)重“條件轉(zhuǎn)化”能力，如將斜率乘積、向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為圓的方程，將最值問題轉(zhuǎn)化為“圓心到定點(diǎn)距離±半徑”。拓展方向：蒙日?qǐng)A、阿基米德三角形的應(yīng)用概率上升，可能出現(xiàn)結(jié)合光學(xué)性質(zhì)、切線性質(zhì)的創(chuàng)新題型。重難知識(shí)匯總：隱圓構(gòu)建：定義法：距離定值（圓的基本定義）、PA⊥PB（以AB為直徑）、PA2+PB2=k（以AB中點(diǎn)為圓心）。條件轉(zhuǎn)化：斜率乘積為-1（垂直）、向量數(shù)量積/模長(zhǎng)關(guān)系代數(shù)化。阿氏圓核心：軌跡方程推導(dǎo)：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，代入距離比條件平方化簡(jiǎn)。核心參數(shù)：圓心在兩定點(diǎn)連線上，半徑r=|λ?AB|/|λ2-1|。最值求解：轉(zhuǎn)化為“圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離”，利用圓心到定點(diǎn)距離與半徑和差計(jì)算。綜合應(yīng)用：蒙日?qǐng)A與橢圓：互相垂直切線交點(diǎn)軌跡，圓心為橢圓中心，半徑與橢圓參數(shù)相關(guān)。阿基米德三角形：拋物線弦與切線構(gòu)成的三角形，焦點(diǎn)相關(guān)性質(zhì)、面積公式。立體幾何交匯：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)圓，通過(guò)截面圓要素（圓心、半徑）求解。常用技巧方法：軌跡方程求解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，代入條件（距離比、斜率、向量），配方整理為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。最值問題技巧：平面內(nèi)：轉(zhuǎn)化為“圓心到目標(biāo)點(diǎn)/直線的距離±半徑”。綜合題：利用圓錐曲線定義轉(zhuǎn)化（如拋物線“到準(zhǔn)線距離=到焦點(diǎn)距離”），結(jié)合“三點(diǎn)共線取最值”。跨模塊轉(zhuǎn)化：立體幾何→平面：確定動(dòng)點(diǎn)所在平面，將空間距離條件轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)圓的條件。圓錐曲線→圓：利用蒙日?qǐng)A、阿氏圓性質(zhì)，將曲線問題轉(zhuǎn)化為圓的位置關(guān)系問題易錯(cuò)避坑提效：1.忽略特殊點(diǎn)：如PA⊥PB時(shí)，需剔除A、B兩點(diǎn)（斜率不存在或無(wú)意義）；2.軌跡方程需排除不符合條件的點(diǎn)（如直線交點(diǎn)軌跡中的重合點(diǎn)）。3.方程化簡(jiǎn)錯(cuò)誤：阿氏圓推導(dǎo)中距離比平方后化簡(jiǎn)易出錯(cuò)，需注意展開后的移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)步驟。4.最值轉(zhuǎn)化失誤：混淆“圓心到定點(diǎn)距離±半徑”的適用場(chǎng)景（最大值用“+”，最小值用“-”）。5.立體幾何轉(zhuǎn)化偏差：空間軌跡轉(zhuǎn)化為平面圓時(shí)，誤判截面圓的圓心（如未找中點(diǎn)、垂足）或半徑。6.蒙日?qǐng)A應(yīng)用誤區(qū)：忽略“互相垂直切線”的前提，誤將普通切線交點(diǎn)歸為蒙日?qǐng)A上的點(diǎn)。題型一定義法構(gòu)建隱形圓方法點(diǎn)撥：識(shí)別圓的定義條件：距離定值對(duì)應(yīng)圓的基本定義，PA⊥PB對(duì)應(yīng)以AB為直徑的圓，PA2+PB2=k對(duì)應(yīng)以AB中點(diǎn)為圓心的圓。建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，代入條件化簡(jiǎn)得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（圓心+半徑）。結(jié)合圓的性質(zhì)求解：最值問題轉(zhuǎn)化為“圓心到目標(biāo)的距離±半徑”?！镜淅?1】（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（

