1、10.3.3數(shù)學物理與微分方程,數(shù)學物理：數(shù)學物理以研究物理問題為目標的數(shù)學理論和數(shù)學方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學描述，并對模型已確立的物理問題研究其數(shù)學解法，然后根據解答來詮釋和預見物理現(xiàn)象，或者根據物理事實來修正原有模型。,微分方程：凡含有參數(shù)，未知函數(shù)和未知函數(shù)導數(shù)(或微分)的方程常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程例：dy/dx=2xy（只有一個自變量)偏微分方程：未知數(shù)是多元函數(shù)的微分方程例：,19世紀偏微分方程重要發(fā)展之一,代表人物：傅里葉研究的主要問題：吸熱或放熱物體內部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律。成就：三維空間的熱傳導方程傅里葉積分,在對物

2、體的物理性狀作出一定的限制(如均勻，各向同性)后，他根據物理原理推導出了三維空間的熱傳導方程其中k是一個常數(shù)，其值依賴于物體的質料傅里葉當時解決的是如下特殊的熱傳導問題：設所考慮的物體為兩端保持在溫度0度、面絕熱而無熱流通過的柱軸，在此情形下求解上述熱傳導方程因為柱軸只涉及一維空間，所以這個問題也就是解偏微分方程其中下面的兩項分別是邊界條件和初始條件傅里葉為解這個方程用了變量分離法，他得到,為了滿足初始條件，必須有這就促使傅里葉不得不考慮任給一個函數(shù)，能否將它表示成三角級數(shù)的問題傅里葉得出的結論是：每個函數(shù)都可以表示成,這樣，每個就可由上式乘以，再從0到積分而得到他還指出這個程序可以應用于表達

3、式,接著，他考慮了任何在區(qū)間的表達式，利用任何函數(shù)可以表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和這一事實，傅里葉可以將區(qū)間上的任何表示為,其系數(shù)由,確定，這就是我們通常所稱的傅里葉級數(shù)不過傅里葉從沒有對“任意”函數(shù)可以展成傅里葉級數(shù)這一斷言給出過任何完全的證明，他也沒有說出一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)必須滿足的條件,傅里葉的工作不僅發(fā)展了偏微分方程的理論，而且使函數(shù)概念得以改進，同時也標志著人們從解析函數(shù)或可展成泰勒級數(shù)的函數(shù)中解放了出來傅里葉的前輩都曾堅持一個函數(shù)必須是可用單個式子表示的，而傅里葉級數(shù)卻可以表示那些在區(qū)間或的不同部分有不同解析式的函數(shù)，不論這些表示式互相是否連續(xù)地接合著特別是一個傅里葉級

4、數(shù)是在一整段區(qū)間上表示一個函數(shù)的，而一個泰勒級數(shù)僅在函數(shù)是解析的點附近表示該函數(shù),19世紀偏微分方程的另一個重要發(fā)展,代表人物：格林研究問題：位勢方程（拉普拉斯方程）成就：格林公式,格林,位勢方程,拉普拉斯曾采用球面調和函數(shù)法解這個方程，不過他得到一個錯誤的結論，認為這個方程當被吸引的點位于物體內部時也成立這個錯誤由泊松(Poisson)加以更正泊松指出，如果點在吸引體內部，則滿足方程，其中是吸引體密度，它也是的一個函數(shù)拉普拉斯和泊松的方法都只適用于特殊的幾何形體，格林則認識到函數(shù)的重要性，并首先賦予它“位勢”(potential)的名稱，與前人不同的是，格林發(fā)展了函數(shù)的一般理論他求解位勢方程

5、的方法與用特殊函數(shù)的級數(shù)的方法相反，稱為奇異點方法他在1828年私人印刷出版的小冊子關于數(shù)學分析應用于電磁學理論的一篇論文中，建立了許多對于推動位勢論的進一步發(fā)展極為關鍵的定理與概念，其中以格林公式,(為物體表面指向內部的法向，是體積元，是面積元)和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠,其他成就：麥克斯韋的電磁場方程黏性流體運動的納維斯托克斯方程（N-S方程）彈性介質的柯西方程,對18、19世紀建立起來的類型眾多的微分方程，數(shù)學家們求顯式解的努力往往歸于失敗，這種情況促使他們轉而證明解的存在性最先考慮微分方程解的存在性問題的數(shù)學家是柯西他指出：在求顯式解無效的場合常?？梢宰C明解

6、的存在性他在1820年代對形如的常微分方程給出了第一個存在性定理，這方面的工作被德國數(shù)學家李普希茨(R.Lipschitz)、法國數(shù)學家劉維爾(J.Liouville)和皮卡(E.Picard)等追隨柯西也是討論偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列論文中論述了如何將任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程組，然后討論了偏微分方程組的存在性并提出了證明存在性的長函數(shù)方法柯西的工作后來被俄國女數(shù)學家柯瓦列夫斯卡婭(C.B.Kovalevskaya，18501891)獨立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內的非常一般的形式柯瓦列夫斯卡婭的論文偏微分方程理論刊登在克雷爾數(shù)學雜志上(187

7、5)，有關的偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻中就稱“柯西柯瓦列夫斯卡婭定理”,生：1850.1.15卒：1891.2.10國籍：俄國評價：世界歷史上第一個獲得科學院院士的女科學家,由于18世紀的大量開發(fā)，常微分方程的求解在19世紀反而局限于用分離變量法解偏微分方程時所得到的方程，并且多半使用級數(shù)解，這引導出一串特殊函數(shù)，如貝塞爾函數(shù)(1816)、高斯超幾何函數(shù)(1812)等等在19世紀后半葉，對常微分方程研究的理論方面變得突出，并且在兩個大的方向上開拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大發(fā)展都與龐加萊的名字聯(lián)系著第一個方向是與奇點問題相聯(lián)系的常微分方程解析理論。另一個嶄新方向定性理論,國籍：法國出生日期：1854年4月29日逝世日期：1912年7月17日職業(yè)：數(shù)學家、天體力學家、科學哲學家主要成就：創(chuàng)立代數(shù)拓撲學，相對論先驅,龐加萊、克萊因和希爾伯特，是在19和20世紀數(shù)學交界線上高聳著的三個巨大身影他們反射著19世紀數(shù)學的光輝，同時照耀著通往20世紀數(shù)學的道路在19世紀末，數(shù)學發(fā)展呈現(xiàn)出一派生機蓬勃的景象