1、 第 1 頁(yè) 共 5 頁(yè) 2020 屆“三省十二?！甭?lián)考 數(shù)學(xué)（理科）試題 第 I 卷（選擇題 共 60 分） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 第 I 卷（選擇題 共 60 分） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合 2 20AxR xx，1 , 0 , 1B，則AB （） A 1,0,1B1,0 C0,1D 0 2.已知izi43為虛數(shù)單位i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（） A.第一象限 B.第二象限

2、 C.第三象限 D.第四象限 3. 4 log 0.4m , 0.4 4n , 0.5 0.4p ，則( ) .A mnp.B mpn.C pmn.D npm 4如圖，為等腰直角三角形，為斜邊 的高，為線段的中 點(diǎn)，則（ ） A B C D 5某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng) 行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90 后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形 圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之間出生，80 前指 1979 年及以前 出生 A互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中 90 后占一半以上 B互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超

3、過(guò)總?cè)藬?shù)的 20 C互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù) 90 后比 80 前多 D互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù) 90 后比 80 后多 2020.2.19 （考試時(shí)間：150 分鐘總分：150 分） 第 2 頁(yè) 共 5 頁(yè) 6.已知, ,A B C是雙曲線 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，AC經(jīng)過(guò)右 焦點(diǎn)F，若BFAC且2 AFCF，則該雙曲線的離心率是（ ） A. 3 5 B. 3 17 C. 2 17 D. 4 9 7.函數(shù) 2 2 ( )logf xxx，則不等式0) 3() 1(fxf的解集為（ ） ), 4() 1,.(A ), 1 ()4,.(

4、B )2 , 1() 1, 4.(C )4 , 1 () 1 , 1.(D 8.已知函數(shù) 2sin0, 2 fxx 的兩條相鄰對(duì)稱軸的距離為 2 ，把 fx的圖象向右平移 6 個(gè)單位得函數(shù) g x的圖象，且 g x為偶函數(shù)，則 fx的單調(diào)增 區(qū)間為（ ） A. 4 2,2, 33 kkkZ B. 4 , 33 kkkZ C. 2,2, 63 kkkZ D. , 63 kkkZ 9 已知直三棱柱 111 ABCABC， 的各頂點(diǎn)都在球 O 的球面上， 且32, 2BCACAB， 若球 O 的體積為 3 5160 ，則這個(gè)直三棱柱的體積等于（ ） A24 B38 C 8 D54 10在ABC中，內(nèi)

5、角 , ,A B C所對(duì)的邊分別為, , ,a b c S為ABC的面積， sin AC 22 2S bc ，且, ,A B C成等差數(shù)列，則C的大小為（ ） A 3 B 3 2 C 6 D 6 5 11已知函數(shù) 2 ,0 ( ) e ,0 x x x f x x ，( )exg x （e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） ，若關(guān)于x的方程 ( ( )0g f xm恰有兩個(gè)不等實(shí)根 1 x、 2 x，且 12 xx，則 21 xx的最小值為（ ） 第 3 頁(yè) 共 5 頁(yè) A 1 (1ln2) 2 B 1 ln2 2 C1ln2 D 1 (1ln2) 2 12.設(shè)M，N是拋物線 2 yx上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O是坐

6、標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM與ON的 斜率之積為 1 2 ，則（ ） A| 4 2OMON B以MN為直徑的圓的面積大于4 C.直線MN過(guò)拋物線 2 yx的焦點(diǎn) DO到直線MN的距離不大于 2 第 II 卷（非選擇題 共 90 分） 第 II 卷（非選擇題 共 90 分） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請(qǐng)把正確的答案填在橫 線上。 13已知 1 1 211 2 3 2 2 ， ， ，若冪函數(shù) a f xx為奇函數(shù)，且在0 ，上遞 減，則a _ 14. 函數(shù)( )cos x f xex的圖象在點(diǎn)(0,(0)f處的切線的傾斜角為_(kāi) 15. 有 4 名高三學(xué)生準(zhǔn)備高考后到上海市

