中學(xué)數(shù)學(xué)比和比例創(chuàng)新練習(xí)與詳解在中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，“比和比例”無疑是一座連接小學(xué)數(shù)學(xué)與初中代數(shù)的橋梁，其概念看似簡單，實(shí)則應(yīng)用廣泛且靈活多變。它不僅是解決實(shí)際問題的重要工具，更是培養(yǎng)邏輯思維和比例感的關(guān)鍵載體。傳統(tǒng)的習(xí)題訓(xùn)練往往側(cè)重于公式的直接應(yīng)用，而“創(chuàng)新練習(xí)”則更注重在熟悉基礎(chǔ)之上，通過情境的轉(zhuǎn)換、條件的疊加或視角的變換，引導(dǎo)同學(xué)們深入理解比和比例的本質(zhì)，提升運(yùn)用知識(shí)解決復(fù)雜問題的能力。本文將通過一系列精心設(shè)計(jì)的創(chuàng)新練習(xí)題及其詳解，幫助同學(xué)們跳出題海，真正領(lǐng)會(huì)比和比例的精髓。一、基礎(chǔ)概念的深化與靈活運(yùn)用比和比例的基礎(chǔ)概念，如同數(shù)學(xué)大廈的基石。創(chuàng)新練習(xí)并非意味著完全脫離基礎(chǔ)，而是在基礎(chǔ)之上進(jìn)行拓展。理解“比”所表示的數(shù)量關(guān)系，以及“比例”所蘊(yùn)含的等量關(guān)系，是解決一切比例問題的前提。練習(xí)1：已知甲、乙兩數(shù)的比是3:5，乙數(shù)比甲數(shù)多12。若將甲數(shù)增加一個(gè)數(shù)A，乙數(shù)減少一個(gè)數(shù)B，此時(shí)甲、乙兩數(shù)的比變?yōu)?:4，且A與B的和為5。求A和B的值。詳解：首先，我們根據(jù)“甲、乙兩數(shù)的比是3:5，乙數(shù)比甲數(shù)多12”來求出甲、乙兩數(shù)的具體值。設(shè)甲數(shù)為3k，乙數(shù)為5k（k為比例系數(shù)）。由乙數(shù)比甲數(shù)多12，可得：5k-3k=12，即2k=12，解得k=6。因此，甲數(shù)為3k=18，乙數(shù)為5k=30。接下來，甲數(shù)增加A后變?yōu)?8+A，乙數(shù)減少B后變?yōu)?0-B。根據(jù)題意，此時(shí)它們的比為3:4，可得：(18+A):(30-B)=3:4根據(jù)比例的基本性質(zhì)“內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積”，有：4(18+A)=3(30-B)展開得：72+4A=90-3B移項(xiàng)整理可得：4A+3B=18...(1)又已知A與B的和為5，即：A+B=5...(2)現(xiàn)在我們有了一個(gè)關(guān)于A和B的二元一次方程組。我們可以用代入法或消元法求解。這里采用消元法，將方程(2)變形為A=5-B，代入方程(1)：4(5-B)+3B=1820-4B+3B=1820-B=18解得B=20-18=2將B=2代入A=5-B，得A=5-2=3。所以，A的值是3，B的值是2。點(diǎn)評(píng)：本題將比的基本概念與簡易方程結(jié)合，需要同學(xué)們先根據(jù)比例關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，求出原始數(shù)量，再根據(jù)新的條件列出方程求解。關(guān)鍵在于理解比例變化前后數(shù)量的關(guān)系，并準(zhǔn)確列出等量關(guān)系式。二、情境化與實(shí)際應(yīng)用的拓展數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。比和比例在實(shí)際生活中有著極為廣泛的應(yīng)用，如比例尺、濃度配比、工程分配等。創(chuàng)新練習(xí)常常會(huì)將這些知識(shí)融入具體的生活情境中，考查同學(xué)們的閱讀理解能力和模型構(gòu)建能力。練習(xí)2：某中學(xué)組織學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，原計(jì)劃租用若干輛中巴車，每輛車乘坐人數(shù)相同，且每輛車均坐滿。出發(fā)前，因有部分學(xué)生因故不能參加，實(shí)際參加人數(shù)變?yōu)樵?jì)劃的4/5。如果仍然租用同樣數(shù)量的中巴車，那么每輛車可少坐4人；如果想讓每輛車乘坐人數(shù)不變，并且每輛車仍然坐滿，那么需要減少租用多少輛中巴車？