）A．的方程為B．在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3C．在上存在點(diǎn)，使得D．上的點(diǎn)到直線的最小距離為1【答案】C【分析】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡(jiǎn)判斷；對(duì)B：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍，由此分析判斷；對(duì)C：設(shè)點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對(duì)D：結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此分析判斷.【詳解】對(duì)A：設(shè)點(diǎn)，∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對(duì)B：的圓心，半徑為，∵點(diǎn)到圓心的距離，則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；對(duì)C：設(shè)點(diǎn)，∵，則，整理得，∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；對(duì)D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.【典例02】（25-26高三上·安徽·月考）阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為點(diǎn)和相關(guān)的阿波羅尼斯圓.現(xiàn)已知點(diǎn)和相關(guān)的阿波羅尼斯圓為圓，其中點(diǎn)，且點(diǎn)P在該圓上，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（

）A．16 B．8 C．12 D．6【答案】A【分析】設(shè)，表示出，根據(jù)阿波羅尼斯圓定義得出點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值.【詳解】，

設(shè)，則，故，故=====，可得，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，Q，M四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值8，則的最小值為16.故選：A【變式01】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，若（且），則點(diǎn)P的軌跡是圓．后來(lái)人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，也叫阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，直線，P為，的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，分別求出所過(guò)的定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，得到的軌跡方程，由阿氏圓性質(zhì)找到點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為求解到兩定點(diǎn)距離之和最小即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為k，直線的斜率為，所以，綜上，，，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，由P為，的交點(diǎn)，則，設(shè)，連接EF，則點(diǎn)P的軌跡是以EF為直徑的圓（除去F點(diǎn)），圓心為線段EF的中點(diǎn)，半徑為，故P的軌跡方程為，根據(jù)題意作圖，如圖2所示，由題意可知圓C上一點(diǎn)，滿足，取，則，滿足，

下面證明對(duì)任意的，連接PD，都滿足，即，，，所以，連接DQ，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)D，P，Q三點(diǎn)共線，且P位于D，Q之間時(shí)取等號(hào)．故選：D．【變式02】（2025·寧夏吳忠·二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離的比值為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得點(diǎn)的軌跡方程為，數(shù)形結(jié)合得解.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取，．設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為．則可看作圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以，所以，即的最大值為，故選：A.【變式03】（24-25高三下·河南信陽(yáng)·開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在對(duì)圓錐曲線的研究過(guò)程中，還進(jìn)一步研究了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，例如拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．如圖所示，兩條平行于軸的入射光線，分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點(diǎn)反射后，兩條反射光線，又沿平行于軸的方向射出，則兩條反射光線，之間的距離為（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立拋物線計(jì)算求解點(diǎn)，最后應(yīng)用平行線距離計(jì)算求解.【詳解】由題意得，，，，設(shè)點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為，，直線AD：，聯(lián)立拋物線方程得，得，解得，，所以，同理直線BD：，聯(lián)立拋物線方程得，得，解得，，可得，所以兩條反射光線，之間的距離．故選：B.題型二斜率/向量關(guān)系推導(dǎo)隱形圓方法點(diǎn)撥：斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化：斜率乘積為-1等價(jià)于垂直，直接對(duì)應(yīng)直徑所對(duì)圓周角模型。向量條件代數(shù)化：設(shè)坐標(biāo)將數(shù)量積、模長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，配方整理為圓的方程。注意特殊點(diǎn)剔除：如PA⊥PB時(shí)，需剔除A、B兩點(diǎn)（無(wú)斜率或無(wú)意義情況）?！镜淅?1】（24-25高三上·云南昆明·期中）阿波羅尼斯，古希臘人，與阿基米德、歐幾里得一起被譽(yù)為古希臘三大數(shù)學(xué)家．阿波羅尼斯研究了眾多平面軌跡問題，其中阿波羅尼斯圓是他的論著中的一個(gè)著名問題：已知平面上兩點(diǎn)，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線：與曲線恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得曲線的方程，由題意可得對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，分類參數(shù)即可求解.【詳解】設(shè),因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)可得，所以曲線的圓心為，半徑為.因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，直線：與曲線恒有公共點(diǎn)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，即任意實(shí)數(shù)恒成立.因?yàn)?所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選:A.【典例02】（24-25高三下·安徽·開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果．其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出點(diǎn)的軌跡的方程，即可得到其圓心與半徑，再得到圓的圓心與半徑，即可判斷兩圓相交，再兩圓方程作差即可得到公共弦方程，求出圓心到公共弦所在直線的距離，最后由計(jì)算可得.【詳解】由題意知，化簡(jiǎn)得，其圓心為，半徑，又圓的圓心為，半徑，所以，且，所以兩圓相交，其公共弦所在的直線方程為，圓心到公共弦所在直線的距離，故公共弦長(zhǎng)為.故選：C【變式01】（24-25高三上·廣東·月考）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分，結(jié)合圖形分析可知圓心角，即可得結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因?yàn)?，即，整理得．所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分．設(shè)圓與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥?，，，則，可知，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選：D．【變式02】（24-25高三下·云南保山·期末）(多選題)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比值為一定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡的方程是B．過(guò)點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值是C．直線與點(diǎn)的軌跡相離D．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值是4【答案】ACD【分析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)，結(jié)合題意分析求解即可；對(duì)于B：分析可知點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：求圓心到直線的距離，即可判斷；對(duì)于D：分析可知當(dāng)時(shí)，取到最小值，四邊形面積取最小值，運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋砜傻?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因點(diǎn)的軌跡方程是，圓心是，半徑是，且，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦最短時(shí)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樗倪呅蚊娣e，由數(shù)形分析可知：當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以四邊形面積取最小值，故D正確；故選：ACD．【變式03】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線.用垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面傾斜，可得到橢圓.如圖，現(xiàn)有一個(gè)軸截面為等腰的圓錐PO，過(guò)點(diǎn)A及線段PB的中點(diǎn)M的某平面截圓錐PO，得到一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，取線段AM的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，過(guò)Q作交底面圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF分別交橢圓于點(diǎn)G，H，則橢圓短軸長(zhǎng)，由相似三角形求得，從而可解離心率.【詳解】如圖，