7、、江蘇省、浙江省、安徽省 4 個(gè)地方旅游， 假設(shè) 每名同學(xué)均從這 4 個(gè)地方中任意選取一個(gè)去旅游， 則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為 _ 16如圖，三棱錐 ABCD 中，ACADBCBD10，AB 8， CD12， 點(diǎn) P 在側(cè)面 ACD 上， 且到直線 AB 的距離為21， 則 PB 的最大值是_ 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演 算步驟，解答應(yīng)寫(xiě)在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)。 17已知公差不為 0 的等差數(shù)列 n a滿足9 3 a， 2 a是 71,a a的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列 n b滿足 )7( 1 n n an

8、b,求數(shù)列 n b的前n項(xiàng)的 n S. 18 如圖， 在四棱錐PABCD中， 底面ABCD是正方形，1PAAB，2PBPD . 第 4 頁(yè) 共 5 頁(yè) （1）證明：BD 平面PAC； （2）若E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱PD上一點(diǎn)，且/ /BE平面ACF，求二面角FACD 的余弦值. 19. 已知橢圓 22 22 :1(0) 5 xy Cb bb 的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0) （）求橢圓C的方程； （）已知點(diǎn)(3,0)E，過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l（與x軸不重合）與橢圓C交于,M N兩點(diǎn)，直 線ME與直線5x 相交于點(diǎn)F，試證明：直線FN與x軸平行 20一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是

9、希望的開(kāi)端某種植戶對(duì)一 塊地的 * ()n nN個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播 3 粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為 1 2 ，且每粒 種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立 對(duì)每一個(gè)坑而言， 如果至少有兩粒種子發(fā)芽， 則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種， 否則要補(bǔ)播種 （1）當(dāng)n取何值時(shí)，有 3 個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？ （2）當(dāng)4n 時(shí)，用X表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望 21.（本小題 12 分） 已知函數(shù) 1 ( )sinln1 22 m f xxxx，( )fx 是 ( )f x的導(dǎo)函數(shù). （1）證明：當(dāng)2m 時(shí)，( )fx 在(0,)上有唯一零點(diǎn)； （2）若存在 12 ,(0,)x x ，且

10、12 xx時(shí)， 12 f xf x，證明： 2 12 x xm. 第 5 頁(yè) 共 5 頁(yè) 請(qǐng)考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題 號(hào)。 請(qǐng)考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題 號(hào)。 22 （本小題滿分 （本小題滿分 10 分）分）選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為6cos.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建 立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為 2cos 1sin xt yt (t 為參數(shù)). （）若 2 ，求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線 l 的極坐標(biāo)方程

11、; （）設(shè)點(diǎn)1, 2 P，曲線C與直線 l 交于BA、兩點(diǎn)，求 22 PAPB的最小值. 23(本小題滿分本小題滿分 10 分分)選修 45：不等式選講 已知函數(shù) 1 3 fxxa aR （1）當(dāng)2a 時(shí)，解不等式 1 1 3 xfx； （2）設(shè)不等式 1 3 xfxx的解集為M，若 1 1 , 3 2 M ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 第 1 頁(yè) 共 6 頁(yè) 2020 屆“三省十二?！甭?lián)考 數(shù)學(xué)（理科）答案 一、選擇題：一、選擇題： 題 號(hào) 題 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B D B C D B C A D 二、填空題 131 14. 4 15 9 1

12、6 16 57 三、解答題： 17 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為 ，則 解得 或（舍去） ， . （2）, . 18 （1）證明：1PAABAD， 2PBPD . 222 PAABPB ， 222 PAADPD ， PAAB，PAAD，ABADA，,AB AD 平面ABCD PA 平面ABCD，而B(niǎo)D 平面ABCD 第 2 頁(yè) 共 6 頁(yè) PABD 又ABCD為正方形， ACBD，PAACA，,PA AC 平面.PAC BD 平面PAC （2）解：如圖，連接ED，取ED的中點(diǎn)M， 設(shè)ACBDO，連接OM，則BE OM? ， 從而B(niǎo)E ?平面ACM，平面ACM與PD的交點(diǎn)即為F 以O(shè)B 、OC 、O

