1、,第二講：古希臘數(shù)學,古希臘的變遷,公元前6前4世紀末,公元前11世紀前9世紀：希臘各部落進入愛琴地區(qū)公元前9前6世紀：希臘各城邦先后形成,亞歷山大后期：公元前30公元640年,西羅馬帝國：公元395476年東羅馬帝國：公元3951453年（610年改稱拜占廷帝國）,公元前11世紀前6世紀,亞歷山大前期：公元前4世紀末前30年(希臘化時期),羅馬帝國：公元前27公元395年,希臘時期,亞歷山大時期,波希戰(zhàn)爭（前499前449）,（一）論證數(shù)學的發(fā)端,（1）泰勒斯（約625-547B.C.）證明四條定理；泰勒斯定理:半圓上的圓周角是直角；預報日蝕(585B.C.)；測量金字塔的高等。,希臘數(shù)學一

2、般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細亞以及非洲北部的數(shù)學家們創(chuàng)造的數(shù)學。,泰勒斯,他是一位圣賢，又是一位天文學家，在日月星辰的王國里，他頂天立地、萬古流芳。,（2）畢達哥拉斯（約580-500B.C.）薩摩斯島克洛托內畢達哥拉斯定理(勾股定理);正多面體;黃金分割;“萬物皆數(shù)”；不可公度量。,畢達哥拉斯定理：,畢達哥拉斯，約前580前500,正多面體作圖,五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。五種正多面體的作圖都與畢達哥拉斯學派有關，前三種歸功于畢氏學派，后兩種為畢氏學派晚期學生所作。,正十二面體

3、由正五邊形圍成。正五邊形的作圖與著名的“黃金分割”問題有關。,黃金分割,畢達哥拉斯學派的形數(shù),“萬物皆數(shù)”,僅指整數(shù)，對數(shù)進行分類，分數(shù)被看成兩個整數(shù)之比。,定義了完全數(shù)（即因數(shù)之和等于該數(shù)，如6,28等）、過剩數(shù)（即因數(shù)之和大于該數(shù)）、不足數(shù)（即因數(shù)之和小于該數(shù)）親和數(shù)（即a是b的因數(shù)之和，b也是a的因數(shù)之和，最小的一對親和數(shù)為220和284）等,三角形數(shù)：N=1+2+3+n=n(n+1)/2;正方形數(shù)：N=1+3+5+7+.+(2n-1);五邊形數(shù)：N=1+4+7+.+(3n-2)=n(3n-1)/2;六邊形數(shù)：N=1+5+9+.+(4n-3)=2n2-n.這是一些等差數(shù)列?？梢酝茝V到三維

4、空間去構造多面體數(shù)?！靶螖?shù)”體現(xiàn)了數(shù)與形結合的思想。數(shù)形結合的另一個典型例子:(m2-1)/2,m,(m2+1)/2(m為奇整數(shù))給出的畢達哥拉斯三元數(shù)組，它們分別表示一個直角三角形的兩條直角邊和斜邊，與勾股定理密切相關。這一公式未能給出全部畢達哥拉斯數(shù)組。,不可公度量(無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)),第一次數(shù)學危機,任何量都可以表示成兩個整數(shù)之比。在幾何上就是：對于任何兩條給定的線段，總能找到第三條線段，以它為單位能將給定的線段劃分為整數(shù)段。希臘人稱這兩條線段為“可公度量”，意即為有公共的度量單位。,希帕蘇斯Hippasus(公元前470年左右）,勾股定理導致了無理量的發(fā)現(xiàn).假設直角三角形是等腰的,直角邊是

5、1，那么弦是，它不可能用任何的“數(shù)”(有理數(shù))表示出來，即直角邊與弦是不可通約的,無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),x、y互素,（3）雅典時期,伊利亞學派代表人物：芝諾；主要貢獻：芝諾悖論巧辯學派代表人物：希比阿斯(Hippias,c.BC.460)、安提豐(Antiphon,c.BC.480-BC.411),布里松主要貢獻：三大幾何作圖問題柏拉圖學派(雅典學院)代表人物：柏拉圖(Plato,BC.427-BC.347)、梅內赫莫斯(Menaechmus)、蒂諾斯特拉圖斯(Dinostratus)、歐多克斯(Eudoxus,c.BC.408-BC.347)主要貢獻：倡導邏輯演繹結構亞里斯多德學派(呂園學派)代表人

