1、第五章 統(tǒng)計量及其分布,5.1 總體與樣本 5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 5.3 統(tǒng)計量及其分布 5.4 三大抽樣分布 5.5 充分統(tǒng)計量,例5.0.1 某公司要采購一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不 是合格品就是不合格品，但該批產(chǎn)品總有一 個不合格品率 p 。由此，若從該批產(chǎn)品中隨 機抽取一件，用 x 表示這一批產(chǎn)品的不合格 數(shù)，不難看出 x 服從一個二點分布b(1 , p)， 但分布中的參數(shù) p 是不知道的。一些問題：,p 的大小如何；,p 大概落在什么范圍內(nèi)；,能否認(rèn)為 p 滿足設(shè)定要求 （如 p 0.05）。,5.1 總體與個體,總體的三層含義：,研究對象的全體；,數(shù)據(jù)；,分布,例5.1.1 考察某

2、廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以0記合格品，以1記 不合格品，則 總體 = 該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品 = 由0或1組成的一堆數(shù) 若以 p 表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該 總體可由一個二點分布表示：,比如：兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品的總體 分布：,例5.1.2 在二十世紀(jì)七十年代后期，美國消費 者購買日產(chǎn)SONY彩電的熱情高于購買美產(chǎn) SONY彩電，原因何在？,1979年4月17日日本朝日新聞刊登調(diào)查報 告指出N(m, (5/3)2)，日產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)SONY彩電的彩色濃 度服從(m5 , m+5)上的均勻分布。,原因在于總體的差異上！,圖5.1.1 SONY彩

3、電彩色濃度分布圖,等級 I II III IV 美產(chǎn) 33.3 33.3 33.3 0 日產(chǎn) 68.3 27.1 4.3 0.3,表5.1.1 各等級彩電的比例(%),5.1.2 樣本,樣品、樣本、樣本量:,樣本具有兩重性,一方面，由于樣本是從總體中隨機抽取的，抽 取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機 變量，用大寫字母 X1, X2, , Xn 表示；,另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測就有確定的 觀測值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時用小 寫字母 x1, x2, , xn 表示是恰當(dāng)?shù)摹?簡單起見，無論是樣本還是其觀測值，樣本一般均用 x1, x2, xn 表示，應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。,例5

4、.1.3 啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640 克。由于隨機性，事實上不可能使得所有的啤酒 凈含量均為640克。現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機 抽取10瓶測定其凈含量，得到如下結(jié)果： 641, 635, 640, 637, 642, 638, 645, 643, 639, 640,這是一個容量為10的樣本的觀測值， 對應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。,這樣的樣本稱為完全樣本。,例5.1.4 考察某廠生產(chǎn)的某種電子元件的 壽命，選了100只進行壽命試驗，得到 如下數(shù)據(jù)：,表5.1.2 100只元件的壽命數(shù)據(jù),表5.1.2中的樣本觀測值沒有具體的數(shù)值， 只有一個范圍，這樣的樣本稱為分組樣本。,壽

5、命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) 壽命范圍 元件數(shù) ( 0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4 (48 72 6 (240 264 3 (432 456 1 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (288 312 5 (480 504 2 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (144 168 5 (336 360 5 (528 552 1 (168 192 4 (360 184 1 552 13,獨立性: 樣本中每一樣品的取值不影響其 它樣品

6、的取值 - x1, x2, , xn 相互獨立。,要使得推斷可靠，對樣本就有要求，使樣本能很好地代表總體。通常有如下兩個要求：,隨機性: 總體中每一個個體都有同等機會 被選入樣本 - xi 與總體X有相同的分布。,樣本的要求：簡單隨機樣本,設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x), x1, x2, , xn 為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為,用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱為 簡單隨機樣本，也簡稱樣本。,于是，樣本 x1, x2, , xn 可以看成是 獨立同分布( iid ) 的隨機變量， 其共同分布即為總體分布。,總體分為有限總體與無限總體,實際中總體中的個體數(shù)大多是有限的。當(dāng)個體數(shù)充

