1、第4章投影變換,4.1 概 述 4.2 換面法的基本原理 4.3 幾個(gè)基本作圖問題 4.4 換面法應(yīng)用舉例,4.1 概 述,如果給出的直線和平面傾斜于投影面，那么它們的投影就不具有積聚性和顯實(shí)性，求解問題將變得困難。投影變換的目的就是將一般位置直線或平面變換成特殊位置直線或平面，以便于解決它們的度量和定位問題。可見，投影變換的實(shí)質(zhì)就是改變幾何元素與投影面的相對(duì)位置。 為了達(dá)到投影變換的目的，方法較多，常用的有換面法和旋轉(zhuǎn)法兩種方法，如圖4-2所示： (1)換面法：保持空間幾何元素不動(dòng)，用一個(gè)新的投影面替換其中一個(gè)原來(lái)的投影面，使新投影面對(duì)于空間幾何元素處于有利于解題的位置，然后找出其在新投影面

2、上的投影；,下-頁(yè) 返回,4.1 概 述,(2)旋轉(zhuǎn)法：投影面保持不動(dòng)，使空間幾何元素繞某一軸旋轉(zhuǎn)到有利于解題的位置，然后找出其旋轉(zhuǎn)后的新投影。,上-頁(yè) 返回,4.2 換面法的基本原理,換面法是在給出的兩面投影體系中，用一個(gè)新的投影面替換其中一個(gè)原來(lái)的投影面，而且新的投影面必須與保留的投影面垂直，因?yàn)橹挥羞@樣才能構(gòu)成新的兩面投影體系。 4.2.1一次換面 1換V面 點(diǎn)A在原投影體系V/H中，其投影為a和a，現(xiàn)令H面不動(dòng)，用新投影面v1來(lái)代替V面，并使v1面垂直于H面。于是，投影面H和v1就形成了新的投影體系v1 H，它們的交線O1X1就成為新的投影軸。,下-頁(yè) 返回,4.2 換面法的基本原理,

3、過點(diǎn)A向v1面作垂線，得到v1面上的新投影a1，點(diǎn)a1是新投影，點(diǎn)a是被替換的投影，點(diǎn)a是新、舊投影體系中的共有的不變投影，稱為被保留的投影。a和a1是新的投影體系中的兩個(gè)投影，將v1面繞O1X1軸旋轉(zhuǎn)到與H面重合的位置時(shí)，就得到圖4-3 (b)所示的投影圖。 2換H面 如圖4 -4 (a)所示，點(diǎn)A在原投影體系V/H中，其投影為a和a，現(xiàn)令V面不動(dòng)，用新投影面H1來(lái)代替H面，并使H1面垂直于V面。于是，投影面H1和V面就形成了新的投影體系V/H1，它們的交線O1X1就成為新的投影軸。,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.2 換面法的基本原理,過點(diǎn)A向H1面作垂線，得到H1面上的新投影a1，點(diǎn)a1是新投

4、影，點(diǎn)a是被替換的投影，點(diǎn)是新、舊投影體系中的共有的不變投影，稱為被保留的投影。a和al是新的投影體系中的兩個(gè)投影，將H1面繞O1X1軸旋轉(zhuǎn)到與V面重合的位置時(shí)，就得到圖4-4 (b)所示的投影圖。 綜上所述，無(wú)論是替換V面還是替換H面，均可得到以下結(jié)論： (1)點(diǎn)的新投影和被保留投影的連線，必垂直于新投影軸； (2)點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被替換的點(diǎn)的投影到原軸的距離。 從上面的換面過程可以得到換面后的新投影作圖方法：,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.2 換面法的基本原理,換V面的作圖方法和步驟： (1)在被保留的H投影a附近（適當(dāng)?shù)奈恢茫┳鱋1X1軸； (2)由H投影a向新投影軸O1X1作

5、垂線，在此垂線上量取a1ax1=aax，點(diǎn)a1即為所求。 換H面的作圖方法和步驟如圖4 -6所示： (1)在被保留的V投影a附近（適當(dāng)?shù)奈恢茫┳鱋1X1軸； (2)由V投影a向新投影軸O1X1作垂線，在此垂線上量取a1ax1=aax ，點(diǎn)a1即為所求。 4.2.2兩次換面,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.2 換面法的基本原理,由于應(yīng)用換面法解決實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)一次換面還不便于解題，因此還需要兩次或多次變換投影面。這就是兩次換面。其求點(diǎn)的新投影的作圖原理與一次換面相同。但需要注意：在更換投影面時(shí)，不能一次更換兩個(gè)投影面，為在換面過程中二投影面保持垂直，必須在更換一個(gè)之后，在新的投影體系中交替地再更換另

6、一個(gè)。 兩次換面的途徑可以是：先換V面再換H面或者先換H面再換V面。 在圖4 -7中，投影體系V/H稱為原體系，第一次換面形成的V1H和V/H1體系稱為中間體系，第二次換面形成的V1 /H1體系稱為全新體系。,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.2 換面法的基本原理,以上主要介紹了換面法的作圖原理，我們除了要遵循換面法的基本結(jié)論外，還應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)： (1)新投影面必須和空間的幾何元素處于有利于解題的位置，而這也是換面法要解決的主要問題； (2)新投影面必須垂直于一個(gè)原有的投影面； (3)在新建立的投影體系中仍然采用正投影法。,上-頁(yè) 返回,4.3 幾個(gè)基本作圖問題,在用換面法解題時(shí)，應(yīng)掌握以下幾種基

