1、Chapter.4 態(tài)和力學(xué)量的表象,The representation for the states and dynamical variable,引言,按量子力學(xué)基本原理，體系的狀態(tài)用波函數(shù)描述，力學(xué)量用線性厄米算符表示。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量算符是以坐標(biāo)這個(gè)力學(xué)量算符的本征值為變量寫出它們的具體形式的。那么，是否還可以選擇其它力學(xué)量算符的本征值作為變量而寫出波函數(shù)及力學(xué)量算符的具體形式呢？回答是肯定的。這就是說(shuō)量子力學(xué)中波函數(shù)和力學(xué)量算符的描述方式不是唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對(duì)空間的描寫是完全是等價(jià)的。,量子力

2、學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象,動(dòng)量表象,能量表象,角動(dòng)量表象,常用的表象,坐標(biāo)表象,4.1 態(tài)的表象 The representation of the state 4.2 算符的矩陣表示 Matrix representation of operators 4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示 Matrix representation of formula for quantum mechanism 4.4 幺正變換 Unitary transformation 4.5 狄喇克符號(hào) Dirac symbols 4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象 Linear oscillator and o

3、ccupation number representation,研究?jī)?nèi)容,重點(diǎn)掌握的內(nèi)容, 狄喇克符號(hào)及應(yīng)用, 幺正變換的基本性質(zhì),表象的定義, 一個(gè)定義：, 產(chǎn)生算符、湮滅算符、粒子數(shù)算符及它 們的物理意義,矩陣力學(xué),主要數(shù)學(xué)工具,矩 陣,1態(tài)的動(dòng)量表象,4.1 態(tài)的表象,動(dòng)量算符本征函數(shù)：,組成 完備系,展開(kāi)系數(shù),構(gòu)成付里葉變換與逆變換,從數(shù)學(xué)上講，知道其一, 必可唯一地求出另一。,從物理角度看， 描述粒子狀態(tài)，那么 也可用于描述粒子同一狀態(tài)。,任一狀態(tài) 可按其展開(kāi)：,稱為坐標(biāo)表象中的狀態(tài)波函數(shù)， 稱為動(dòng)量表象中的狀態(tài)波函數(shù)。,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,物理意義？,兩者從不同的側(cè)面描寫粒子的

4、狀態(tài), 給出了粒子的不同信息（力學(xué)量 和 的信息）。,證,（歸一化條件）,命題,若 是歸一化波函數(shù)，則 也歸一。,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,2Q 表象,力學(xué)量算符 的正交歸一的本征函數(shù)完備系：,任一狀態(tài) 可按其展開(kāi)：,展開(kāi)系數(shù)：,由上述兩式給出了 與 函數(shù)集之間的相互變換關(guān)系，將 寫成矩陣,本征方程：,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,給出在 態(tài)中測(cè)量粒子的力學(xué)量Q 取 值的幾率,對(duì)于 與 ，知道其一就可求得另一，因而 與 描述粒子同一狀態(tài)。 是粒子狀態(tài)波函數(shù)在Q 表象中的表示，稱為Q 表象波函數(shù),4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,歸一化條件,（歸一化條件的矩陣 表述形式）,以上討論可推廣到 Q 有連續(xù)譜的情況。,

5、Ex.1.,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,動(dòng)量本征函數(shù),Solve,選擇動(dòng)量表象:,展開(kāi)系數(shù)：,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,能量表象：,本征函數(shù),可見(jiàn)能量算符的本征函數(shù)在能量自身表象中取符號(hào)形式。,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,基態(tài)的表示,一般結(jié)論: 力學(xué)量算符屬于分立本征值的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一符號(hào), 其矩陣為單位元矩陣。,能級(jí)態(tài)的表示,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,Ex.2:,Solve：,自由粒子動(dòng)量算符的本征函數(shù),求自由粒子動(dòng)量算符 具有確定本征值 的本征函數(shù)在動(dòng)量自身表象中的形式,Ch.4 The representation for the states and dynamical vari