7、分大時，將有限總體看作無限總體是一種合理的抽象。,對無限總體，隨機性與獨立性容易實現(xiàn)，困難在于排除有意或無意的人為干擾。,對有限總體，只要總體所含個體數(shù)很大，特別是與樣本量相比很大，則獨立性也可基本得到滿足。,例5.1.5 設(shè)有一批產(chǎn)品共N個，需要進行抽樣檢 驗以了解其不合格品率p。現(xiàn)從中采取不放回 抽樣抽出2個產(chǎn)品，這時，第二次抽到不合格 品的概率依賴于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，則,而若第一次抽到的是合格品，則第二次抽到不合格品的概率為,P(x2 = 1 | x1 = 1) = (Np1)/(N1),P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1),顯然

8、，如此得到的樣本不是簡單隨機樣本。但是，當(dāng)N 很大時，我們可以看到上述兩種情形的概率都近似等于p 。所以當(dāng)N 很大，而n不大（一個經(jīng)驗法則是 n N 0.1）時可以把該樣本近似地看成簡單隨機樣本。,思考： 若總體的密度函數(shù)為p(x)，則其樣本的（聯(lián) 合）密度函數(shù)是什么？,5.2.1 經(jīng)驗分布函數(shù),5.2 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示,設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本，若將樣本觀測值由小到大進行排列,為 x(1), x(2), , x(n)，則稱 x(1), x(2), , x(n) 為有序樣本， 用有序樣本定義如下函數(shù),則Fn(x)是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足,Fn()

9、= 0 和 Fn() = 1,由此可見，F(xiàn)n(x)是一個分布函數(shù)， 并稱Fn(x)為經(jīng)驗分布函數(shù)。,例5.2.1 某食品廠生產(chǎn)聽裝飲料，現(xiàn)從生產(chǎn)線上 隨機抽取5聽飲料，稱得其凈重（單位：克） 351 347 355 344 351,x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355,這是一個容量為5的樣本，經(jīng)排序可得有序樣本：,其經(jīng)驗分布函數(shù)為,由伯努里大數(shù)定律： 只要 n 相當(dāng)大，F(xiàn)n(x)依概率收斂于F(x) 。,0 ， x 344 0.2， 344 x 347 Fn(x) = 0.4， 347 x 351 0.8， 344 x 34

10、7 1， x 355,更深刻的結(jié)果也是存在的，這就是格里紋科定理。,定理5.2.1（格里紋科定理） 設(shè)x1,x2,xn是取自 總體分布函數(shù)為F(x)的樣本, Fn(x) 是其經(jīng)驗分 布函數(shù)，當(dāng)n時，有,PsupFn(x) F(x)0 = 1,格里紋科定理表明：當(dāng)n 相當(dāng)大時，經(jīng)驗分布函數(shù)是總體分布函數(shù)F(x)的一個良好的近似。 經(jīng)典的統(tǒng)計學(xué)中一切統(tǒng)計推斷都以樣本為依據(jù)，其理由就在于此。,5.2.2 頻數(shù)-頻率分布表,樣本數(shù)據(jù)的整理是統(tǒng)計研究的基礎(chǔ)，整理數(shù)據(jù)的最常用方法之一是給出其頻數(shù)分布表或頻率分布表。,例5.2.2 為研究某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力， 我們隨機調(diào)查了20位工人某天生產(chǎn)的該種產(chǎn)

11、品 的數(shù)量，數(shù)據(jù)如下,(1) 對樣本進行分組：作為一般性的原則，組數(shù)通 常在520個，對容量較小的樣本;,(2) 確定每組組距：近似公式為 組距d = (最大觀測值 最小觀測值)/組數(shù);,(3) 確定每組組限： 各組區(qū)間端點為 a0, a1=a0+d, a2=a0+2d, , ak=a0+kd, 形成如下的分組區(qū)間 (a0 , a1 , (a1, a2, , (ak-1 , ak,對這20個數(shù)據(jù)(樣本)進行整理,具體步驟如下:,其中a0 略小于最小觀測值, ak 略大于最大觀測值.,(4) 統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)落入每個區(qū)間的個數(shù)頻數(shù)， 并列出其頻數(shù)頻率分布表。,表5.2.1 例5.2.2 的頻數(shù)頻率分