圓錐的軸截面是等腰直角三角形，于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作平面截該圓錐，不妨設(shè)，則，，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，取線段AM的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，過(guò)Q作交底面圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，PF分別交橢圓于點(diǎn)G，H，則橢圓短軸長(zhǎng)，由橢圓的對(duì)稱性可知，取BQ的中點(diǎn)N，連接MN，則，，，因此，即，顯然Q，N是線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，即，，由相交弦定理得，解得，于是，，所以橢圓的離心率.題型三阿氏圓基本模型方法點(diǎn)撥：直接法求軌跡：設(shè)P(x,y)，代入距離比條件，平方后化簡(jiǎn)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。記住核心參數(shù)：圓心在AB所在直線上，圓心坐標(biāo)為，半徑r=|λ?AB|/|λ2-1|。最值求解技巧：轉(zhuǎn)化為“圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離”，利用圓心到定點(diǎn)距離與半徑的和差計(jì)算?！镜淅?1】（24-25高三上·山東煙臺(tái)·期末）(多選題)阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他研究發(fā)現(xiàn)：如果平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，且，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿氏圓.若點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之比為，則（

）A．點(diǎn)的軌跡方程為B．點(diǎn)到直線距離的最小值為C．點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為D．若到直線的距離為的點(diǎn)至少有3個(gè)，則【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A根據(jù)距離比化簡(jiǎn)可得；選項(xiàng)B轉(zhuǎn)化為圓心的直線的距離減半徑可判斷；選項(xiàng)C轉(zhuǎn)化為兩圓圓心距加兩個(gè)半徑可得；選項(xiàng)D轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于或等于可得.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，化簡(jiǎn)可得，故A正確；在圓上，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，故點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減半徑，即為，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離為到的距離加兩個(gè)半徑，即為，故C正確；若到直線的距離為的點(diǎn)至少有3個(gè)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，可得，故D正確，故選：ACD【典例02】（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓C的方程是B．過(guò)點(diǎn)A且斜率為的直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為C．圓C與圓有兩條公切線D．過(guò)點(diǎn)A作直線，若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，該直線斜率為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，設(shè)，再根據(jù)列式化簡(jiǎn)可得圓C的方程；對(duì)于B，根據(jù)垂徑定理求解即可；對(duì)于C，根據(jù)圓心間的距離與半徑和差的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而可得公切線條數(shù)；對(duì)于D，分直線斜率為0與不為0討論，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑的關(guān)系列式求解即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)可得圓C的方程是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線的方程為，即，圓的圓心，半徑，圓心到的距離為，故所求弦長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，圓的圓心，半徑，，則，故兩圓相交，有兩條公切線，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線方程為，過(guò)圓心C，而圓C的半徑為，則圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線距離為，不合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，由題意C到的距離等于，即，解得，故直線的斜率為，故D正確，故選：BCD.【變式01】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得，即，又，進(jìn)而由可得答案.【詳解】由為圓上一動(dòng)點(diǎn)，得，由為圓上一動(dòng)點(diǎn)，得，又.因?yàn)?，所以，于?當(dāng)共線且時(shí)取得最小值，即.所以，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：9．【變式02】（24-25高三下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線虛軸的上，下端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為4.點(diǎn)在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是雙曲線上一點(diǎn)，直線和的斜率滿足，則雙曲線方程是；【答案】【分析】據(jù)為雙曲線虛軸的上，下端點(diǎn)，可設(shè)設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式并化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，由題意知，可得，即，整理得，可得圓心為，半徑，所以的最大面積為，解得，即，設(shè)，則，則，可得，同理則，則，整理得，所以雙曲線的方程為.故答案為：.【變式03】（2024·西藏拉薩·一模）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用距離關(guān)系求得點(diǎn)的軌跡，求出圓心角，然后利用弧長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，因?yàn)?，即，整理?所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心4為半徑的圓的一部分.設(shè)圓與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥校?，，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：題型四阿氏圓、蒙日?qǐng)A等與圓錐曲線綜合方法點(diǎn)撥：拆分復(fù)合條件：先分別求出阿氏圓和圓錐曲線的核心要素（圓心、半徑、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線）。利用圓錐曲線定義轉(zhuǎn)化：如拋物線中“Q到準(zhǔn)線距離=|QF|”，將所求式子轉(zhuǎn)化為“|PQ|+|QF|”。共線最值原理：當(dāng)P、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)取最值，結(jié)合阿氏圓半徑計(jì)算?！镜淅?1】（2025·遼寧沈陽(yáng)·二模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來(lái)研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個(gè)平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為1，高為的圓錐SO中，AB、CD是底面圓O上互相垂直的直徑，E是母線SC上一點(diǎn)，，平面ABE截該圓錐面所得的曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案.【詳解】由題意的，，則，，所以，在中，，，，且，則，，，則，所以，由正弦定理得，，即.故選：C．【典例02】（2024·云南大理·一模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條互相垂直的切線，分別與交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，則（

）A．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B．面積的最大值為7C．的最小值為D．若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線的斜率分別記為，則【答案】ABC【分析】取橢圓上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的切線，建立齊次方程，即可判斷；根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式即可判斷；由于為圓的直徑，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，計(jì)算即可判斷；設(shè)，利用點(diǎn)差法即可判斷；【詳解】依題意，可設(shè)圓C方程為，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，所以，即，所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以面積的最大值為，故B正確；由于為圓的直徑，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，故C正確；由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是求解圓錐曲線問題中的解法，在直線與圓錐曲線問題中，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程，得到兩個(gè)等式，并對(duì)所得等式作差，化簡(jiǎn)得到相關(guān)結(jié)論.【變式01】（24-25高三上·安徽黃山·期末）蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)得橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A定義求得橢圓的蒙日?qǐng)A方程，根據(jù)為銳角可知直線與蒙日?qǐng)A相離，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系可求得范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，直線，與橢圓都相切，，所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，為橢圓上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足為銳角，點(diǎn)在圓外，又動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線與圓相離，，解得：，又，；橢圓離心率，，.故選：B.【變式02】（2025·河南信陽(yáng)·一模）(多選題)阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他曾經(jīng)定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點(diǎn)的切線交于P點(diǎn).關(guān)于阿基米德三角形PAB的說(shuō)法正確的有（

