1、鄧肯-張模型的發(fā)展與特點(diǎn)目前描述土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)模型有很多種，包括彈性和彈塑性兩大類。非線性彈性模型中，鄧肯張(DuncanChang)模型應(yīng)用最為廣泛的，它包括鄧肯張E-模型和修正后的鄧肯E- B模型，即Duncan 等提出的體積模量代替彈性模量的模型。1、鄧肯張E-模型1.1 雙曲線應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系鄧肯張E-模型是鄧肯等人根據(jù)大量一般土的三軸試驗(yàn)曲線關(guān)系而擬合出的一種應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的雙曲線模型，是一種目前廣泛應(yīng)用的增量彈性模型。它能反映巖土體變形的非線性特征，也可以體現(xiàn)應(yīng)力歷史對(duì)變形的影響。 （1）式中，a、b為試驗(yàn)常數(shù)。在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中，可以寫成下式： （2）將常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)的結(jié)果

2、進(jìn)行整理可以得到的關(guān)系式如下式所示： （3）由上式可以看出：二者近似成線性關(guān)系（見圖1），將實(shí)測(cè)的和繪制在同一坐標(biāo)下即可得到兩個(gè)實(shí)驗(yàn)常數(shù)a、b： a為直線的截距，b為直線的斜率。圖1 線性關(guān)系圖1.2 初始模量Ei在試驗(yàn)的起始點(diǎn)，即當(dāng)應(yīng)變很小時(shí)，由式(1)可得初始模量Ei為： （4）即a為初始彈性模量的倒數(shù)。而當(dāng)時(shí)，由式(1)可得到應(yīng)力的極限值右側(cè)限抗壓強(qiáng)度為： （5）由此可以看出b代表的是雙曲線的漸近線所對(duì)應(yīng)的極限偏差應(yīng)力的倒數(shù)。在土的試樣中，如果應(yīng)力應(yīng)變曲線近似于雙曲線關(guān)系，則往往是根據(jù)一定的應(yīng)變值（如）來確定土的強(qiáng)度，而不可能在試驗(yàn)中使無限大，求取；對(duì)于有峰值點(diǎn)的情況，取，這樣。定義破壞

3、比Rf為： （6）或 （7）一般Rf在0.751.0之間，并認(rèn)為Rf與側(cè)限壓力3無關(guān)，但從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，并非常數(shù)，它隨而變，因此式(1)又可寫成： （8）或 （9）隨著3值的不同，初始模量Ei也將不同。1963年，簡(jiǎn)布(Janbu)通過試驗(yàn)研究，繪制與的關(guān)系圖，發(fā)現(xiàn)二者近似呈直線關(guān)系，得出土的初始模量都是側(cè)限壓力的指數(shù)函數(shù)，并可用如下經(jīng)驗(yàn)公式表示： （10）式中，為大氣壓（101.4k）；K、n為試驗(yàn)常數(shù)，是決定于土質(zhì)的試驗(yàn)常數(shù)，分別代表與直線的截距和斜率，對(duì)于不同的土，K值可能小于100，也可能大于3500；n值一般在0.21.0之間。1.3 切線模量Et在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中，由于，所以切線

4、模量為： （11）將式（1）與式（4）代入上式可以得到： （12）該式表示為應(yīng)變的函數(shù)，使用時(shí)不方便，可將表示為應(yīng)力的函數(shù)形式，即將式（9）代入上式可得： （13）式中， （14）根據(jù)莫爾庫(kù)侖強(qiáng)度準(zhǔn)則有： （15）將式（10）、（15）代入式（14）、（13）中整理即得土體的非線性模型為： (16)由上式可見，切線變形模量中包括5個(gè)材料常數(shù)K、n、c、。對(duì)于卸荷和重復(fù)加荷時(shí)，彈性模量值為Eur ： (17)式中，Kur值也應(yīng)通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定，一般情況下。1.4 泊松比對(duì)于該模型，泊松比的一些經(jīng)驗(yàn)公式都不可靠。Duncan等人假定在常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)中軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變之間也存在雙曲線關(guān)系： (18)