12、布表,組序 分組區(qū)間 組中值 頻數(shù) 頻率 累計頻率(%) 1 (147，157 152 4 0.20 20 2 (157，167 162 8 0.40 60 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，187 182 2 0.10 95 5 (187，197 192 1 0.05 100 合計 20 1,5.2.3 樣本數(shù)據(jù)的圖形顯示,一、直方圖,直方圖是頻數(shù)分布的圖形表示，它的橫坐標(biāo)表示所關(guān)心變量的取值區(qū)間，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)，頻率，最準(zhǔn)確的是頻率/組距，它可使得諸長條矩形面積和為1。凡此三種直方圖的差別僅在于縱軸刻度的選擇，直方圖本身并無變化。,把每一個數(shù)值分為

13、兩部分，前面一部分（百位和十位）稱為莖，后面部分（個位）稱為葉，然后畫一條豎線，在豎線的左側(cè)寫上莖，右側(cè)寫上葉，就形成了莖葉圖。如：,二、莖葉圖,數(shù)值 分開 莖 和 葉 112 11 | 2 11 和 2,例5.2.3 某公司對應(yīng)聘人員進行能力測試，測試 成績總分為 150分。下面是50位應(yīng)聘人員的測 試成績（已經(jīng)過排序）：,我們用這批數(shù)據(jù)給出一個莖葉圖，見下頁。,圖5.2.3 測試成績的莖葉圖,在要比較兩組樣本時， 可畫出它們的背靠背的莖葉圖。,注意：莖葉圖保留數(shù)據(jù)中全部信息。當(dāng)樣本量較 大，數(shù)據(jù)很分散，橫跨二、三個數(shù)量級時， 莖葉圖并不適用。,5.3.1 統(tǒng)計量與抽樣分布,5.3 統(tǒng)計量及

14、其分布,當(dāng)人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認(rèn)識時，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。,定義5.3.1 設(shè) x1, x2, , xn 為取自某總體的樣 本，若樣本函數(shù)T = T(x1, x2, , xn)中不含有任 何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布 稱為抽樣分布。,按照這一定義：若 x1, x2, , xn 為樣本， 則 以及經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)都是統(tǒng)計量。而當(dāng), 2 未知時，x1, x1/ 等均不是統(tǒng)計量。,盡管統(tǒng)計量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。,下面介紹一些常見的統(tǒng)計量及其抽樣分布。,5.3.2 樣本均值及其抽樣分布,定義5.3.

15、2 設(shè) x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用 表示，即,思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？ 二者結(jié)果相同嗎？,x,x= (x1+xn)/n,定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，,樣本均值的基本性質(zhì)：,定理5.3.1 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差 稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即,最小，其中c為任意給定常數(shù)。,樣本均值的抽樣分布：,定理5.3.3 設(shè)x1, x2, , xn 是來自某個總體的樣本，,為樣本均值。,(1) 若總體分布為N(, 2)，則,的精確分布為N(, 2/n) ;,若總體分布未

16、知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,則n 較大時 的漸近分 布為N(, 2/n) ,常記為 。,xAN(, 2/n),這里漸近分布是指n 較大時的近似分布.,5.3.3 樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差,稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,定義5.3.3,稱為樣本方差，,其算術(shù)平方根,在n 不大時，常用 作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,在這個定義中，, ( xi x )2,n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：,在 確定后, n 個偏差,x1x, x2x, , xnx,能自由取值，因為,只有n1個數(shù)據(jù)可以自由變動，而第n個則不,(xi x ) = 0 .,稱為偏差平方和，,中,樣本偏差平方

