1、 1 第第 11 講講 四邊形加深（四邊形加深（1） 【例題精講】 【例題1】已知四邊形 ABCD，從(1)AB/CD；(2)AB=CD；(3)AD/BC；(4)AD=BC；(5)CA； (6)DB中取兩件加以組合，能推出 ABCD 是平行四邊形的有哪幾種情形？請寫出這些組合；不能推 出 ABCD 是平行四邊形的，請舉一反例。 2 【例題2】如圖，在平行四邊形 ABCD 中，60DAB，點(diǎn) E、F 分別在 CD、AB 的延長線上，且 AE=AD，CF=CB （1）求證：四邊形 AFCE 是平行四邊形 （2）若去掉已知條件的“60DAB”，上述的結(jié)論還成立 嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，

2、請說明理由。 證明： （1）因?yàn)?ABCD 是平行四邊形，則 AB/CD，60DABADE 而 AE=AD，那么ADE是等邊三角形，60DAE，同理可證，60BFC 因此，180BFCDABDAE，AE/CF。 故四邊形 AFCE 是平行四邊形 （2）結(jié)論成立 因?yàn)?ABCD 是平行四邊形，則 AB/CD，DABADE，AE=AD，則 AEDADE，BADDAE2180 又 AD/BC，則CBFDAB BC=BF，那么DABBFCCBF 因此，1802180BADBADBADBFCDABDAE，那么 AE/EC， 故四邊形 AFCE 是平行四邊形 說明： （2）可以再令4030、DAB等數(shù)值，

3、先得出結(jié)論成立，然后論證。 3 【例題3】有一塊形狀為平行四邊形的鐵片 ABCD，其中 AB=2AD。現(xiàn)在想用這塊鐵片截一個直角三角形 并且希望以 AB 為斜邊，直角頂點(diǎn)在 CD 上，問此想法是否可行？如果可行的話，請說明應(yīng)該怎樣截；如 果不行，請說明理由。 【例題4】如圖，在梯形紙片 ABCD 中，ADBC，ADCD，將紙片沿過點(diǎn) D 的直線折疊，使點(diǎn) C 落在 AD 上的點(diǎn) C處，折痕 DE 交 BC 于點(diǎn) E，連結(jié) CE。 （1）求證：四邊形 CDCE 是菱形； （2）若 BC=CD+AD，試判斷四邊形 ABED 的形狀，并加以證明。 【例題5】（方案設(shè)計題）直角三角形通過剪切可以拼成一

4、個與該直角三角形面積相等的矩形，方法如下： （如圖 1） （圖（圖 1） 請你用如圖所示的方法，解答下列問題： （1）對任意三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形。 （如 圖 2） 4 （2）對任意四邊形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等的矩形。 （如 圖 3） 圖圖 2 圖圖 3 答案： （1） （2） 【例題6】將平行四邊形紙片 ABCD 按如圖的方式折疊，使點(diǎn) C 與 A 重合，點(diǎn) D 落到 D處，折痕為 EF。 （1）求證：ABEADF； （2）連結(jié) CF，判斷四邊形 AECF 是什么特殊四邊形。 【例題7】如圖，四邊形 AB

5、CD 中，ABC=CDA =90, M 為 AC 的中點(diǎn), BNMD, MNBD,求證：四 邊形 BNDM 是菱形。 解析：由于ABC=CDA =90, M 為 AC 的中點(diǎn),則 MB= 2 1 AC,MD= 2 1 AC,即 MB=MD. 又 MNBD，則OBMODM，且 BNMD 可得OBMOBN,即 OBNODM,所以 OM=ON,OB=OD 所以四邊形 BNDM 是菱形。 O N M D CB A 5 【例題8】已知 O 是正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，且15OBAOAB，求證OCD 為正三角形。 證法一： 證法二： 證法三：同一法。 6 【例題9】設(shè)凸四邊形 ABCD 的 4 個頂點(diǎn)滿

6、足條件：每一點(diǎn)到其他 3 個點(diǎn)的距離之和都要相等。是判斷這 個四邊形是什么四邊形？請證明你的結(jié)論. 7 【例題10】如圖， 已知矩形 ABCD 和點(diǎn) P， 當(dāng)點(diǎn) P 在圖中的位置時， 則有結(jié)論： PCDPACPBC SS S. 理由：過點(diǎn) P 作 EFBC，分別交 AD,BC 于 E,F 兩點(diǎn)。因?yàn)?ABCDPADPBC S 2 1 EFBC 2 1 PE)(PFBC 2 1 PEAD 2 1 PFBC 2 1 S 矩形 S 又因又因 A B C DP A DP C DP A C S 2 1 SS 矩形 S， 故 P A DP C DP A CP A DP B C SS SSS， 所以 P C

7、 DP A CP B C SS S， 請你參考上述信息， 當(dāng)點(diǎn) P 分別在圖、 圖中的位置時， PBC S、 PAC S、 PCD S又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請寫出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明。 圖圖 圖圖 圖圖 【例題11】如圖，將n個邊長都為 1cm 的正方形按圖擺放，點(diǎn) n AAA, 21 分別是正方形的中心，求n個 這樣的正方形重疊部分的面積和。 答案： 2 4 1cmn 提示：利用07 四邊形復(fù)習(xí)（1） 中的 12 題證明可知，每一重疊陰影部分的面 積都相等且等于 正方形 S 4 1 ，且n個這樣的正方形重疊部分有1n塊相等陰影面 積，則其面積和為 2 4

8、1cmn 。 8 【例題12】如圖，在ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分線 EF 交 BC 于 D，交 AB 于 E，且 CF=BE。 （1）求證：四邊形 BECF 是菱形； （2）當(dāng)A 的大小滿足什么條件時，菱形 BECF 是正方形？請回答并證明你的結(jié)論。 9 【例題13】（1）如圖，已知正方形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，E、F 分別在 OC、OB 上， 且 OE=OF，連接 BE、AF，延長 AF 交 BE 于點(diǎn) G，試判定 AG 與 BE 是否垂直？為什么？ （2）如圖，已知正方形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，E 為 AC 上一點(diǎn)，過點(diǎn) A

9、作EBAG 于點(diǎn) G，AG 交 BD 于點(diǎn) F，求證：OE=OF （3）對上述命題，若點(diǎn) E 在 AC 的延長線上，EBAG ，交 EB 的延長線于點(diǎn) G，AG 的延長線交 DB 的延長線于點(diǎn) F（如圖） ，其他條件不變，那么結(jié)論 OE=OF 還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立， 請說明理由 10 【課后作業(yè)】 【作業(yè)1】如圖，在直角梯形 ABCD 中，B=C=90，AB=BC。M 為 BC 邊上一點(diǎn)， 且DMC=45。求證：AD=AM。 11 【備用題】 1. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延長線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn) D，且直角 頂點(diǎn) E 在 AB 邊上滑動（點(diǎn) E 不與點(diǎn) A,B 重合） ，另一條直角邊與CBM 的平分線 BF 相交于點(diǎn) F。 （1）如圖，當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 邊的中點(diǎn)位置時： 通過測量 DE,EF 的長度，猜想 DE 與 EF 滿足的數(shù)量關(guān)系； 連結(jié)點(diǎn) E 與 AD 邊的中點(diǎn) N，猜想 NE