）A．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若為正三角形，則其面積為C．若，則的面積的最小值為D．一般情況下，的面積【答案】ABC【分析】設(shè)出直線的斜截式方程、點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及該方程兩根的和、積的關(guān)系.A：把拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進(jìn)行判斷即可；D：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】由題意可知：直線一定存在斜率，所以設(shè)直線的方程為：，由題意可知：點(diǎn)，不妨設(shè)，由，所以直線切線的方程分別為：，兩方程聯(lián)立得：，解得：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得：.對(duì)于A：拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，而，顯然點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切危杂?，則，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得：，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切危杂?，所以，因此正三角形的邊長(zhǎng)為，所以正三角形的面積為，故B正確；對(duì)于C：阿基米德三角形為直角三角形，當(dāng)時(shí)，所以，即，化簡(jiǎn)得，直線的方程為：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為：，又，因?yàn)?，所以，因此直角的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以其面積有最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，點(diǎn)到直線的距離為：，所以阿基米德三角形的面積為，故D不正確.故選：ABC.【變式03】（25-26高三上·河北滄州·期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了《圓錐曲線論》，此書中有許多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，記點(diǎn)P的軌跡為圓C，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓C的方程為B．的最大值為C．M為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為D．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為【答案】BCD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短、三角代換法、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式逐一判斷即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，整理得，所以圓C的方程為，故A錯(cuò)誤．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，故B正確．設(shè)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得因?yàn)椋?，所以?dāng)，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值．因?yàn)?，所以，故C正確．設(shè)，，因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故D正確．故選：BCD題型五隱形圓/阿氏圓與立體幾何交匯方法點(diǎn)撥：空間到平面轉(zhuǎn)化：確定動(dòng)點(diǎn)所在的平面，將空間距離條件轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的軌跡條件（如圓）。找截面圓關(guān)鍵要素：通過(guò)面面垂直、線面垂直關(guān)系確定截面圓的圓心（如中點(diǎn)、垂足）和半徑。平面內(nèi)求解后回歸空間：將空間最值轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)“圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離”的最值。【典例01】（2025·四川眉山·三模）(多選題)某廣場(chǎng)內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的(被稱作阿基米德體)，如圖所示，若該石凳的棱長(zhǎng)為，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面 B．該石凳的體積為C．，，，四點(diǎn)共面 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】AC【分析】由題意可得A正確；由正方體的體積減去八個(gè)三棱錐的體積可得B錯(cuò)誤；由圖中幾何關(guān)系可得C正確；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，代入空間點(diǎn)面距離公式可得D錯(cuò)誤.【詳解】“阿基米德體”是由如圖所示得到的，即“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn).A選項(xiàng)：由圖可知平面，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：∵，，，四點(diǎn)均是正方體個(gè)棱上中點(diǎn)，∴，且這個(gè)六條邊長(zhǎng)全相等，∴，，，四點(diǎn)共面，故C選擇正確；D選項(xiàng)：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵，∴正方體棱長(zhǎng)為4，∴，，，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，即，，∴點(diǎn)到平面的距離，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【典例02】（2025·黑龍江·二模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】利用直接法求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)結(jié)論圓外一點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的最小距離為圓外的點(diǎn)到圓心的距離與該圓的半徑的差，求的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，圓的圓心為，半徑為，又點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)，點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【變式01】（2025·四川宜賓·三模）(多選題)“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，某廣場(chǎng)的一張石凳就是一個(gè)阿基米德多面體，它是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的二十四等邊體，若它所有的棱長(zhǎng)都為2，則（