6、物：亞里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322)歐多謨斯主要貢獻：倡導邏輯演繹結構。,數(shù)學的理論化傾向,1、三大幾何作圖問題：,化圓為方:即作一個與給定的圓面積相等的正方形安納薩哥拉斯(約BC.500-BC.428)希波克拉底：解決了化月牙形為方安提芬：首先提出用圓內接正多邊形逼近圓面積的方法來化圓為方。他從圓內接正方形開始，將邊數(shù)逐次加倍，并一直進行下去，則隨著圓面積的逐漸“窮竭”，將得到一個邊長極其微小的內接正多邊形。1882林德曼的超越性。,化圓為方、倍立方、三等分任意角。問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。,倍立方:即求一個立方體,使其體積等于已知立方體的

7、兩倍希波克拉底:對問題的簡化是問題的關鍵進展.指出倍立方問題可以化為求一線段與它的二倍長線段之間的雙重比例中項問題,即：梅內赫莫斯:圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)(約360B.C.)；雙重比例中項關系等價于方程：,三等分角:即分任意角為三等分西比阿斯：發(fā)明“割圓曲線”.如果這種曲線能夠作出，那么它不但能夠三等分角，而且可以任意等分角，并且也可以用來化圓為方。1837年法國數(shù)學家旺澤爾(P.L.Wantzel)在代數(shù)方程論基礎上證明了倍立方和三等分角不可能用尺規(guī)作圖。,2、無限性概念的早期探索,芝諾（約公元前490前430）悖論：（1）兩分法（2）阿基里斯（3）飛箭不動（4）運動場問題,芝諾Zeno,飛箭靜止說

8、，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的。,芝諾悖論:飛矢不動,運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。,注：前兩個悖論針對于事物無限可分的觀點，而后兩個則矛頭直指不可分無限小量的思想。,德莫克里特(Democritus，約公元前460357)：原子論學派的創(chuàng)始人數(shù)學家、哲學家。關于物理、氣象、動物和控學的著作豐富，流傳下來的很少他到過東方旅行，在埃及住過認為萬物的始源只有兩個：原子與虛空“原子”(atom,拉丁文是不可分割的思)是不可分的物質粒子，永遠處于運動狀態(tài)之中在數(shù)學方面，德設克利特應用了原子的觀點他認為線段、面積和立體，是由有限個不可再分的原子構成的計算體積就等于將這些原子

9、集合起來,3、邏輯演繹推理的倡導柏拉圖學院:“不懂幾何者莫入”分析法和歸謬法亞里斯多德學派三段論推理反證法:矛盾律,排中律,拉斐爾圣齊奧(1483-1520)所繪油畫雅典學派,Aristotle亞里士多德，古希臘著名哲學家、自然科學家，西方文藝理論的真正奠基者。公元前384年生于愛琴海北岸的哈爾基迪凱半島上的達吉羅斯，其父是馬其頓國王阿明塔斯二世的御醫(yī)。母親法伊斯提來自優(yōu)卑亞島的哈爾基斯。亞里士多德早年喪父，由監(jiān)護人“撫養(yǎng)”。17歲赴雅典就讀于柏拉圖的“學園”，受教20年。為學員中出類拔萃者。柏拉圖去世后，亞里士多德曾受馬其頓王之聘，教育太子亞歷山大?；匮诺浜?，亞里士多德在呂刻翁自立學園，專心

10、教育和著述，經常在走廊邊走邊講授，后世稱他的弟子為“逍遙學派”。恩格斯稱他是古代“最博學的人”。,（二）亞歷山大時期,（1）歐幾里得(約300B.C.前后)（2）阿基米德(287-212B.C.)（3）阿波羅尼奧斯(約262-190B.C.),歐幾里得的幾何原本是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在于它是用公理法建立起演繹體系的最早典范。過去所積累下來的數(shù)學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有借助于邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯(lián)系，整理在一個嚴密的系統(tǒng)之中，才能建成宏偉的大廈。幾何原本體現(xiàn)了這種精神，它對整個數(shù)學的發(fā)展產生深遠的影響。阿基米德是物理學

11、家兼數(shù)學家，他善于將抽象的理論和工程技術的具體應用結合起來，又在實踐中洞察事物的本質，通過嚴格的論證，使經驗事實上升為理論。他根據(jù)力學原理去探求解決面積和體積問題，已經包含積分學的初步思想。阿波羅尼奧斯的主要貢獻是對圓錐曲線的深入研究。,歐幾里得，約公元前300,歐幾里得,歷史上第一個公理體系13卷119條定義5條公理,5條公設465條定理,幾何學無王者之道,現(xiàn)存著作：原本、數(shù)據(jù)、論剖分、現(xiàn)象、光學和鏡面反射等。失傳著作：圓錐曲線、衍論、曲面軌跡、辯偽術等。,“原本”的希臘文原意是指一個學科中最重要的定理,公設：1.從任意一點到任意一點可作一直線；2.線段可任意延長；3.以任意中心和直徑可以作