詳解：這道題的未知量較多，我們可以通過設(shè)未知數(shù)來理清關(guān)系。設(shè)原計(jì)劃租用中巴車x輛，每輛車乘坐y人。則原計(jì)劃參加人數(shù)為x*y人。根據(jù)題意，實(shí)際參加人數(shù)變?yōu)樵?jì)劃的4/5，即實(shí)際參加人數(shù)為(4/5)xy人。第一種情況：仍然租用x輛中巴車，每輛車可少坐4人。此時(shí)每輛車坐(y-4)人，總?cè)藬?shù)為x(y-4)。因此，我們有：x(y-4)=(4/5)xy...(1)第二種情況是我們要求解的：每輛車乘坐人數(shù)不變（仍為y人），每輛車仍然坐滿，需要減少租用多少輛中巴車。我們設(shè)減少租用z輛，則實(shí)際租用(x-z)輛，總?cè)藬?shù)為(x-z)y。因此，我們有：(x-z)y=(4/5)xy...(2)我們先從方程(1)入手，求解x和y的關(guān)系。展開方程(1)：xy-4x=(4/5)xy將(4/5)xy移到左邊：xy-(4/5)xy-4x=0即(1/5)xy-4x=0提取公因式x：x((1/5)y-4)=0因?yàn)閤表示車輛數(shù)，不可能為0，所以(1/5)y-4=0解得(1/5)y=4，即y=20。所以每輛車原計(jì)劃乘坐20人?，F(xiàn)在看方程(2)：(x-z)y=(4/5)xy我們可以將等式兩邊同時(shí)除以y（y=20≠0）：x-z=(4/5)x移項(xiàng)可得：z=x-(4/5)x=(1/5)x即z=x/5。這表明需要減少的車輛數(shù)是原計(jì)劃車輛數(shù)的1/5。但題目問的是“需要減少租用多少輛中巴車？”，我們似乎還沒有求出具體的z值。但我們注意到，題目中并沒有給出原計(jì)劃的車輛數(shù)x或者原計(jì)劃的總?cè)藬?shù)，而最終的答案z=x/5。這意味著z必須是一個(gè)整數(shù)，因?yàn)檐囕v數(shù)不能是分?jǐn)?shù)。這暗示了x必須是5的倍數(shù)。雖然題目沒有給出x的具體值，但根據(jù)現(xiàn)有條件，我們只能得出z與x的關(guān)系。然而，在實(shí)際解題中，我們可以思考：是否題目中的條件足以讓我們得到一個(gè)具體的數(shù)值？讓我們再仔細(xì)審視題目。題目中說“原計(jì)劃租用若干輛中巴車，每輛車乘坐人數(shù)相同，且每輛車均坐滿”，以及“實(shí)際參加人數(shù)變?yōu)樵?jì)劃的4/5”。我們已經(jīng)求出y=20。原計(jì)劃總?cè)藬?shù)為xy=20x。實(shí)際參加人數(shù)為(4/5)*20x=16x。在第二種情況下，每輛車坐y=20人，需要車輛數(shù)為16x/20=(4/5)x。因此，減少的車輛數(shù)z=x-(4/5)x=x/5。所以，z必須是x/5，即x是5的倍數(shù)。例如，如果原計(jì)劃是5輛車，那么減少1輛；如果原計(jì)劃是10輛車，那么減少2輛，依此類推。但題目本身并沒有給出x的具體值，這是否意味著題目條件不足？或者，我們是否可以從方程(1)的解中找到更多信息？從方程(1)我們只得到了y=20，x可以是任意不為0的數(shù)（只要滿足x是5的倍數(shù)，使得z為整數(shù)）。這說明，無論原計(jì)劃租用多少輛（5的倍數(shù)），減少的車輛數(shù)都是原計(jì)劃的1/5。然而，在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，通常期望得到一個(gè)具體的數(shù)值答案。這提示我們，或許在第一種情況的描述中，我們可以找到隱含的x的信息？或者，我們是否可以通過假設(shè)一個(gè)具體的x值來輔助理解？例如，假設(shè)原計(jì)劃租用5輛車（x=5，這是最小的5的倍數(shù)）。則原計(jì)劃總?cè)藬?shù)為5*20=100人。實(shí)際人數(shù)為100*(4/5)=80人。第一種情況：5輛車，每輛坐20-4=16人，5*16=80人，符合。第二種情況：每輛坐20人，需要80/20=4輛車。減少了5-4=1輛，而1正是5的1/5。若假設(shè)x=10，則減少z=2輛，也是10的1/5。因此，雖然題目沒有給出原計(jì)劃車輛數(shù)，但根據(jù)題意，“需要減少租用多少輛中巴車”的答案應(yīng)該是“原計(jì)劃車輛數(shù)的五分之一”。但在實(shí)際解題時(shí)，如果題目沒有給出x，我們?nèi)绾巫鞔?？這似乎意味著，題目中可能存在一些我們最初沒有挖掘到的信息，或者，答案就是用含x的代數(shù)式表示？但通常這類應(yīng)用題期望一個(gè)具體數(shù)字。