6、able,動(dòng)量算符 具有確定本征值 的本征函數(shù):,可見(jiàn)，動(dòng)量算符具有確定本征動(dòng)量值 的本征函數(shù)在動(dòng)量自身表象中是以動(dòng)量 為變量的函數(shù)。,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,動(dòng)量算符的本征方程,一般結(jié)論: 力學(xué)量算符屬于連續(xù)本征值的本征函數(shù)在該力學(xué)量自身表象中為一函數(shù)。,Ch.4 The representation for the states and dynamical variable,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,本征值方程:,以上討論與三維矢量空間矢量的表示很類似。,Hilbert空間與態(tài)矢量,在三維矢量空間選一組正交歸一完備基,正交歸一條件,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,Hilbert空間：滿足態(tài)迭加原理的

7、狀態(tài)全體構(gòu)成的復(fù) 線性空間,態(tài)矢量： Hilbert空間中的矢量，即體系的狀態(tài)波 函數(shù)視為一個(gè)矢量稱為態(tài)矢量（簡(jiǎn)稱態(tài)矢）,力學(xué)量算符 的正交歸一完備函數(shù)系 構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。,任一態(tài)矢,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,注意： 由于波函數(shù)必須歸一化，因而態(tài)矢的大小一定，不同的態(tài)矢只是方向不同。,表象與幾何空間坐標(biāo)系的比較,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,正交歸一,正交歸一,量子態(tài)矢量：,矢量:,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,選定一個(gè)特定 表象，就相當(dāng)于在Hilbert空間中選定一個(gè)特定的坐標(biāo)系,力學(xué)量算符 的正交歸一完備函數(shù)系 構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。,.任意態(tài)矢

8、量 在 表象中的表示是一列矩陣，矩陣元 是態(tài)矢量 在 算符的本征矢 上的投影。,3選取不同力學(xué)量表象，就是選取不同完備正交基底，態(tài)矢的表述具有不同矩陣形式，這就是態(tài)的不同表象波函數(shù)。,結(jié)論,4.1 態(tài)的表象（續(xù)）,作業(yè), ,4.1 態(tài)的表象（續(xù)5）,4.2 算符的矩陣表示,坐標(biāo)表象,動(dòng)量表象,問(wèn)題,力學(xué)量算符 在 表象中如何表示？,在坐標(biāo)表象中，力學(xué)量 F 用算符 表示，設(shè) 作用于 得到 。,選定力學(xué)量 表象， 算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系記為,將 和 分別按函數(shù)系 展開(kāi),代入坐標(biāo)表象表達(dá)式（1）,以 乘該式，對(duì) 全部范圍積分,4.2 算符的矩陣表示（續(xù)）,Q表象的表 達(dá)方式,4.2 算符的

9、矩陣表示（續(xù)2）,討論,1 是厄米矩陣,Prove：,顯而易見(jiàn)，對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù),可見(jiàn)，算符 在Q表象中是一個(gè)矩陣 ，其矩陣元為,即 是厄米矩陣。,4.2 算符的矩陣表示（續(xù)3）,2力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。,3當(dāng) 具有連續(xù)本征值譜 時(shí)，力學(xué)量算符的表示矩陣元,4.2 算符的矩陣表示（續(xù)4）,在Q 表象中乃是一個(gè)矩陣，不過(guò)其行列不再是可數(shù)的，故用連續(xù)變化的下腳標(biāo)表示。,求力學(xué)量算符矩陣的關(guān)鍵是求其矩陣元,Ex：設(shè)一維粒子Hamilton量 1、求x表象中x,p和H的“矩陣元”， 2、求p表象中x,p和H的“矩陣元”。,Solve： 1、 在 表象中， 的本征函數(shù),4.2 算符

