湖北省孝感市2026屆高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列選項(xiàng)中，與復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）相等的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，則中元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．73．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為（

）A．2 B． C．4 D．64．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且，則的值為（

）A． B． C． D．15．若點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則的值為（

）A． B． C． D．6．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C．6 D．107．已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．12 D．168．已知圓，直線(xiàn)，直線(xiàn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在，使得B．存在，使得與圓C相切C．，且，都與圓C相交，但被圓C截得的兩條弦長(zhǎng)不可能相等D．設(shè)圓心到，的距離分別為，，則為定值二、多選題9．關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．存在函數(shù)，使得恒成立B．存在函數(shù)，使得恒成立C．存在函數(shù)，使得恒成立D．存在函數(shù)，使得恒成立10．若三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1，M，N分別為棱，的中點(diǎn)，則（

）A． B．該三棱錐的表面積為C．該三棱錐外接球的體積為 D．異面直線(xiàn)，所成角的余弦值為11．曲線(xiàn)，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)在曲線(xiàn)C上，則點(diǎn)也一定在曲線(xiàn)C上B．若曲線(xiàn)C表示雙曲線(xiàn)，則其離心率C．若，則曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．不論為何值，直線(xiàn)與曲線(xiàn)C恒有兩個(gè)交點(diǎn)三、填空題12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，則．13．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，是數(shù)列的前n項(xiàng)積．若，則n的最小值為．14．某商場(chǎng)舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明的抽獎(jiǎng)箱中有六個(gè)相同的小球，編號(hào)分別為1、2、3、4、5、6．活動(dòng)規(guī)則如下：每位顧客連續(xù)有放回地抽取三次，若三次抽到的小球編號(hào)之和為5的倍數(shù)，則視為中獎(jiǎng)．現(xiàn)甲、乙、丙三位顧客依次參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，且每人是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立．記中獎(jiǎng)人數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望為．四、解答題15．已知函數(shù)（），且．(1)求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．16．2025年8月30日晚，以“知音湖北，與‘籃’共舞”為主題的湖北省全國(guó)百?gòu)?qiáng)縣籃球聯(lián)賽八支球隊(duì)分別在漢川、仙桃、潛江、枝江同時(shí)開(kāi)戰(zhàn)．湖北省以體育賽事為紐帶，推動(dòng)文體旅深度融合，為縣域經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展注入新動(dòng)能．組委會(huì)對(duì)其中5個(gè)參賽縣的宣傳費(fèi)用（萬(wàn)元）與現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)（百人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：參賽縣ABCDE宣傳費(fèi)用x（萬(wàn)元）23456現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)y（百人）1922242728(1)從這5個(gè)參賽縣中隨機(jī)抽取3個(gè)，記現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)不少于24百人的縣的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)利用最小二乘法求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)宣傳費(fèi)用為8萬(wàn)元時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)．附：線(xiàn)性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．17．如圖①，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段，為垂足．點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合．）

(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)矩形中，，．分別是矩形的四條邊的中點(diǎn)．（?。┤鐖D②，已知點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近原點(diǎn)的4等分點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，求的值；（ⅱ）如圖③，已知點(diǎn)是線(xiàn)段的等分點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段的等分點(diǎn)．證明：直線(xiàn)與（）的交點(diǎn)L在曲線(xiàn)上．18．已知長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N在棱上，且，，P為棱中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)平面把長(zhǎng)方體分割成兩部分，求較小部分幾何體的體積．19．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足以下條件：①；②當(dāng)時(shí)，；③對(duì)，均有，且．(1)用表示；(2)判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

