新人教版八年級(jí)上冊(cè)全等三角形經(jīng)典題型全等三角形是平面幾何的入門與基石，學(xué)好全等三角形，不僅能幫助我們解決線段相等、角相等的證明問(wèn)題，更能培養(yǎng)邏輯推理能力和空間想象能力。在新人教版八年級(jí)上冊(cè)的教材中，全等三角形的內(nèi)容占據(jù)了舉足輕重的地位。本文將結(jié)合教材重點(diǎn)，梳理全等三角形的經(jīng)典題型，并輔以解題思路與方法，希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供有益的參考。一、預(yù)備知識(shí)：全等三角形的判定依據(jù)在探討具體題型之前，我們首先要牢固掌握判定兩個(gè)三角形全等的幾個(gè)基本事實(shí)和定理，它們是解決所有全等問(wèn)題的“武器”：1.邊邊邊（SSS）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2.邊角邊（SAS）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。3.角邊角（ASA）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4.角角邊（AAS）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5.斜邊、直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）特別提醒：判定三角形全等，必須要有“邊”的參與，且“SSA”和“AAA”不能作為判定三角形全等的依據(jù)。二、經(jīng)典題型解析（一）基礎(chǔ)判定型：直接應(yīng)用判定定理這類題目條件相對(duì)直接，通過(guò)觀察圖形和已知條件，可直接選用合適的判定定理證明三角形全等。例1：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求證：△ABC≌△DEF。思路分析：已知AB=DE，AC=DF，這是兩組對(duì)應(yīng)邊相等。要證全等，還需第三組邊相等或這兩組邊的夾角相等。題目中給出BE=CF，觀察圖形可知，BE+EC=BC，CF+EC=EF，因此BC=EF。三組邊對(duì)應(yīng)相等，故可選用“SSS”判定。證明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性質(zhì)）即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已證）∴△ABC≌△DEF（SSS）例2：如圖，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求證：△ABC≌△ADC。思路分析：已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，這是一組邊和一組角對(duì)應(yīng)相等，且這組角是已知兩邊的夾角（AB與AC的夾角，AD與AC的夾角）。因此，可直接選用“SAS”判定。證明：在△ABC和△ADC中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAC（已知）AC=AC（公共邊）∴△ABC≌△ADC（SAS）方法提煉：仔細(xì)審題，標(biāo)記已知條件，對(duì)照判定定理，選擇最合適的定理。公共邊、公共角、對(duì)頂角等是隱含的已知條件，要善于發(fā)現(xiàn)。（二）間接條件型：挖掘隱含與轉(zhuǎn)化此類題目條件不直接給出全等所需的邊或角，需要通過(guò)簡(jiǎn)單的推理（如利用角平分線、垂直、平行線性質(zhì)、等式性質(zhì)等）將間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件。例3：如圖，已知∠1=∠2，∠B=∠D，AB=AD，求證：△ABC≌△ADE。思路分析：已知∠B=∠D，AB=AD。若能證明∠BAC=∠DAE，則可用“ASA”或“AAS”判定全等。觀察到∠1=∠2，而∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠2+∠DAC，根據(jù)等式性質(zhì)可得∠BAC=∠DAE。證明：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性質(zhì)）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中∠B=∠D（已知）AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已證）∴△ABC≌△ADE（ASA）例4：如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求證：AF=DE。思路分析：要證AF=DE，可考慮證明△ABF≌△DCE。已知AB=DC，∠B=∠C。若能證明BF=CE，則可用“SAS”判定全等。由BE=CF，根據(jù)等式性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上EF，可得BF=CE。證明：∵BE=CF（已知）∴BE+EF=CF+EF（等式的性質(zhì)）即BF=CE在△ABF和△DCE中AB=DC（已知）∠B=∠C（已知）BF=CE（已證）∴△ABF≌△DCE（SAS）∴AF=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）方法提煉：遇到“中點(diǎn)”、“角平分線”、“垂直”等條件時(shí)，要聯(lián)想到它們所蘊(yùn)含的等量關(guān)系。例如，角平分線意味著兩個(gè)角相等；垂直意味著兩個(gè)角是直角（90°）；中點(diǎn)意味著線段被平分。（三）添輔助線型：構(gòu)造全等的橋梁當(dāng)題目條件不足以直接證明全等時(shí)，添加輔助線是常用的手段。輔助線的添加要根據(jù)圖形特點(diǎn)和已知條件，目的是構(gòu)造出能證明全等的條件。