10、的矩陣表示（續(xù)5）,2、在 象中， 算符的本征函數(shù),4.2 算符的矩陣表示（續(xù)6）,4.2 算符的矩陣表示（續(xù)7）,1歸一化條件,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示,2、平均值公式,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)1）,在 表象中：,（續(xù)7）,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù),4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)3）,3、本征值方程,在Q表象中，其矩陣形式為：,（1）,移項(xiàng)得：,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)4）,（m = 1，2，3）,（2）,此式即為線性齊次方程組：,非零解的條件是系數(shù)行列式等于0，即久期方程：,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)5）,將每個(gè) 值分別代入矩陣方程（1）或（

11、2），求出 , 即得本征函數(shù),這樣變解微分方程為解代數(shù)方程。,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)6）,Ex. 已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩陣分別為,求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將矩陣 和 對(duì)角化。,本征方程為,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)7）,要使本征波函數(shù)不為零，亦即要求a,b,c不全為零，其條件是（1）中的系數(shù)矩陣的行列式為零。,（1）,本征值,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)8）,當(dāng) 時(shí)， 由（2）有,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)9）,由歸一化條件:,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)10）,歸一化常數(shù),歸一化的波函數(shù),當(dāng) 時(shí),由（2）有,4.3 量子

12、力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)11）,歸一化的波函數(shù)：,當(dāng) ,由（2）有：,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)12）,歸一化條件,歸一化的波函數(shù)：,構(gòu)成一個(gè)正交歸一本征函數(shù)完備系,的對(duì)角矩陣,正交歸一化條件：,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)13）,類似地, 可求出 的本征值、歸一化的本征函數(shù)系和對(duì)角陣。,本征值,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（14）,本征波函數(shù)：,正交歸一化條件：,的對(duì)角矩陣：,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)15）,簡(jiǎn)寫為：,其中,4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示（續(xù)17）,4.4 幺正變換,為了找到 和 的聯(lián)系，將 按 展開(kāi)：,1、幺正變換,設(shè)算符 的正交歸一本征函數(shù)系為,算

13、符 的正交歸一本征函數(shù)系為,討論波函數(shù)和力學(xué)量從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象的一般情況,其展開(kāi)系數(shù)為：,由 為矩陣元所構(gòu)成的矩陣稱為變換矩陣。通過(guò)（1）和（2）就把 表象的基矢 變換為 表象的基矢 。,由 和 的正交歸一性有：,4.4 幺正變換（續(xù)1）,同理,4.4 幺正變換（續(xù) 2）,將 按 展開(kāi):,4.4 幺正變換（續(xù) 3）,即 是幺正矩陣，由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換,結(jié)論: 一個(gè)表象到另一個(gè)表象的變換是幺正變換。,2 力學(xué)量的表象變換,力學(xué)量 在表象A中的表示矩陣：,在表象B中的表示矩陣：,4.4 幺正變換（續(xù) 4）,此為力學(xué)量 從表象A變換到表象B的變換公式,4.4 幺正變換（續(xù) 5

14、）,3. 態(tài)的表象變換,任意態(tài)矢量,4.4 幺正變換（續(xù) 6）,4.4 幺正變換（續(xù) 8）,兩邊左乘 ,并對(duì) 積分,寫成矩陣形式:,簡(jiǎn)寫為,從B表象變換到A表象,從A表象變換到B表象,反之，,4.4 幺正變換（續(xù) 9）,4.幺正變換的兩個(gè)重要性質(zhì),（1）幺正變換不改變算符的本征值,在 表象中的矩陣為 ,本征矢為,算符 在 表象中的矩陣為 ,本征矢為,4.4 幺正變換（續(xù) 10）,本征方程,（2）,本征值不變,比較(1)、(2) 式,可知,由此定義有:,故跡不變， 的跡等于 的跡,4.4 幺正變換（續(xù) 12）,（2）幺正變換不改變矩陣的跡,矩陣A的對(duì)角元素之和稱為矩陣A的跡，以 表示，則,態(tài)矢量