17、和有三個不同的表達式：,( xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx,它們都可用來計算樣本方差。,思考：分組樣本如何計算樣本方差？,樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總體的分布形式。,定理5.3.4 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E(x)= , Var(x)=2 , x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，,x,和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則,E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2,5.3.4 樣本矩及其函數(shù),樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。,定義5.3.4 ak = (xik)/n

18、 稱為樣本 k 階原點矩， 特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。,稱為樣本k階中心矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。,bk = (xi x)k/n,當(dāng)總體關(guān)于分布中心對稱時，我們用,和 s,刻畫樣本特征很有代表性，而當(dāng)其不對稱時， 只用,就顯得很不夠。為此，需要一些刻畫分布形狀的統(tǒng)計量，如樣本偏度和樣本峰度，它們都是樣本中心矩的函數(shù)。,樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。,定義： 1 = b3/b23/2 稱為樣本偏度， 2 = b4/b22 稱為樣本峰度。,和 s,5.3.5 次序統(tǒng)計量及其分布,另一類常見的統(tǒng)計量是次序統(tǒng)

19、計量。,一、定義5.3.7 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個次序統(tǒng)計量，它的取值 是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個 觀測值。其中x(1)=minx1, x2, xn稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計量，稱 x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計量。,例5.3.6 設(shè)總體X 的分布為僅取0，1，2的離散 均勻分布，分布列為,我們知道，在一個樣本中，x1, x2,xn 是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨立，分布也不相同，看下例。,現(xiàn)從中抽取容量為3的樣本，其一切可能取值有33=27種，表5

20、.3.6列出了這些值，由此,我們可以清楚地看到這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的。,可給出的 x(1) , x(2), x(3) 分布列如下：,進一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為,因為 P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，,二者不等， 由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨立的。,而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，,二、單個次序統(tǒng)計量的分布,定理5.3.5 設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布 函數(shù)為F(x)， x1, x2, xn為樣本，則第k個 次序統(tǒng)計量x(k)的

21、密度函數(shù)為,例5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)=3x2, 0x1. 從該總體抽得一個容量為5的樣本， 試計算 P(x(2)1/2)。,解：有兩種求法：從古典概型出發(fā)；從次序統(tǒng) 計量密度函數(shù)出發(fā)。,例5.3.8 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣 本，試求第 k 個次序統(tǒng)計量的分布。,三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布,對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：,定理5.3.6 在定理5.3.5的記號下，次序統(tǒng)計 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為,次序統(tǒng)計量的函數(shù)在實際中經(jīng)常用到。 如 樣本極差 Rn = x(n) x(1)， 樣本中程

22、 x(n) x(1)/2。,樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數(shù)表示。,令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出 0 x(1) = x(n)R 1 R ， 則,例5.3.9 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，則(x(n), x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為,p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1,這正是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。,5.3.6 樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù),樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，通常如下定義：,更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義：,定理5.3.7 設(shè)總體密度

23、函數(shù)為p(x)，xp為其p分 位數(shù)， p(x)在xp處連續(xù)且 p(xp) 0，則,特別，對樣本中位數(shù)，當(dāng)n時近似地有,當(dāng)n 時樣本 p 分位數(shù) mp 的漸近分布為,例5.3.10 設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為,p(x,)= 1/(1+(x)2) , x +,通常，樣本均值在概括數(shù)據(jù)方面具有一定的優(yōu)勢。但當(dāng)數(shù)據(jù)中含有極端值時，使用中位數(shù)比使用均值更好，中位數(shù)的這種抗干擾性在統(tǒng)計中稱為具有穩(wěn)健性。,不難看出是該總體的中位數(shù)，即x0.5= 。 設(shè) x1, x2, xn 是來自該總體的樣本，當(dāng)樣本量n 較大時，樣本中位數(shù)m0.5 的漸近分布為,m0.5 AN(, 2/4n) .,5.3.7 五數(shù)概括與

24、箱線圖,次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：,最小觀測值 xmin= x(1) , 最大觀測值 xmax=x(n) , 中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0.75.,所謂五數(shù)概括就是指用這五個數(shù)： xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax,來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。,5.4 三大抽樣分布,大家很快會看到，有很多統(tǒng)計推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量在實際中有廣泛的應(yīng)用，這是因為這三個統(tǒng)計量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達式，它們被稱