）A．該石凳的表面積為B．該石凳的體積為C．直線與的夾角為D．平面【答案】ABC【分析】將二十四等邊體補(bǔ)全成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，二十四等邊體是由6個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和8個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形圍成，所以表面積為，A正確；對(duì)于B，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，則該正方體的體積為，其中每個(gè)小三棱錐的體積為，所以該二十四面體的體積為，所以B正確；對(duì)于C，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，如圖，易知，與所成角為，所以直線與的夾角為，C正確；對(duì)于D，由正方體易知：，所成角為，所以所成角為，又在平面內(nèi)，所以平面不成立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC【變式02】（24-25高三上·江蘇泰州·月考）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓被稱為阿氏圓.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是；為的中點(diǎn)，則三棱錐體積的最小值為.【答案】；．【分析】以為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化后可得軌跡方程，從而得軌跡求得面積，利用空間向量法求得點(diǎn)到平面的距離，并結(jié)合平面上圓的性質(zhì)求得距離的最小值，從而得棱錐體積最小值．【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，在平面內(nèi)，設(shè)，則由得，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，面積為，在長(zhǎng)方體中，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，，到平面的距離為，滿足，所以的最小值等于，從而到平面的距離的最小值為，∴三棱錐體積的最小值為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在涉及到空間兩點(diǎn)間的距離問題時(shí)，如果與長(zhǎng)方體、正方體有關(guān)的圖形時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法（把平面解析幾何法類比于空間解析幾何法）求空間的距離、角度．把幾何問題用計(jì)算方法求解．【變式03】（24-25高三下·重慶·月考）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡(jiǎn)稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)P是正方體的表面（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn).（1）若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；（2）若E是靠近D的三等分點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值是.【答案】【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知可得所形成的阿氏圓；由題意可得，所以點(diǎn)P的軌跡為的一部分，當(dāng)P在上時(shí)，三棱錐的體積最大，進(jìn)而可求體積的最大值.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得，故點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，又，則，因?yàn)镋是靠近D的三等分點(diǎn)，所以，由（1）可知，點(diǎn)P的軌跡為的一部分，則當(dāng)P在上時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)此時(shí)P為，所以，則三棱錐體積的最大值是.（限時(shí)訓(xùn)練：15分鐘）1．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，直線：，直線：，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，得到的軌跡方程為，由阿氏圓性質(zhì)找到點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為求解到兩定點(diǎn)距離之和最小即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，：，：，此時(shí)交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，由直線：，斜率為，由直線：，斜率為，，又：，直線恒過(guò)，：，直線恒過(guò)，若為，的交點(diǎn)，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)、點(diǎn)；綜合以上兩種情況，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，則圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑為，故的軌跡方程為，即，又，，易知，在該圓內(nèi)，又由題意可知圓上一點(diǎn)滿足，取，則，滿足.下面證明任意一點(diǎn)都滿足，即，，又，，，又，，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且位于，之間時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.