15、 微觀體系的狀態(tài)用一種矢量來(lái)表示，這種矢量稱為態(tài)矢量 （一般是復(fù)矢量）,態(tài)矢量空間 由一切可能的態(tài)矢量所構(gòu)成的一種抽象的線性空間，稱為態(tài)矢量空間 (希爾伯特空間)。,對(duì)偶態(tài)矢量空間 由共軛態(tài)矢量所構(gòu)成的線性空間稱為對(duì)偶態(tài)矢量空間。,一、狄喇克符號(hào)的引入,4.5 狄喇克符號(hào),刃矢 表示態(tài)矢量空間中一個(gè)態(tài)矢量,又稱為 右矢(ket),刁矢 表示對(duì)偶態(tài)矢量空間中一個(gè)態(tài)矢量,又 稱為左矢（bra）,在 ket、 bra中加入符號(hào)，可用于表示某具體的態(tài),力學(xué)量的本征態(tài)，常用本征值或相應(yīng)的量子數(shù)來(lái)表示：,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）, 坐標(biāo)算符的本征函數(shù)正交歸一化條件：, 動(dòng)量算符的本征函數(shù)正交歸一化條件：,

16、則其正交歸一化條件為,對(duì)連續(xù)值譜，正交歸一化條件為：,Ex:,若力學(xué)量算符 的本征矢記為 ，本征值為, 和 的共同本征函數(shù)正交歸一化條件：,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）,三、態(tài)矢量在具體表象中的表示,分立譜情況：,考慮 表象， 的正交歸一本征矢為,任意態(tài)矢 按 展開(kāi),是 在基矢 上的分量,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）,基矢的封閉性關(guān)系,由于態(tài)矢 是任意的，由上式給出。,連續(xù)譜情況：,基矢用 表示,利用 可得,(1),封閉性關(guān)系：,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）,有分立譜又有連續(xù)譜的情況，封閉性關(guān)系：,Ex. 坐標(biāo)本征函數(shù) 的封閉性,Ex. 動(dòng)量本征函數(shù) 的封閉性,標(biāo)積關(guān)系,分立譜情況：,4.5 狄喇克符號(hào)（

17、續(xù)）,例如坐標(biāo)表象,連續(xù)譜情況,令,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）,四、公式的表示,1平均值,( F 為本征值 ),在Q 表象中，用 的本征刁矢 左乘,2本征值方程：,利用基矢 的封閉性：,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）,上式可寫成,3薛定格方程,在 表象中，以 左乘,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)）,利用封閉性 可得,4.5 狄喇克符號(hào)（續(xù)1）,哈密頓算符： （1）,1算符 、 的引入,令,（3）,本征能量： （2）,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象,則,或,令,（4）,（注意） 不是厄米算符,記,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)1）,2 、 的對(duì)易關(guān)系,Prove:,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)2）,3

18、 、 的物理意義,在坐標(biāo)表象中，線性諧振子哈密頓算符 的本征函數(shù),或,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)3）,利用,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)4）,因,如果不用具體表象，用Dirac符號(hào)表示態(tài)矢，以上兩結(jié)果可寫為,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)5）,、 和 都是諧振子哈密頓算符 的本征刃、分別對(duì)應(yīng)于本征值,這個(gè)能量單位可視為一個(gè)粒子。 是 個(gè)能量為 的粒子的總能量加上零點(diǎn)能。,由 可知能量 等于 的 倍加零點(diǎn)能 。諧振子的能量只能以 為單位改變。,本征態(tài) 表示體系在這個(gè)態(tài)中有n個(gè)粒子。（7）式說(shuō)明經(jīng)算符 作用后，體系由狀態(tài) 變到狀態(tài) ，即粒子數(shù)減少一個(gè)，所以稱 為粒子的湮滅符。同理，稱 為粒子的產(chǎn)生算符。,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 6）,由,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 7）,4粒子數(shù)算符,利用,能量算符,而,引入算符,則能量算符,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù) 8）,5占有數(shù)表象和算符矩陣,的矩陣元,以粒子數(shù)算符 的本征態(tài)矢 為基矢構(gòu)成的表象稱為占有數(shù)表象。,4.6 線形諧振子與占有數(shù)表象（續(xù)