13、E 為 , ,x y z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O xyz ， 2 0,0 2 OC ， 1 0,0, 2 OE ， 2 ,0,0 2 OD ， 21 ,0, 244 OEOD OM ， 平面ACF即平面ACM，設(shè)其法向量為, ,nx y z ， 則 0, 0, n OC n OM 即 0, 20, y xz 令1x ，得1,0,2n ， 易知平面ACD的一個(gè)法向量為0,0,1m ， 26 cos, 33 m n m n m n . 因?yàn)槎娼荈ACD為銳二面角，故所求余弦值為 6 3 19 （）由題意可知 22 2, 5. c ab 所以 22 5,1ab.所以橢圓C的方程為 2 2

14、1 5 x y. （）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)MNx軸.設(shè)1,0D，直線5x 與x軸相交于 第 3 頁(yè) 共 6 頁(yè) 點(diǎn)G，易得點(diǎn)3,0E是點(diǎn)1,0D和點(diǎn)5,0G的中點(diǎn)，又因?yàn)镸DDN， 所以FGDN，所以直線/FN x軸. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為10yk xk 1122 ,M x yN xy . 因?yàn)辄c(diǎn)3,0E，所以直線ME的方程為 1 1 3 3 y yx x . 令5x ，所以 11 11 2 53 33 F yy y xx . 由 22 1 , 55 yk x xy 消去y得 2222 1 510510kxk xk .顯然0 恒成立. 所以 2 2 1212 22 5

15、1 10 ,. 5151 k k xxx x kk 因?yàn)?211211 1 22 111 3213212 333 F yxyk xxk xy yyy xxx 2 2 22 1212 11 51 10 35 5151 35 33 k k k kk k x xxx xx 222 2 1 51 651 0 513 kkkk kx ， 所以 2F yy .所以直線/FN x軸.綜上所述，所以直線/FN x軸. 20 （1）當(dāng)5n 或6n 時(shí)，有 3 個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為 5 16 ； （2）見(jiàn)解 （1）將有 3 個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值 時(shí)有

16、3 個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大 （2）n4 時(shí)，X的所有可能的取值為 0，1，2，3，4分 別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可 （1）對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率 33 01 33 111 222 PCC ， 有 3 個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為 3 1 2 n n C . 第 4 頁(yè) 共 6 頁(yè) 欲使 3 1 2 n n C 最大，只需 1 33 1 1 33 1 11 22 11 22 nn nn nn nn CC CC ， 解得56n，因?yàn)?* nN，所以 5,6,n 當(dāng)5n 時(shí)， 5 3 5 15 216 C ；當(dāng)6n 時(shí)， 6 3 6 15 216 C ； 所以當(dāng)5n 或6n 時(shí)

17、，有 3 個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為 5 16 . （2）由已知，X的可能取值為 0，1，2，3，4. 1 4, 2 XB ， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X的數(shù)學(xué)期望 1 42 2 EX . 21（1）證明：當(dāng)2m 時(shí)， 1 ( )sinln1 2 f xxxx， 11 ( )1cos 2 fxx x . 當(dāng)(0, )x時(shí)，( )fx 為增函數(shù)，且 1333 10 344 f ， 31 ( )0 2 f ，( )fx 在(0, )上有唯一零點(diǎn)； 當(dāng) ,)x時(shí)， 11 ( )1cos 2 fxx x 1111 10 22x

18、厖， ( )fx 在 ,)上沒(méi)有零點(diǎn). 綜上知，( )fx 在(0,)上有唯一零點(diǎn). （2）證明：不妨設(shè) 12 0 xx，由 12 f xf x得 111 1 sinln1 22 m xxx 222 1 sinln1 22 m xxx， 212121 1 lnlnsinsin 22 m xxxxxx. 設(shè)( )sing xxx，則( )1 cos0g xx ，故( )g x 在(0,)為增函數(shù)， 第 5 頁(yè) 共 6 頁(yè) 2211 sinsinxxxx，從而 2121 sinsinxxxx， 21 lnln 2 m xx 212121 11 sinsin 22 xxxxxx， 21 21 lnln xx m xx ， 下面證明： 21 12 21 lnln xx x x xx . 令 2 1 x t x ，則1t ，即證明 1 ln t t t ，只要證明 1 ln0 t t t .（*） 設(shè) 1 ( )ln t h tt t ，則 2 1 ( )0 2 t h t t t ，( )h t在(1,)單調(diào)遞減. 當(dāng)1t 時(shí)，( )(1)0h th，從而（*）得證，即 21 12 21 lnln xx x x xx . 12 mx x，即 2 12 x xm