5、或者 (19)其中， f 與D為實(shí)驗(yàn)常量。由試驗(yàn)得到的與的關(guān)系可近似為直線關(guān)系，從而確定截距f 與斜率D。從上式可見，當(dāng)時(shí)， （20）式中，為初始泊松比，見圖2(a)；D 為關(guān)系漸近線的倒數(shù)，見圖2 (b)；試驗(yàn)表明土的切線泊松比是與試驗(yàn)的有限側(cè)壓強(qiáng)度有關(guān)的。它們?cè)趩螌?duì)數(shù)坐標(biāo)中，可假設(shè)是一條直線,見圖2 (c)： (21)式中，G、F 為試驗(yàn)常數(shù)G為限制壓強(qiáng)一個(gè)大氣壓時(shí)的值，F(xiàn)為曲線斜率，其確定見圖2 (c)。圖2 (a) (c)將(18)式微分得到正切泊松比： (22)將表達(dá)式代入式（22），則得到： （23）在泊松比的式中有G、F、D共3個(gè)材料常數(shù)，加上 式中5個(gè)常數(shù)，共有8個(gè)常數(shù)。在彈性

6、理論中，如果計(jì)算所得大于0.5，則可采用計(jì)算。2、鄧肯-張E-B模型試驗(yàn)表明，在上述鄧肯-張模型中，與間的雙曲線假設(shè)與實(shí)際情況相差較多；而且使用切線泊松比計(jì)算也存在一些問題。1980 年鄧肯等人提出了EB模型，即改用體變模量B代替泊松比作為計(jì)算參數(shù)： (24)可用以下公式求解： (25)式中， 和m 為實(shí)驗(yàn)常數(shù)，分別為與直線關(guān)系的截距和斜率。多數(shù)土的m值在00.1之間，m值小于0，表示隨著圍壓增大，體積模量減小的情況。這種超乎尋常的情況，是由于高壓力作用下，土顆粒結(jié)構(gòu)破壞所致。計(jì)算B時(shí)，通常取時(shí)的體應(yīng)變計(jì)算。隨著改變，值有10倍左右的變化。當(dāng)時(shí)，值可以出現(xiàn)較高的值，；而當(dāng)時(shí)，可達(dá)。對(duì)于和卸荷及

7、重復(fù)加荷時(shí)的彈性模量值為Eur的確定，和模型一樣。3、對(duì)鄧肯張模型的評(píng)價(jià)3.1 模型的優(yōu)點(diǎn)（1）該模型體現(xiàn)了材料的非線性特點(diǎn)，考慮了應(yīng)力歷史對(duì)變形的影響，能比較好地模擬土的實(shí)際力學(xué)性質(zhì)；（2）采用的雙曲線模型較簡(jiǎn)單，所包含的參數(shù)較少，且所需的模型參數(shù)都可以利用常規(guī)三軸剪切試驗(yàn)確定。3.2 模型的缺點(diǎn)（1）該模型是在軸向應(yīng)力增加，而側(cè)向應(yīng)力不變的情況下獲得的；但在實(shí)際中，土體經(jīng)歷的應(yīng)力路徑并不都是軸向壓縮，還可能是其它的應(yīng)力路徑（側(cè)向卸載、側(cè)向加載、軸向卸載、軸向加載），這就造成該模型不能很好的反映應(yīng)力途徑問題；（2）該模型沒有考慮土的剪脹性和應(yīng)變軟化問題，且在模型中測(cè)定土的變形模量E和泊松比受

8、試驗(yàn)方法等因素的影響較大，而實(shí)際應(yīng)用中恰當(dāng)?shù)哪Ａ亢筒此杀鹊倪x定又比較困難，關(guān)系用雙曲線擬合確定泊松比存在較大誤差； （3）該雙曲線模型不能反映的影響，在實(shí)驗(yàn)中考慮的僅是主應(yīng)力差對(duì)模型的影響。3.3 模型的適用性該模型適用于粘性土，砂土；但不宜用于密砂，嚴(yán)重超固結(jié)土中。由于該模型是非線性彈性模型，一般僅適用于荷載不太大的條件下。此模型是應(yīng)用單一剪切試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行全部應(yīng)力應(yīng)變分析，且一切公式都是根據(jù)為常量的結(jié)果推算所得，因此它適用于以土體的穩(wěn)定性分析為主，而且接近常量的土體工程問題。參考文獻(xiàn)1 鄭穎人,孔亮. 巖土塑性力學(xué)M. 北京: 中國(guó)建筑工業(yè)出版社, 2010.2 羅汀,姚仰平. 土的本構(gòu)關(guān)系M. 北京: 人民交通出版社, 2110.3 李廣信.高等土力學(xué)M