1、 1 第第 02 講講 二次函數最值二次函數最值 【知識點【知識點】 對于二次函數 0 2 acbxaxxfy，取最值的情況如下： 1. 若自變量為任意實數，則有兩種情況： （1）當0a， a b x 2 時，有 a bac y 4 4 2 最小值 ； （2）當0a， a b x 2 時，有 a bac y 4 4 2 最大值 。 2. 若自變量x的取值范圍為nmnxm時， 則要結合二次函數的對稱軸與給定范圍的三種位置來分 析： （1）對于0a 當 a b nm 2 時，因對稱軸的左側y是隨x的增大而減小的，即單調遞減，所以最大值為 mf，最 小值為 nf； 當n a b m 2 時，因x的取

2、值范圍包含拋物線的對稱軸，所以最小值為 a b f 2 ，而最大值為 nfmf、的較大者（離對稱軸越遠函數值越大） ； 當nm a b 2 時，因對稱軸的右側y是隨x的增大而增大的。即單調遞增，所以最大值為 nf，最 小值為 mf。 ? nm x=- b 2a o y x n m x y o x=- b 2a nm x=- b 2a o y x 2 （2）對于0a 當 a b nm 2 時，對稱軸的左側是單調遞增的，所以最大值為 nf，最小值為 mf； 當n a b m 2 時，最大值為 a b f 2 ，最小值為 nfmf、的較小者 （離對稱軸越遠函數值越?。?； 當nm a b 2 時，對

3、稱軸的右側是單調遞減的，所以最大值為 mf，最小值為 nf。 （圖略） 【圖形變換】 平移變換： 把函數 y=f(x)的圖像向左平移 a 個單位，得到的新圖像解析式為 y=f(x+a)；向右平移 a 個單位，得到 的新圖像解析式為 y=f(xa). 把函數 y=f(x)的圖像向上平移 a 個單位，得到的新圖像解析式為 y=f(x)+a；向下平移 a 個單位，得到 的新圖像解析式為 y=f(x)a. 對稱變換： 函數 y=f(x)的圖像關于 x 軸對稱的新圖像解析式為 y= f(x)； 函數 y=f(x)的圖像關于 y 軸對稱的新圖像解析式為 y=f(x)； 函數 y=f(x)的圖像關于原點對稱

4、的新圖像解析式為 y= f(x). 翻折變換： 把函數 y=f(x)的圖像 y 軸左邊部分去掉并把 y 軸右邊部分翻折到左邊，得到的新圖像解析式為 y=f(|x|)； 把函數 y=f(x)的圖像 x 軸下方部分翻折到 x 軸上方，得到的新圖像解析式為 y=|f(x)|. 【應用題】 一般步驟： （1）選擇問題中一個變量為自變量； （2）寫出函數關系式； （3）求出二次函數的最值； （4）寫出檢驗和解答。 【例題精講】【例題精講】 【例題【例題1】求下列函數的最值 （1）5) 2 1 ( 3 2 xy （2）26244 2 xxy （3） 2 3 2 1 2 xxy （4）132 2 xxy 答

5、案： （1）5 min y，無最大值； （2）10 max y，無最小值； （3）2 max y，無最小值； （4） 8 1 min y，無最大值。 3 【例題【例題2】求下列函數的最大值和最小值 （1）)52(4)3(2 2 xxy （2）)20(4) 3(2 2 xxy （3）)42(263 2 xxxy （4）)21( 3162 2 xxxy 答案： （1）由于對稱軸3x在區(qū)間52 x內，且該拋物線開口向上，所以4 min y，又由于 .12)5(, 6)2(ff則12 max y。 （2）. 2)2(,14)0( maxmin fyfy （3）, 5) 1(3263 22 xxxy對稱

6、軸為1x在42x內部，且該拋物線開口向上，所以 70)4(, 5 maxmin fyy。 （4）35)4(23162 22 xxxy。區(qū)間21x在對稱軸4x右側，且該拋物線開口向 下，所以圖像單調遞減，即17) 1(,37)2( maxmin fyfy。 【例題【例題3】求二次函數22 2 xxy的最大值和最小值，其中x的取值范圍分別是： （1）全體實數； （2）12x； （3） 2 1 1x； （4）21 x 【例題【例題4】已知12 22 yx，求 2 52yx的最大值和最小值。 4 【例題【例題5】設30 x，求函數 132 2 xxxfy的最值。 【例題【例題6】已知二次函數圖像的對稱

7、軸是1x，與 x 軸的一個交點是（1，0）且有最小值16，求函數 的解析式。 解：由題意，得拋物線的頂點為（1，16） ， 則設拋物線解析式： 16) 1( 2 xay 把（1， 0）代入上式，得4a 所以函數解析式為 16) 1(4 2 xy. 【例題【例題7】已知二次函數 1 y在1x時有最大值 5， 二次函數 2 y的最小值為-2。 又1316 2 21 xxyy。 求 1 y及 2 y的表達式。 【含參數問題】 【例題【例題8】已知二次函數cbxaxy 2 ，當1x時，y有最大值 4，且1a，求cba、 【例題【例題9】若二次函數14 2 axaxy的最小值是 2，求a的值。 答案：a

8、=4。 5 【例題【例題10】已知函數 4223 2 xaxaxf的最大值小于 2 1 ，求a的取值范圍。 【例題【例題11】若函數 2 13 2 1 2 xxf在區(qū)間b，3上的最小值為 2，最大值為 2 13 ，試討論b的取值情 況. 解：由題意知：原函數圖像開口向下，且最大值在頂點取到，且 y=2 時 x=3， 由圖像可知，b的取值應該在 0 到 3 之間并包括端點，即30b。 【例題【例題12】已知 1 2 axxxf在區(qū)間0，3上有最小值-2，求a的值。 6 【應用題】 【例題【例題13】已知矩形周長為 6，設矩形的一邊長為 x，它的面積為 y。 （1）求出 y 與 x 之間的函數關系

9、式，并寫出自變量 x 的取值范圍； （2）當 x 為何值時，矩形面積最大？ 【例題【例題14】如圖，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 邊上的點，F 是 CD 邊上一點，且AFAE ,若4AB, EC為x，AEF的面積為 y，求 y 與 x 的函數關系式，并求出AEF面積的最大值。 F E D C B A 7 【例題【例題15】某公司投資 500 萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產品，并投入資金 1500 萬元進行批量生產。已知生產每件產品的成本為 40 元，在銷售過程中發(fā)現：當銷售單價定為 100 元時， 年銷售量為 20 萬件；銷售單價每增加 10 元，年銷售量將減少 1 萬件。設銷售單價為 x 元，年銷售量為 y （萬件） ，年獲利（年獲利 = 年銷售額 生產成本投資）為 z 萬元。 （1）試寫出 y 與 x 之間的函數關系式（不必寫出 x 的取值范圍） ； （2）試寫出 z 與 x 之間的函數關系式（不必寫出 x 的取值范圍） ； （3）公司計劃： 在第一年按年獲利最大確定銷售單價， 此時銷售單價應定為多少元？年獲利多少元？ 8 【課后作業(yè)】 【作業(yè)【作業(yè)1】求函數)75(22122 2 xxx