第11講等比數(shù)列的前n項(xiàng)和內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材·學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型·強(qiáng)知識(shí)：核心題型舉一反三精準(zhǔn)練【題型01：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算】【題型02：等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用】【題型03：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)】【題型04：等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)】【題型05：等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系】【題型06：等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【題型07：等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題】第二步：記串知識(shí)·識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)·穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式為知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則．推廣：若，則．（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列．（3）若項(xiàng)數(shù)為，則，若項(xiàng)數(shù)為，則．（4）當(dāng)時(shí)，連續(xù)項(xiàng)的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）．注意：這里連續(xù)m項(xiàng)的和均非零．【題型01：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算】1．若一個(gè)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和等于3，前6項(xiàng)和等于，則該等比數(shù)列的第4項(xiàng)等于（

）A．16 B．8 C． D．2．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．0 B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則公比的值為（

）A．3 B． C． D．4．已知為等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，若，則．6．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.【題型02：等比數(shù)列的片段和性質(zhì)的應(yīng)用】7．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A． B． C． D．8．（多選）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A． B．C．，，成等比數(shù)列 D．9．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則.10．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.【題型03：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)】12．在等比數(shù)列中，已知，且公比，則該數(shù)列前100項(xiàng)的和是（

）A．150 B．200 C．250 D．30013．已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前2項(xiàng)之積為8，則（

）A．2 B．-2 C．-1 D．2或-214．已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．15．若等比數(shù)列共有奇數(shù)項(xiàng)，且所有奇數(shù)項(xiàng)和，所有偶數(shù)項(xiàng)和，末項(xiàng)是192，則公比.16．等比數(shù)列共有2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比.17．設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)的和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，求首項(xiàng)的值．【題型04：等比數(shù)列前n項(xiàng)和其他性質(zhì)】18．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．19．設(shè)公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列無(wú)最大值C．是數(shù)列中的最大值 D．20．設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.若存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.22．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)）.①②③的最大值為④的最大值為【題型05：等比數(shù)列中an與Sn的關(guān)系】23．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（多選）記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則（

）A． B．C． D．25．在數(shù)列中，它的前項(xiàng)和為（為常數(shù)），若是以為公比的等比數(shù)列，則（

）A．0 B．1 C．3 D．426．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．27．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．28．在等比數(shù)列中，前項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的值為．【題型06：等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】29．海南有著深厚的排球運(yùn)動(dòng)傳統(tǒng)，民間普及度高，被譽(yù)為“排球之鄉(xiāng)”．已知一個(gè)排球從4m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來(lái)高度的，當(dāng)這個(gè)排球第5次著地時(shí)，它經(jīng)過(guò)的總路程是（

）A． B． C． D．30．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤.問(wèn)本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的，第2關(guān)收稅金為剩余金的，第3關(guān)收稅金為剩余金的，第4關(guān)收稅金為剩余金的，第5關(guān)收稅金為剩余金的，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤.問(wèn)原來(lái)持金多少?”.記這個(gè)人原來(lái)持金為斤，則（

）A． B． C． D．31．近日，某網(wǎng)站發(fā)表了一項(xiàng)針對(duì)新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)的最新分析，該研究顯示，新冠病毒的中位潛伏期約4.75天，即病毒侵入人體到人體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)癥狀時(shí)平均4.75天；基本傳染數(shù)（R0）達(dá)3.77，即每位患者平均傳染3.77人．假如有一種細(xì)菌能夠殺死新冠病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘殺死一個(gè)新冠病毒的同時(shí)自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)有一個(gè)這樣的細(xì)菌和500個(gè)病毒，則細(xì)菌將新冠病毒全部殺死至少需要（

）A．7秒鐘 B．8秒鐘 C．9秒鐘 D．10秒鐘32．龍門石窟?莫高窟?云岡石窟?麥積山石窟并稱中國(guó)四大石窟.若某一石窟的某處浮雕像共7層，自上而下，每一層的浮雕像個(gè)數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個(gè)浮雕像，這些浮雕像構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層開始，往上每一層的浮雕像的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則的值為.33．已知一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它前一分鐘上升高度的60%，該熱氣球在前3分鐘里上升的總高度為（

）A． B． C． D．【題型07：等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題】34．已知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則（）A．264 B．520 C．521 D．26535．已知是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，．若的前5項(xiàng)和與的前4項(xiàng)和都等于，則（

）A．30 B．32 C．42 D．4636．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，且是和的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．37．已知數(shù)列滿足，若數(shù)列的前5項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第4項(xiàng)起依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.38．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)記，為數(shù)列的前項(xiàng)和.求39．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若，，成等差數(shù)列，其中p，q，r為正整數(shù)且，證明：，，是數(shù)列中連續(xù)的三項(xiàng).一、單選題1．《九章算術(shù)》中有問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說(shuō)今有蒲第一天長(zhǎng)高三尺，莞第一天長(zhǎng)高一尺，以后蒲每天長(zhǎng)高為前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高為前一天的兩倍.要使莞的長(zhǎng)度大于蒲的長(zhǎng)度（蒲與莞原先的長(zhǎng)度忽略不計(jì)），需要經(jīng)過(guò)的時(shí)間最少為（

）A．天 B．天 C．天 D．天2．?dāng)?shù)列中，，，若，則（

）A．11 B．10 C．9 D．83．某零件加工廠設(shè)備更新后，預(yù)計(jì)每月加工某零件的數(shù)量比上一個(gè)月增加10%.若該零件加工廠本月加工該零件1000件，從本月起（即本月為第1個(gè)月），該零件加工廠個(gè)月加工完2萬(wàn)件該零件，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．144．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.設(shè)甲：公比；乙：.則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12二、多選題7．已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．8．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且滿足；，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．等差數(shù)列的公差B．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為C．等比數(shù)列的公比D．等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為40或三、填空題9．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若，則.10．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，前6項(xiàng)和為189，則數(shù)列的公比.11．已知是遞增的等比數(shù)列，若，且的前項(xiàng)和，則.四、解答題12