1、壓縮映射及其不動點的概念,第四節(jié) 壓縮映射原理及其應用,壓縮映射原理應用舉例求映射的不動點,壓縮映射原理,注：1）把“方程的求解”問題化歸為“求映射的不動點”問題 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不動點（既近似解）的方法是計算數(shù)學，分析和代數(shù)中常用的一種重要方法。例如，牛頓求代數(shù)方程根時采用的切線法。 2）映射的不動點：使x=Tx的x稱為T:XX的不動點.,基本思想：,代數(shù)方程,微分方程,積分方程,x=Tx,x0 , xn+1=Txn,定義4.1 (壓縮映射) 設X是距離空間，T：XX是X上的自映射，如果存在01，對x,yX，都有 (Tx,Ty)(x,y)， 則稱T是X上的一個壓縮映射。,一、壓縮

2、映射及壓縮映射原理,1.壓縮映射及其不動點的定義,定義4.1 (映射的不動點) 設X距離空間，T：XX是X上的自映射，如果存在xX，使得x=Tx，則稱x是映射T的一個不動點。,定理1 壓縮映射是連續(xù)映射 事實上，xnX, xnxX, T:XX是壓縮映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n) T是連續(xù)映射,2. 壓縮映射原理(Banach不動點原理，波蘭，1922),定理4.1 (壓縮映射原理) 設X 是完備的距離空間，映射T：XX是壓縮映射，則T在X中存在唯一的不動點x, 即x=Tx。,證 存在性 設X完備，T: XX是壓縮映射， 任取初始點x0X，構造迭代序列xnX： xn+1=Txn

3、(n=0,1,2,) 證明xn是基本列, 因而是收斂列。T是壓縮映射 , 01, 使得 (xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2) n(x1,x0)=n(Tx0,x0) (n=1,2,) (xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+(xn+1,xn) (n+k-1+n+k-2+n)(Tx0,x0) (kN), 證明極限點x就是T的不動點。 T是壓縮映射T是連續(xù)映射 xn+1=Txn , xnx, T連續(xù)x=Tx (n) x是T的不動點,唯一性 設x,y都是T的不動點x=Tx,y=Ty (x,y)=(Tx,Ty)(x,y

4、)(x,y)=0 (01),(xn+k,xn)0 (n) (01) xn是基本列xn收斂 (X完備) xX, 使xnx (n),注 1) 壓縮映射原理給出了映射的不動點存在的條件； 2) 壓縮映射原理提供了映射不動點的求法迭代法: x0X, 令xn=Txn-1, 則 xn=Tnx0 (n=1,2,), x=lim xn (n). 3)壓縮映射原理給出了近似解的誤差估計公式：,事實上，由定理證明過程知,令k, 有極限保號性記即得證,推論4.1 設X是完備的距離空間，T：XX. 如果T在閉球S(x0, r)上是壓縮映射，并且 (Tx0, x0)(1)r (01) 則T在閉球S(x0, r) 中存在

5、唯一的不動點。,分析 只要在閉球內構造一個迭代序列xn即可。 證 取初始點x0S(x0, r)，作迭代xn=Tn x0 (n=0,1,2,) T是S(x0,r)上的壓縮映射, 且(Tx0, x0)(1)r (01) (x1, x0)=(Tx0,x0)(1-)rr (x2,x0)=(Tx1,x0) (Tx1,Tx0)+(Tx0,x0) (x1,x0)+(1-)r+r(1-)r=r (xn,x0)r (n=1,2,) (數(shù)學歸納法) xnS(x0,r) (n=1,2,) 唯一xS(x0,r)，使得x=Tx. （在S(x0,r)上應用定理4.1),推論4.2 設X是完備距離空間，T：XX，如果存在常

6、數(shù) (01) 及正整數(shù)n0 ，使對任何x, yX，都有,則T存在唯一不動點x，即x=Tx. (其中定義：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),Tnx=T(Tn-1x),),證,是X上的壓縮映射,x與Tx都是 的不動點 x=Tx （不動點的唯一性）,應用壓縮映射原理及其推論解決實際問題的步驟： 1) 說明X是完備距離空間； 2) 有實際問題定義映射T:XX，使x=Tx； 3) 證明所定義映射T是X上的壓縮映射； 3) 有壓縮映射原理說明不動點的存在唯一性。,3.壓縮映射原理應用,例4.1 設f (x)在R可導, 且f (x)0, 使=k1, 令 Cx0-,x0+=y=y(x)xx0-, x0+, y(x)連續(xù)， 則Cx0-, x0+按如下距離(y1,y2)是完備的距離空間：, T是壓縮映射唯一y(x)C(x0-,x0+), 使,例4.3 設有線性方程組,如果對每個i,則該方程組有唯一解。,證 Rn按距離,是完備的距離空間.,則T是Rn到Rn的映射, 可以證明，T是壓縮映射，因而存在唯一 不動點x, 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程組有唯一解。 事實上，x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,xn(k) )Rn, k=1,2.,T: RnRn是壓縮映射。,由于 對每個,故,從而,從而 T是壓縮映射。由壓縮映射原