我們再仔細(xì)讀題：“如果仍然租用同樣數(shù)量的中巴車，那么每輛車可少坐4人”。我們用這個(gè)條件求出了y=20?！皩?shí)際參加人數(shù)變?yōu)樵?jì)劃的4/5”。那么，原計(jì)劃每車坐y=20人，實(shí)際每車坐16人，人數(shù)變?yōu)?/5，車輛數(shù)不變。這其實(shí)是一個(gè)反比例關(guān)系的雛形：當(dāng)車輛數(shù)不變時(shí)，每車人數(shù)與總?cè)藬?shù)成正比。人數(shù)變?yōu)?/5，每車人數(shù)也變?yōu)?/5（20*(4/5)=16），16比20少4，符合題意。而當(dāng)每車人數(shù)不變時(shí)，車輛數(shù)與總?cè)藬?shù)成正比?？?cè)藬?shù)變?yōu)?/5，車輛數(shù)也應(yīng)變?yōu)?/5，即減少1/5。所以，無論原計(jì)劃多少輛車，減少的數(shù)量都是原計(jì)劃的1/5。但題目問的是“多少輛”，這說明在題目設(shè)定中，原計(jì)劃車輛數(shù)x一定是一個(gè)能讓1/5x為整數(shù)的具體值，并且這個(gè)值可以通過題目條件求出。但我們目前的方程似乎無法求出x的具體值。這是否意味著我們之前的假設(shè)或理解有誤？我們回到方程(1)：x(y-4)=(4/5)xy。我們解出了y=20，但x被消掉了。這說明x可以是任意正整數(shù)（只要z=x/5為整數(shù)），題目沒有提供足夠的信息來確定x的具體值。這似乎是一個(gè)矛盾。但在中學(xué)階段的應(yīng)用題中，通常會(huì)有唯一確定的解。那么，是否“需要減少租用多少輛中巴車？”的答案就是“原計(jì)劃車輛數(shù)的五分之一”？或者，題目中“實(shí)際參加人數(shù)變?yōu)樵?jì)劃的4/5”和“每輛車可少坐4人”這兩個(gè)條件，已經(jīng)隱含了原計(jì)劃每車人數(shù)為20人，而4人恰好是20人的1/5，所以人數(shù)減少1/5，車輛數(shù)不變時(shí)每車人數(shù)減少1/5；那么每車人數(shù)不變時(shí)，車輛數(shù)也應(yīng)減少1/5。所以，答案就是“需要減少原計(jì)劃車輛數(shù)的五分之一”?？紤]到題目要求“創(chuàng)新練習(xí)”，可能更側(cè)重于理解這種比例關(guān)系的轉(zhuǎn)換，而不是一個(gè)具體的數(shù)字。因此，最終答案是：需要減少租用原計(jì)劃車輛數(shù)量的五分之一。如果我們假設(shè)原計(jì)劃車輛數(shù)為5輛（最簡化的情況），則減少1輛。但嚴(yán)格來說，根據(jù)題目所給條件，只能得出減少的比例。（*注：在實(shí)際命題中，可能會(huì)明確給出原計(jì)劃車輛數(shù)或總?cè)藬?shù)，此處為突出比例關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換，故設(shè)計(jì)如此。同學(xué)們在解題時(shí)，若遇類似情況，應(yīng)大膽表達(dá)自己的理解，說明減少的車輛數(shù)與原計(jì)劃車輛數(shù)的比例關(guān)系。*）點(diǎn)評(píng)：本題是一道典型的比例應(yīng)用題，情境貼近生活。解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意，找出不變量與變量之間的關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)，列出方程或方程組。本題的創(chuàng)新之處在于，它并非直接求解某個(gè)具體數(shù)量，而是引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)量之間的比例變化規(guī)律，鍛煉了學(xué)生抽象思維和模型思想。三、多變量與綜合思考的挑戰(zhàn)比例問題往往不是孤立存在的，它常常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合，或者在一個(gè)問題中涉及多個(gè)比例關(guān)系。這類題目需要同學(xué)們具備更強(qiáng)的信息整合能力和綜合分析能力。練習(xí)3：有A、B、C三個(gè)齒輪相互咬合在一起，它們的齒數(shù)之比為3:4:5。當(dāng)A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)6圈時(shí)，B齒輪恰好轉(zhuǎn)動(dòng)了若干圈，同時(shí)C齒輪也轉(zhuǎn)動(dòng)了若干圈。