1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法(有答案)一、倍長中線（線段）造全等1、（“希望杯”試題）已知，如圖abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值范圍是_.2、如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，dedf，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與ef的大小.3、如圖，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中點(diǎn)，求證：ad平分bae.二、截長補(bǔ)短1、如圖，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求證：cdac2、如圖，adbc，ea,eb分別平分dab,cba，cd過點(diǎn)e，求證;abad+bc。 3、如圖，已知在內(nèi)，p，q分別在bc，ca上，并且ap，bq分別是，的角平分線。求證：bq+aq=ab

2、+bp4、如圖，在四邊形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求證： 5、如圖在abc中，abac，12，p為ad上任意一點(diǎn)，求證;ab-acpb-pc三、平移變換例1 ad為abc的角平分線，直線mnad于a.e為mn上一點(diǎn)，abc周長記為，ebc周長記為.求證.例2 如圖，在abc的邊上取兩點(diǎn)d、e，且bd=ce，求證：ab+acad+ae.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在abc中，b=60，abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證：oe=od2、如圖，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc，deab于e，dfac于f. （1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac

3、=，求ae、be的長.五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形abcd中，e為bc上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)，be+df=ef，求eaf的度數(shù). 例2 d為等腰斜邊ab的中點(diǎn)，dmdn,dm,dn分別交bc,ca于點(diǎn)e,f。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)d轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證de=df。（2） 若ab=2，求四邊形decf的面積。例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以d為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交ab于點(diǎn)m，交ac于點(diǎn)n，連接mn，則的周長為 ； 參考答案與提示一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值范圍是_.解：延長ad至e使ae2ad，連be，由三

4、角形性質(zhì)知ab-be 2adab+be 故ad的取值范圍是1ad4例2、如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，dedf，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與ef的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長fd至g使fg2ef，連bg，eg,顯然bgfc，在efg中，注意到dedf，由等腰三角形的三線合一知egef在beg中，由三角形性質(zhì)知egbg+be 故：efbe+fc例3、如圖，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中點(diǎn)，求證：ad平分bae. 解：延長ae至g使ag2ae，連bg，dg,顯然dgac， gdc=acd由于dc=ac，故 adc=dac在adb與adg中， bdac=

5、dg，adad，adb=adc+acd=adc+gdcadg故adbadg，故有bad=dag，即ad平分bae應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊ab、ac為腰分別向外作等腰rt和等腰rt，連接de，m、n分別是bc、de的中點(diǎn)探究：am與de的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，am與de的位置關(guān)系是 ，線段am與de的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰rt繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由解：（1），；證明：延長am到g，使，連bg，則abgc是平行四邊形gchabdmne，又再證：，延長mn交de于h（2）結(jié)論仍然成立

6、證明：如圖，延長ca至f，使，fa交de于點(diǎn)p，并連接bf，fcpabdmne在和中（sas），又，且，二、截長補(bǔ)短1、如圖，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求證：cdac解：（截長法）在ab上取中點(diǎn)f，連fdadb是等腰三角形，f是底ab中點(diǎn)，由三線合一知dfab，故afd90adfadc（sas）acdafd90即：cdac2、如圖，adbc，ea,eb分別平分dab,cba，cd過點(diǎn)e，求證;abad+bc解：（截長法）在ab上取點(diǎn)f，使afad，連feadeafe（sas）adeafe，ade+bce180afe+bfe180故ecbefbfbecbe（aas）故有bfbc從

7、而;abad+bc3、如圖，已知在abc內(nèi)，p，q分別在bc，ca上，并且ap，bq分別是，的角平分線。求證：bq+aq=ab+bp解：（補(bǔ)短法, 計(jì)算數(shù)值法）延長ab至d，使bdbp，連dp在等腰bpd中，可得bdp40從而bdp40acpadpacp（asa）故adac又qbc40qcb 故 bqqcbdbp從而bq+aq=ab+bp4、如圖，在四邊形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求證： 解：（補(bǔ)短法）延長ba至f，使bfbc，連fdbdfbdc（sas）故dfbdcb ，fddc又adcd故在等腰bfd中dfbdaf故有bad+bcd1805、如圖在abc中，abac，12，

