1、平面向量的極化恒等式及其應用一. 極化恒等式的由來定理：平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.證法1 （向量法）設(shè) 則.即 .證法2 （解析法） 證法3 （余弦定理）推論1：由知，,即 推論2： - 極化恒等式. 即 推論3：在中，是邊的中點，則- 極化恒等式的幾何意義.亦即向量數(shù)量積的第二幾何意義.二. 平行四邊形的一個重要結(jié)論平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.三. 三角形中線的一個性質(zhì)： .推論1： .推論2： .【應用】已知點是直角三角形斜邊上中線的中點，則.四. 三角形“四心”的向量形態(tài)1. 是平面上一定點，是平面上不同的三點，動點P滿足，則動點P的軌跡

2、一定通過的-A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心2. 是平面上一定點，是平面上不同的三點，動點P滿足 ，.則動點P的軌跡一定通過的-A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心3. 是平面上一定點，是平面上不同的三點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的- A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心4. 是所在平面上一點，若，P是的-A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心5. 是所在平面內(nèi)的一點，滿足，則點是的-（ ） A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心五. 典型案例分析問題1 在中，是的中點，則【變式】已知正方形的邊長為1，點是邊上的動點，則問題2 已知正

3、三角形內(nèi)接于半徑為2的圓，點是圓上的一個動點，則的取值范圍是-【變式】（2010福建文11題）若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最大值為 （ ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 8問題3 （2013浙江理7）在中，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有，則A. B. C. D. 【變式】（2008浙江理9題）已知是平面內(nèi)的兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. D. .問題3 已知直線與拋物線交于點，點為的中點，為拋物線上一個動點，若滿足，則下列一定成立的是 （ ）【B】A. B. ，其中是拋物線過點的切線 C. D.

4、 （2013年浙江省高中數(shù)學競賽試題第5題）問題4 在正三角形中，是上的點，,則（2011年上海第11題）【】問題5 在中，是的中點，則.（2007年天津文科第15題）【】問題6 正方體的棱長為，是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動點，當弦最長時，的最大值為-.（2013年浙江省湖州市高三數(shù)學二模）【2】.問題7 點是棱長為1的正方體的底面上一點，則的取值范圍是-. （2013年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學二模）【】.問題8 如圖，在平行四邊形中，已知，則.的值為-.（2014年高考江蘇卷第12題）【22】問題9 如圖，在半徑為的扇形中，,為弧上的動點，與交于點，則最小值為-【】.問題10 已知是雙曲線上的一點，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【橢圓與雙曲線焦點三角形的幾個結(jié)論】：在橢圓中，設(shè)，則，.在雙曲線，設(shè)，則，.課外探究1. 已知點是橢圓上任意一點，是圓的直