故選：2.（24-25高三上·北京·期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線的方程為②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)距離為6；③曲線上存在點(diǎn)，使得到直線的距離為；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)距離之和為8．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)M滿足，利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)整理，即可判斷①是否正確；通過(guò)確定圓上的點(diǎn)到（1，1）的距離的范圍來(lái)判斷②是否正確；通過(guò)確定圓上的點(diǎn)到直線的距離的范圍來(lái)判斷③是否正確；由橢圓的定義，可知F在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線W的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確．【詳解】設(shè)，因?yàn)镸滿足，所以，整理可得：，即，所以①正確；對(duì)于②，由①可知，點(diǎn)在圓的外部，因?yàn)榈綀A心的距離，半徑為2，所以圓上的點(diǎn)D到的距離的范圍為，而，所以②不正確；對(duì)于③，圓心到直線的距離為，即直線和圓相交，所以圓上的點(diǎn)E到直線的距離的范圍為，又，即，故③正確；對(duì)于④，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，使得F到點(diǎn)B與點(diǎn)的距離之和為8，則F在以點(diǎn)B與點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的橢圓上，即F在橢圓上，易知橢圓與曲線W：有交點(diǎn)，故曲線W上存在點(diǎn)F，使得F到點(diǎn)B與點(diǎn)的距離之和為8，所以④正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3，故選：C3．（25-26高三上·廣東深圳·期中）(多選題)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓C的方程是B．過(guò)點(diǎn)A向圓C引切線，兩條切線的夾角為C．若x，y滿足圓C的方程，則的最大值是D．過(guò)直線上的一點(diǎn)P向圓C引切線，則四邊形的面積的最小值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)即可判斷；對(duì)于B，設(shè)切線夾角為，可得；對(duì)于C，設(shè)，由題意直線與圓有公共點(diǎn)，列式求解即可；對(duì)于D，由條件得四邊形面積的表達(dá)為，求最小值即可．【詳解】對(duì)于A，設(shè)，因?yàn)?，，，則，化簡(jiǎn)得，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，圓心，半徑，，點(diǎn)在圓外，設(shè)兩條切線的夾角為，所以，又，解得，則，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，由題意直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，即，解得，故的最大值是，故C正確；對(duì)于D，由題意可得四邊形的面積為，故只需求的最小值即可，的最小值為點(diǎn)C到直線的距離，即．所以四邊形的面積的最小值為，故D正確．故選：BCD．4．（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過(guò)橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，若圓不透明，則一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】由特殊切線求得蒙日?qǐng)A方程，求出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，求出過(guò)點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)即可得．【詳解】由題意直線和是橢圓的兩條相互垂直的切線，因此它們的交點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，從而，即蒙日?qǐng)A方程為，設(shè)從點(diǎn)出發(fā)的光線在軸上反向點(diǎn)為，如圖，反射光線是圓的切線（在蒙日?qǐng)A上此時(shí)為切點(diǎn)）時(shí)，路程為最大，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性知在直線上，因此是圓的切線，，．故選：B．

5.（24-25高三上·安徽·月考）(多選題)若動(dòng)點(diǎn)滿足且其中點(diǎn)是不重合的兩個(gè)定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，該軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿波羅尼斯圓已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為圓，則（

）A．圓的方程為B．若圓與線段交于點(diǎn)，則C．若點(diǎn)與點(diǎn)不共線，則面積的最大值為D．若點(diǎn)與點(diǎn)不共線，的周長(zhǎng)的取值范圍是【答案】ABD【分析】設(shè)點(diǎn)代入關(guān)系式化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為一個(gè)圓，然后依次對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