8、p為ad上任意一點(diǎn)，求證;ab-acpb-pc解：（補(bǔ)短法）延長ac至f，使afab，連pdabpafp（sas）故bppf由三角形性質(zhì)知pbpcpfpc bf=ba+af=ba+ac從而pb=be+ce+bcbf+bc=ba+ac+bc=pa例2 如圖，在abc的邊上取兩點(diǎn)d、e，且bd=ce，求證：ab+acad+ae.證明：取bc中點(diǎn)m,連am并延長至n,使mn=am,連bn,dn. bd=ce,dm=em,dmnema(sas),dn=ae,同理bn=ca.延長nd交ab于p,則bn+bppn,dp+paad,相加得bn+bp+dp+papn+ad,各減去dp,得bn+abdn+ad,

9、ab+acad+ae。四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在abc中，b=60，abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證：oe=od，dc+ae =ac證明l(角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法)b=60度,則bac+bca=120度;ad,ce均為角平分線,則oac+oca=60度=aoe=cod;aoc=120度.在ac上截取線段af=ae,連接of.又ao=ao;oae=oaf.則oaeoaf(sas),oe=of;ae=af; aof=aoe=60度.則cof=aoc-aof=60度=cod;又co=co;ocd=ocf.故ocdocf(sas),od=of;cd=cf.oe=odd

10、c+ae=cf+af=ac.2、如圖，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc，deab于e，dfac于f. （1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長.解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接bd，dcdg垂直平分bc，故bddc由于ad平分bac， deab于e，dfac于f，故有eddf故rtdbertdfc（hl）故有becf。ab+ac2aeae（a+b）/2be=(a-b)/2應(yīng)用：1、如圖，op是mon的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以op所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在abc中，acb是直角，b=

11、60，ad、ce分別是bac、bca的平分線，ad、ce相交于點(diǎn)f。請(qǐng)你判斷并寫出fe與fd之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)opamnebcdfacefbd圖圖圖（2）如圖，在abc中，如果acb不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。解：（1）fe與fd之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。證法一：如圖1，在ac上截取，連結(jié)fg ，af為公共邊， fbeacd圖 12143g，ad、ce分別是、的平分線及fc為公共邊證法二：如圖2，過點(diǎn)f分別作于點(diǎn)g，于點(diǎn)h fbeacd圖 22143hg，ad、ce分別是、

12、的平分線可得，f是的內(nèi)心，又 可證 五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形abcd中，e為bc上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)，be+df=ef，求eaf的度數(shù). 證明：將三角形adf繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形abg則ge=gb+be=df+be=ef又ae=ae，af=ag，所以三角形aef全等于aeg所以eaf=gae=bae+gab=bae+daf又eaf+bae+daf=90所以eaf=45度例2 d為等腰斜邊ab的中點(diǎn)，dmdn,dm,dn分別交bc,ca于點(diǎn)e,f。(1)當(dāng)繞點(diǎn)d轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證de=df。(2)若ab=2，求四邊形decf的面積。解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接dc， d為等腰斜邊ab的中

13、點(diǎn)，故有cdab，cddacd平分bca90，ecddca45由于dmdn，有edn90由于 cdab，有cda90從而cdefda故有cdeadf（asa）故有de=df（2）sabc=2, s四decf= sacd=1例3 如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以d為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交ab于點(diǎn)m，交ac于點(diǎn)n，連接mn，則的周長為 ；解：(圖形補(bǔ)全法, “截長法”或“補(bǔ)短法”, 計(jì)算數(shù)值法) ac的延長線與bd的延長線交于點(diǎn)f，在線段cf上取點(diǎn)e，使cebmabc為等邊三角形，bcd為等腰三角形，且bdc=120，mbd=mbc+dbc=60+30=90，dce=180