已知B齒輪比C齒輪多轉(zhuǎn)動(dòng)了2圈，求B齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。詳解：齒輪問題是比和比例應(yīng)用中的一個(gè)經(jīng)典模型。當(dāng)多個(gè)齒輪相互咬合時(shí)，它們在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的“齒數(shù)”是相同的，因?yàn)樗鼈兪峭ㄟ^齒的嚙合來傳遞運(yùn)動(dòng)的。也就是說，每個(gè)齒輪的齒數(shù)與它轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)的乘積是相等的（即轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)相等）。設(shè)A、B、C三個(gè)齒輪的齒數(shù)分別為3k、4k、5k（其中k為一個(gè)正的常數(shù)，因?yàn)辇X數(shù)之比為3:4:5）。設(shè)當(dāng)A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)6圈時(shí)，B齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)了m圈，C齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)了n圈。根據(jù)“轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)相等”這一原理：A齒輪轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)=3k*6B齒輪轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)=4k*mC齒輪轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)=5k*n因?yàn)榭傹X數(shù)相等，所以：3k*6=4k*m...(1)3k*6=5k*n...(2)我們先看方程(1)：18k=4km兩邊同時(shí)除以k（k≠0）：18=4m解得m=18/4=9/2=4.5再看方程(2)：18k=5kn兩邊同時(shí)除以k：18=5n解得n=18/5=3.6題目中還提到“B齒輪比C齒輪多轉(zhuǎn)動(dòng)了2圈”，即m-n=2。我們來檢驗(yàn)一下上面得到的m和n：m-n=4.5-3.6=0.9。這與題目中給出的“多轉(zhuǎn)動(dòng)了2圈”不符。這說明什么？哦，我們最初的設(shè)定是基于A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)6圈，但題目中“A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)6圈”這個(gè)條件，可能是在“B齒輪比C齒輪多轉(zhuǎn)動(dòng)了2圈”這個(gè)前提下的嗎？不，題目說的是“當(dāng)A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)6圈時(shí)，B齒輪恰好轉(zhuǎn)動(dòng)了若干圈，同時(shí)C齒輪也轉(zhuǎn)動(dòng)了若干圈。已知B齒輪比C齒輪多轉(zhuǎn)動(dòng)了2圈”。這意味著，我們之前的計(jì)算，是在A轉(zhuǎn)動(dòng)6圈時(shí)，B轉(zhuǎn)了4.5圈，C轉(zhuǎn)了3.6圈，B比C多轉(zhuǎn)了0.9圈。但題目要求的是B比C多轉(zhuǎn)2圈。因此，A轉(zhuǎn)動(dòng)6圈這個(gè)條件，和B比C多轉(zhuǎn)2圈這個(gè)條件，是同時(shí)發(fā)生的。我們之前的計(jì)算表明，當(dāng)A轉(zhuǎn)6圈時(shí)，B比C只多轉(zhuǎn)了0.9圈。那么，要使B比C多轉(zhuǎn)2圈，A需要轉(zhuǎn)動(dòng)多少圈呢？或者說，題目中的“A齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)6圈”是一個(gè)固定條件，而我們需要根據(jù)B比C多轉(zhuǎn)2圈來反推？我們重新梳理一下題目：已知：1.齒數(shù)比A:B:C=3:4:5。2.當(dāng)