12、圓；4.凡直角都彼此相等；5.若一條直線與兩直線相交，所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交。,公理：1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，和相等；3.等量減等量，差相等；4.彼此重合的圖形是全等的；5.整體大于部分。,卷I,II,III,IV及VI:平面幾何基本內容卷V:比例論無理量引起的麻煩之回避卷VII,VIII,IX:數(shù)論卷X:不可公度量分類卷XI,XII,XIII:立體幾何窮竭法(卷XII),比例的定義：設A,B,C,D是任意四個量,其中A和B同類(即均為線段、角或面積等),C和D同類.如果對于任何兩個正整數(shù)m和n,關系mAnB

13、是否成立,相應地取決于關系mCnD是否成立,則稱A與B之比等于C與D之比,即四量A,B,C,D成比例.,比例論舉例定理:如果兩個三角形的高相等,則它們的面積之比等于兩底長之比,比例定義：A，B；C，D對任何正整數(shù)m和n，關系mAnBmCnD,BmC=m(BC)，ABmC=m(ABC)；DEn=n(DE)，ADEn=n(ADE)。由已證明的結果,可知ABmCAEnDBmCEnD,也就是說m(ABC)n(AED)m(BC)n(ED),據(jù)比例定義，有ABC:ADEBC:DE,窮竭法舉例卷XII命題2:圓與圓之比等于其直徑平方之比(A)圓的面積可以用內接正多邊形面積“窮竭”(正8邊形面積正4邊形面積)

14、1/2(圓面積正4邊形面積)(B)反證法矛盾矛盾必有,勾股定理的證明,1482第一個拉丁文印刷本(威尼斯)1607中譯本(徐光啟,利瑪竇),缺陷:(1)某些定義借助于直觀或含混不清；(2)公理系統(tǒng)不完備.,阿基米德，公元前287前212,（1）阿基米德的著作,拋物線求積法：研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數(shù)學與力學成功地結合起來。,球與圓柱：熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的

15、底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的。在這部著作中，他還提出了著名的“阿基米德公理”。,圓的度量:利用圓的外切與內接96邊形，求得圓周率為：，這是數(shù)學史上最早的、明確指出誤差限度的值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。,浮體：是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數(shù)學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學公式表示浮體平衡的規(guī)律。,論錐型體與球型體：講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。,平面的平衡：是關于

16、力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。,論螺線：是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數(shù)和算術級數(shù)求和的幾何方法。,砂粒計算：是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內的砂粒數(shù)量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關的。,平衡法求球的體積,球：,圓柱：,2R(球體積圓錐體積)4R圓柱體積,圓錐：,2R(球體積,球體積,平衡法求拋物線弓形的面積,阿波羅尼奧斯（約公元前262前190）,圓錐概念:從與圓不在同

17、一平面上的一點作與圓相交的直線，如果該點固定，把所作直線沿圓周旋轉，那么生成的曲面是一圓錐面，固定點是頂點，頂點到圓心的直線是軸，圓稱作圓錐的底。,圓錐曲線,（三）亞歷山大后期,(1)幾何:海倫量度(2)三角學:托勒玫大成(3)算術與代數(shù):丟番圖算術(4)帕普斯數(shù)學匯編:希臘數(shù)學的安魂曲希帕蒂婭之死(417A.D.):希臘數(shù)學的終結亞歷山大圖書館被焚47B.C.凱撒;392A.D.基督教徒;640A.D.回教徒,Ptolemy(85AD-165),托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩對對邊長乘積之和。,托勒密:三角學,正弦函數(shù)的定義：,弦表(相當于正弦三角函數(shù)表):給出了(1/2)0到1800每隔(1/2)0的圓心角所對的弦的長度，相當于給出了從00到900每隔(1/4)0的角的正弦。,大成中的球面三角關系,丟番圖算術,最有名問題:將一個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù)?，F(xiàn)代符號表述:已知平方數(shù)z2,求數(shù)x和y,使x2+y2=z2.丟番圖以z2=16來說明其解法:設第一個平方數(shù)為x2,則另一個平方數(shù)為16-x2,從而要求做到的是