參考答案1．A【詳解】．故選：A2．C【詳解】由且，解得全集，則，共有6個(gè)元素.故選：C.3．C【詳解】因?yàn)榇?，得，故?zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以，故選：C4．A【詳解】因?yàn)?，且，所以，，所以?shù)列的周期為2，故故選：A5．D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，，即，，所以，所以.故選：D6．B【詳解】中，由余弦定理得，又，所以，所以，記邊上的中點(diǎn)為M，因?yàn)?，所以，所?故選：B7．B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．故選：B8．D【詳解】對(duì)于A：若，則，即，無(wú)解，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線(xiàn)，令則，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，即在圓C內(nèi)，所以直線(xiàn)與圓C相交，所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C：若兩弦長(zhǎng)相等，則，所以，所以或，所以或，所以C錯(cuò)誤對(duì)于D：直線(xiàn)，令，則，所以直線(xiàn)也過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以為定值，所以D正確.故選：D9．BC【詳解】對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，函數(shù)與的定義域均為，因,故為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故AD錯(cuò)誤，令，可得，，故BC正確.故選：BC10．ACD【詳解】由題意三棱錐為棱長(zhǎng)為1的正四面體，對(duì)于A：因?yàn)樵谡拿骟w中，M為中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，平面，所以，所以A正確；對(duì)于B：因?yàn)檎拿骟w每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，所以此正四面體的表面積為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C：把該正四面體放在正方體中，如下圖所示：

設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則有，所以該正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以該正方體外接球的半徑為，即該正四面體外接球的半徑為，所以該正四面體外接球的體積為，所以C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，又，所以異面直線(xiàn)，所成角的余弦值為，所以D正確.故選：ACD11．ABD【詳解】A：將點(diǎn)代入方程左邊：由于在曲線(xiàn)上，故原式等于1，所以也在曲線(xiàn)上，該曲線(xiàn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以A正確.B：曲線(xiàn)方程可改寫(xiě)為：，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)方程為：，即標(biāo)準(zhǔn)雙曲線(xiàn)形式：，其中，，雙曲線(xiàn)離心率公式：，所以B正確.C：因?yàn)椋?，方程為：，是橢圓標(biāo)準(zhǔn)形式，可得：，，因?yàn)椋?，故，焦點(diǎn)在y軸上，所以C錯(cuò)誤.D：將直線(xiàn)代入曲線(xiàn)方程：，展開(kāi)：，整理成關(guān)于的二次方程：，根據(jù)判別式：，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)椋院愠闪?方程恒有兩個(gè)不同實(shí)根，直線(xiàn)與曲線(xiàn)恒有兩個(gè)交點(diǎn).所以D正確故選：ABD12．【詳解】根據(jù)題意可知，則可得，令，即，解之可得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以可知，，所以.故答案為：13．26【詳解】由題意，所以，由，可得，則有，解得或，又n為正整數(shù)，所以n的最小值是26．故答案為：2614．【詳解】由題意，三次抽獎(jiǎng)的所有情況共有種，和為5的倍數(shù)的情況有：①三個(gè)編號(hào)均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6共種；②恰有兩個(gè)編號(hào)相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3共種，③三個(gè)編號(hào)都相同5，5，5共1種，所以中獎(jiǎng)的概率，由題意，所以X的數(shù)學(xué)期望．故答案為：15．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，所以切線(xiàn)方程為，即為；（2）由條件可知，，因?yàn)?，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?16．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)，預(yù)測(cè)宣傳費(fèi)用8萬(wàn)元時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)為33.2百人【詳解】（1）因?yàn)橛^眾不少于24百人的縣共有3個(gè)，所以的可能取值為1，2，3，，，，所以分布列如下：123P所以；（2）由題意，，，，所以，，所以y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（百人），故預(yù)測(cè)宣傳費(fèi)用為8萬(wàn)元時(shí)現(xiàn)場(chǎng)觀眾人數(shù)為33.2百人．17．(1)(2)（?。?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)I的坐標(biāo)為由得，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，把，代入得：，即曲線(xiàn)的方程是：（2）（?。┯深}意，點(diǎn)，，，所以直線(xiàn)方程為由得所以由得所以由相似得（ⅱ）證明：由題知：，，，，直線(xiàn)方程：直線(xiàn)方程：聯(lián)立直線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程，得，所以代入直線(xiàn)方程得所以所以所以，點(diǎn)L在橢圓上.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）取中點(diǎn)Q，連接，，則，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以，則，又平面，平面，所以平面；（2）以D為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，又平面的一個(gè)法向量為，平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為；（3）取中點(diǎn)R，由（1）知，所以B，M，N，R四點(diǎn)共面，所以四邊形為梯形，設(shè)，則平面，平面，所以平面平面，所以直線(xiàn)，所以直線(xiàn)，直線(xiàn)，直線(xiàn)共點(diǎn)S，所以為三棱臺(tái)，顯然為體積較小部分，因?yàn)椋?/p>