例5：如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。思路分析：要證明AB+AC>2AD，考慮到AD是中線，即BD=CD，可通過(guò)“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形，將AB、AC、AD轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，利用三角形三邊關(guān)系證明。延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，則可證△ADC≌△EDB，從而得到BE=AC。在△ABE中，AB+BE>AE，即AB+AC>2AD。證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE?！逜D是△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線的定義）在△ADC和△EDB中AD=ED（所作）∠ADC=∠EDB（對(duì)頂角相等）CD=BD（已證）∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）在△ABE中，AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∵BE=AC，AE=AD+DE=2AD∴AB+AC>2AD（等量代換）例6：如圖，AB//CD，AD//BC，求證：AB=CD，AD=BC。思路分析：圖形為平行四邊形（雖然八年級(jí)上冊(cè)未正式學(xué)習(xí)，但可通過(guò)平行線性質(zhì)解決）。要證對(duì)邊相等，可連接對(duì)角線AC（或BD），構(gòu)造兩個(gè)三角形全等。利用平行線的性質(zhì)可得內(nèi)錯(cuò)角相等，再結(jié)合公共邊AC，可證△ABC≌△CDA。證明：連接AC。∵AB//CD（已知）∴∠BAC=∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AD//BC（已知）∴∠DAC=∠BCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在△ABC和△CDA中∠BAC=∠DCA（已證）AC=CA（公共邊）∠BCA=∠DAC（已證）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，BC=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）方法提煉：“倍長(zhǎng)中線”、“截長(zhǎng)補(bǔ)短”、“連接兩點(diǎn)”、“作高”等是常用的輔助線添加方法。輔助線的添加沒(méi)有固定模式，需要多練習(xí)、多總結(jié)，體會(huì)輔助線在“已知”和“未知”之間搭建橋梁的作用。（四）綜合應(yīng)用型：全等與性質(zhì)的結(jié)合這類題目不僅要求證明三角形全等，還需要利用全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）解決后續(xù)問(wèn)題，如證明線段相等、角相等、線段平行、垂直等。例7：如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，求證：AC//DF，BC//EF。思路分析：要證AC//DF，BC//EF，可通過(guò)證明內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)實(shí)現(xiàn)。由△ABC≌△DEF，可得∠A=∠EDF，∠ABC=∠E。因?yàn)椤螦和∠EDF是AC與DF被AE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，∠ABC和∠E是BC與EF被AE所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，所以內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。證明：∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A=∠EDF，∠ABC=∠E（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴AC//DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）BC//EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）方法提煉：證明完成后，要明確指出所用到的全等三角形的性質(zhì)，將全等的條件與最終要證的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。三、解題策略與溫馨提示1.審清題意，標(biāo)記已知：拿到題目后，仔細(xì)閱讀，將所有已知條件在圖形上用符號(hào)標(biāo)記出來(lái)（如相等的邊用相同的小豎線，相等的角用相同的弧線），有助于直觀分析。2.明確目標(biāo)，逆向思維：要證什么？需要什么條件才能證出這個(gè)目標(biāo)？如果需要證明三角形全等，是哪兩個(gè)三角形？它們已經(jīng)具備了哪些條件？還缺什么條件？3.選擇定理，嘗試構(gòu)建：根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)，選擇合適的全等判定定理。如果條件不足，思考如何通過(guò)添加輔助線或利用其他幾何性質(zhì)（如角平分線、垂直、平行、中點(diǎn)等）來(lái)補(bǔ)充條件。4.規(guī)范書(shū)寫，條理清晰：證明過(guò)程要做到步步有據(jù)，邏輯清晰?！霸凇鱔XX和△XXX中”、“∵”、“∴”等符號(hào)的使用要規(guī)范，寫出全等的三個(gè)條件時(shí)，注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母順序最好一致。5.善于總結(jié)