7、本作圖方法。 4.3.1 將一般位置直線變換為投影面的平行線 如圖4 -9 (a)所示，為把一般位置直線AB變換為投影面平行線，用V1面代替V面，使V1面AB并垂直于H面。此時(shí)，AB在新投影體系V1/H中為正平線。作圖時(shí)，先在適當(dāng)位置畫出與不變投影ab平行的新投影軸O1X1 (O1X1 ab)，然后根據(jù)點(diǎn)的投影變換規(guī)律和作圖方法，求出A、B兩點(diǎn)在新投影面V上的新投影a1b1 ，連接直線a1b1 ，則a1b1反映線段AB的實(shí)長(zhǎng)，即a1b1=AB，并且新投影a1b1和新投影軸（ O1X1軸）的夾角即為直線AB對(duì)H面的傾角，如圖4-9 (b)所示。,下-頁(yè) 返回,4.3 幾個(gè)基本作圖問題,4.3.2

8、 將投影面的平行線變換為投影面的垂直線 如圖4 -10 (a)表示將水平線AB變換為新投影面的垂直線的情況。因所選的新投影面垂直于AB，而AB為水平線，所以新投影面一定垂直于H面，故應(yīng)換V面，用新投影體系V1/H更換舊投影體系V/H，其中O1X1上ab。 4.3.3將一般位置直線變換為投影面垂直線 如果要將一般位置直線變換為投影面垂直線，必X須變換兩次投影面，先將一般位置直線變換為投影面的平行線，然后再將該投影面平行線變換為投影面垂直線。,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.3 幾個(gè)基本作圖問題,4.3.4將一般位置平面變換為投影面垂直面 將一般位置平面變換為投影面垂直面，只需使平面內(nèi)的任一條直線垂直于

9、新的投影面。我們知道要將一般位置直線變換為投影面的垂直線，必須經(jīng)過兩次變換，而將投影面平行線變換為投影面垂直線則只需要一次變換。因此，在平面內(nèi)不取一般位置直線，而是取一條投影面的平行線為輔助線，再取與輔助線垂直的平面為新投影面，則平面也就和新投影面垂直了。,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.3 幾個(gè)基本作圖問題,4.3.5將投影面的垂直面變換為投影面的平行面 作圖步驟如圖4-13 (b)所示： (1)在適當(dāng)位置作O1X1abc； (2)求出ABC在V1面的投影a1 ，b1 ，c1，連接此三點(diǎn)，得a1b1c1即為ABC的實(shí)形。 4.3.6將一般位置平面變換為投影面平行面 要將一般位置平面變換為投影面平行

10、面，必須經(jīng)過兩次換面。因?yàn)槿绻⌒峦队懊嫫叫杏谝话阄恢闷矫妫瑒t這個(gè)投影面也一定是一般位置平面，它和原體系V/H中的哪個(gè)投影面都不垂直而無(wú)法構(gòu)成新投影體系。因此，一般位置平面變換為,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.3 幾個(gè)基本作圖問題,投影面平行面，必須經(jīng)過兩次換面，第一次換面可將一般位置平面變換成投影面垂直面，第二次換面再把投影面垂直面變換成投影面平行面。作圖過程實(shí)際上是4.3.4和4.3.5的綜合。,上-頁(yè) 返回,4.4 換面法應(yīng)用舉例,4.4.1點(diǎn)到直線的距離 例4 -1如圖4-15 (a)所示：已知線段AB和線外一點(diǎn)C的兩面投影，求點(diǎn)C到直線AB的距離，并作出點(diǎn)C對(duì)AB的垂線的投影。 作圖如圖

11、4 -15 (b)所示 4.4.2 兩交叉直線之間的距離 求兩交叉直線之間的距離，應(yīng)該用它們的公垂線來(lái)度量。 例4 -2如圖4-16 (a)所示，已知兩條交叉直線AB、CD，求兩直線間的距離。,下-頁(yè) 返回,4.4 換面法應(yīng)用舉例,作圖如圖4 -16 (a)所示 4.4.3求直線與平面的交點(diǎn) 求直線與平面的交點(diǎn)，只需將所給平面變換成投影面垂直面就可解決。 4.4.4求兩相交平面的夾角 如圖4 -18 (a) ，若把兩平面的交線變換成投影面垂直線，此時(shí)兩平面的新投影就積聚成兩條相交的直線，這兩條直線的夾角就是兩平面之間夾角的真實(shí)大小。,上-頁(yè) 下-頁(yè) 返回,4.4 換面法應(yīng)用舉例,例4 -4如圖4-18 (b)所示，求作平面ABC與ACD的夾角。 用兩次換面把交線AC變換成投影面垂直線，同時(shí)做出兩平面的新投影a1b1c1和a1c1d1以及a1b1c1和a1c1d1，積聚投影a1b1c1與a1c1d1的夾角即為所求的兩面角。,上-頁(yè) 返回,圖4-2投影變換的方