25、為統(tǒng)計中的“ 三大抽樣分布 ” 。,5.4.1 2 分布(卡方分布),定義5.4.1 設(shè) X1, X2, Xn, 獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn) 正態(tài)分布N(0,1) ，則2= X12+ Xn2的分布稱 為自由度為n 的2分布，記為 2 2(n) 。,當(dāng)隨機變量 2 2(n) 時，對給定 (01)，稱滿足 P(2 12(n) 的 12(n) 是自由度為n1的卡方分布的1 分位數(shù). 分位數(shù) 12(n) 可以從附表3 中查到。,該密度函數(shù)的圖像是一只取非負值的偏態(tài)分布,5.4.2 F 分布,定義5.4.2 設(shè)X1 2(m), X2 2(n), X1與X2獨立， 則稱 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自

26、由度為 m 與 n 的 F分布，記為F F(m, n)，其中m 稱為分子自 由度，n 稱為分母自由度。,當(dāng)隨機變量F F(m,n) 時，對給定 (01) ，稱滿足 P(F F1(m,n) =1 的F1(m,n) 是自由度為m 與 n 的F 分布的1 分位數(shù)。,由 F 分布的構(gòu)造知 F(n,m) = 1/F1(m,n)。,該密度函數(shù)的圖象也是一只取非負值的偏態(tài)分布,5.4.3 t 分布,定義 5.4.3 設(shè)隨機變量X1 與X2 獨立， 且X1 N(0,1), X2 2(n), 則稱,的分布為自由度為n 的t 分布，記為t t(n) 。,t 分布的密度函數(shù)的圖象是一個關(guān)于縱軸對稱的分布，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

27、分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。,n1時, t 分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0； n2時，t 分布的方差存在，且為n/(n2)； 當(dāng)自由度較大 (如n30) 時， t 分布可以用 正態(tài)分布 N(0,1)近似。,自由度為1的 t 分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布， 它的均值不存在；,當(dāng)隨機變量t t(n) 時，稱滿足 P(t t1(n) =1 的 t1(n) 是自由度為 n 的 t 分布的1分位數(shù). 分位數(shù) t1(n) 可以從附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么從附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .,由于 t 分

28、布的密度函數(shù)關(guān)于0 對稱, 故其分位數(shù)間有如下關(guān)系 t(n1)= t1(n1),5.4.4 一些重要結(jié)論,定理5.4.1 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(, 2) 的 樣本，其樣本均值和樣本方差分別為,和,x = xi/n,(3) (n1) s2/2 2(n1)。,則有,與 s2 相互獨立；,(2) x N(, 2/n) ；,推論5.4.3 設(shè) x1, x2, xn 是來自N(1, 12) 的 樣本，y1, y2, yn 是來自N(2, 22) 的樣本， 且此兩樣本相互獨立，則有,特別，若12 =22 ，則,F=sx2/sy2 F(m1,n1),推論5.4.4 在推論5.4.3的記號下，設(shè)

29、 12 =22 = 2 ， 并記,則,5.5 充分統(tǒng)計量,5.5.1 充分性的概念,例5.5.1 為研究某個運動員的打靶命中率，我們 對該運動員進行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的 觀測結(jié)果包含了兩種信息：,(1) 打靶10次命中8次；,(2) 2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次 打靶上。,第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。一般地，設(shè)我們對該運動員進行n 次觀測，得到 x1, x2, xn，每個xj 取值非0即1，命中為1，不命中為0。令 T = x1+xn ，T為觀測到的命中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T 不會丟失任何與命中率 有關(guān)的信息，統(tǒng)計上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。,樣本 x=(x1,x2,xn) 有一個樣本分布F (x)， 這個分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。,統(tǒng)計量T =T (x1,x2,xn) 也有一個抽樣分布FT(t) ，當(dāng)我們期望用統(tǒng)計量T