1、高二數(shù)學(xué)(必修五)多媒體課件,3.4.1基本不等式的證明,一、問題情境,【問題1】,把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上,在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡,稱得物體的質(zhì)量為a.如果天平制造得不準(zhǔn)確,天平的兩臂長略有不同(其它因素不計(jì)),那么并非實(shí)際質(zhì)量.不過,我們可作第二次測量：把物體調(diào)換到天平的另一盤上,此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b.那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？,1.猜測：,2.討論：,物體的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)為,3.提示：,應(yīng)用力學(xué)原理求解,4.求解：,問題一：把一個(gè)物體放在天平的一個(gè)盤子上,在另一個(gè)盤子上放砝碼使天平平衡,稱得物體的質(zhì)量為a.如果天平制造得不準(zhǔn)確,天平的兩臂長略有不同(其它因素不計(jì)),那么

2、并非實(shí)際質(zhì)量.不過,我們可作第二次測量：把物體調(diào)換到天平的另一盤上,此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b.那么如何合理地表示物體的質(zhì)量呢？,5.結(jié)論：,物體的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)為,二、猜測討論,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),(一)定義新概念,1.算術(shù)平均數(shù)：,2.幾何平均數(shù)：,(二)提出新問題,【問題2】,兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？,對于正數(shù)a,b,我們把叫做a,b的算術(shù)平均數(shù),對于正數(shù)a,b,我們把叫做a,b的算術(shù)平均數(shù),【問題2】,兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？,1.試驗(yàn)：,2.猜測：,3.證明：,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),證法一：,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),證明：如果a,b是正數(shù)，那么

3、,證明不等式的方法一：比較法,2.比較法（作差法）的解題步驟：作差變形判斷結(jié)論,歸納(一),1.依據(jù)：,證法二：,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),證明：如果a,b是正數(shù)，那么,證明不等式的方法二：分折法,歸納(二),筒單地說就是“執(zhí)果索因”.,證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法.,說明：分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法.,分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B真，,只需要證明

4、命題B1為真，從而有只需要證明命題B2為真，從而又有只需要證明命題A為真而已知A為真，故B必真,歸納(二),證法三：,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),證明：如果a,b是正數(shù)，那么,證明不等式的方法三：綜合法,歸納(三),利用某些已經(jīng)證明過的不等式（如基本不等式）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。,筒單地說就是“由因?qū)Ч?,證明不等式的方法,（一）比較法,作差變形判號結(jié)論。,（二）綜合法,結(jié)合已知條件，再利用熟知的事實(shí)或已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)推導(dǎo)出所要求證的不等式。,（三）分析法-,從求證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的充分條件，直至這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成

5、立。,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),(三)定理：如果a,b是正數(shù)，那么,兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),定理的變形公式：,“半徑不小于半弦”,(四)定理的幾何解釋,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),三個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,三、建構(gòu)數(shù)學(xué),(五)定理的拓廣：,1.如果a,b,c是非負(fù)數(shù)，那么,2.如果,都是非負(fù)數(shù),那么,四、數(shù)學(xué)運(yùn)用,(一)證明不等式,例1.證明：,【變式1】已知a,b.c是不全相等的實(shí)數(shù),證明：,【變式2】已知a,b.c,d都是正數(shù),證明：,四、數(shù)學(xué)運(yùn)用,(一)證明不等式,例2.證明：若0x2,則,【變式1】若00且2x+y=1,證明：,四、數(shù)學(xué)運(yùn)用,(一)證明不等式,例3.已知a,b,c都是正數(shù),且