14、-acd=180-abd=90，又bm=ce，bd=cd，cdebdm，cde=bdm，de=dm，nde=ndc+cde=ndc+bdm=bdc-mdn=120-60=60，在dmn和den中， dm=de mdn=edn=60 dn=dndmnden，mn=ne在dma和def中， dm=de mda=60-mdb=60-cde=edf (cde=bdm) dam=dfe=30dmnden (aas)，ma=fe的周長為an+mn+am=an+ne+ef=af=6應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這

15、兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）解：（1），（sas）；，為等邊三角形，（2）圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長dc至點(diǎn)k，使，連接bkkabcdefmn圖 2則，即圖3不成立，ae、cf、ef的關(guān)系是2、（西城09年一模）已知:pa=,pb=4,以ab為一邊作正方形abcd,使p、d兩點(diǎn)落在直線ab的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)apb=45時(shí),求ab及pd的長;(2)當(dāng)apb變化,且其它條件不變時(shí),求pd的最大值,及相應(yīng)apb的大小.分析：（1）作輔助線，過點(diǎn)a作于點(diǎn)e，在中，已知，ap的值，根據(jù)

16、三角函數(shù)可將ae，pe的值求出，由pb的值，可求be的值，在中，根據(jù)勾股定理可將ab的值求出；求pd的值有兩種解法，解法一：可將繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求pd長即為求的長，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點(diǎn)p作ab的平行線，與da的延長線交于f，交pb于g，在中，可求出ag，eg的長，進(jìn)而可知pg的值，在中，可求出pf，在中，根據(jù)勾股定理可將pd的值求出；（2）將繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，pd的最大值即為的最大值，故當(dāng)、p、b三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時(shí)epadcb解：（1）如圖，作于點(diǎn)e中，在中，ppacbde解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蝍bcd

17、為正方形，可將將繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，；解法二：如圖，過點(diǎn)p作ab的平行線，與da的延長線交于f，設(shè)da的延長線交pb于ggfpacbde在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到，pd的最大值，即為的最大值中，且p、d兩點(diǎn)落在直線ab的兩側(cè)當(dāng)、p、b三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值（如圖）ppacbdppacbd此時(shí)，即的最大值為6此時(shí)3、在等邊的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n，d為外一點(diǎn)，且,bd=dc. 探究：當(dāng)m、n分別在直線ab、ac上移動(dòng)時(shí)，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系及的周長q與等邊的周長l的關(guān)系圖1 圖2 圖3（i）如圖1，當(dāng)點(diǎn)m、n邊a

18、b、ac上，且dm=dn時(shí)，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （ii）如圖2，點(diǎn)m、n邊ab、ac上，且當(dāng)dmdn時(shí)，猜想（i）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （iii） 如圖3，當(dāng)m、n分別在邊ab、ca的延長線上時(shí)，若an=，則q= （用、l表示）分析：（1）如果，因?yàn)?，那么，也就有，直角三角形mbd、ncd中，因?yàn)椋鶕?jù)hl定理，兩三角形全等。那么，三角形ncd中，在三角形dnm中，因此三角形dmn是個(gè)等邊三角形，因此，三角形amn的周長，三角形abc的周長，因此（2）如果，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長ac至e，使，連接de（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形mbd和ecd中，有了一組直角，因此兩三角形全等，那么，三角形mdn和edn中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把bm轉(zhuǎn)換成了ce，把mn轉(zhuǎn)換成了ne，因?yàn)椋虼藂與l的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。（3）我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過d作，三角形bdm和cdh中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（asa）那么，三角形mdn和ndh中，已知的條件有，一條公共邊nd，要想證得兩三角形全等就需要知道，因?yàn)椋虼?，因?yàn)?，那么，因此，這樣就構(gòu)成了兩三角