1、1,工程數(shù)學(xué) 第7講,2,3,證 如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn),便有,其中g(shù)(z)在z0解析, 且g(z0)0. 所以當(dāng)zz0時(shí), 有,(5.1.4),4,5,由此, 當(dāng)zz0時(shí), 得,而y(z)=1/j(z)在z0解析, 并且y(z0)0, 所以z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn). 證畢 這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.,6,7,8,9,5. 函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài) 如果函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去心鄰域R|z|內(nèi)解析, 稱(chēng)點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn).,由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析, 所以在此圓環(huán)域內(nèi) 可以展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù), 根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點(diǎn)任何

2、一條簡(jiǎn)單正向線(xiàn),10,在級(jí)數(shù)(5.1.5)中, i)不含正冪項(xiàng); ii)含有限多的正冪項(xiàng), 且zm為最高冪; iii)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng); 則z=是f(z)的 i)可去奇點(diǎn); ii)m級(jí)極點(diǎn); iii)本性奇點(diǎn).,11,分析:,12,13,規(guī)定, 如果t=0是j(t)的可去奇點(diǎn), m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn), 則稱(chēng)點(diǎn)z=是f(z)的可去奇點(diǎn), m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn). 由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析, 所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù), 根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點(diǎn)任何一條簡(jiǎn)單正向閉曲線(xiàn),14,如果在級(jí)數(shù)(5.1.6)中i)不含負(fù)冪項(xiàng), ii)含有有限多的負(fù)冪項(xiàng), 且t-m

3、為最高冪, iii)含有無(wú)窮多的負(fù)冪項(xiàng), 則t=0是j(t)的i)可去奇點(diǎn),ii)m級(jí)極點(diǎn), iii)本性奇點(diǎn).,15,因此, 在級(jí)數(shù)(5.1.5)中, i)不含正冪項(xiàng); ii)含有限多的正冪項(xiàng), 且zm為最高冪; iii)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng); 則z=是f(z)的 i)可去奇點(diǎn); ii)m級(jí)極點(diǎn); iii)本性奇點(diǎn).,16,17,18,19,20,21,2 留數(shù),22,1. 留數(shù)的定義及留數(shù)定理,如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn), 則沿在z0的某個(gè)去心鄰域0|z-z0|R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C的積分,的計(jì)算方法:,23,將f(z)在此鄰域內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù) f(z)=.+c-n(z

4、-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 后,兩端沿C逐項(xiàng)積分, 右端各項(xiàng)積分除留下 c-1(z-z0)-1的一項(xiàng)等于2pic-1外, 其余各項(xiàng)積分都等于零, 所以,24,其中c-1就稱(chēng)為f(z)在z0的留數(shù), 記作Resf(z),z0, 即,25,定理一(留數(shù)定理) 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,.,zn外處處解析. C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn), 則,D,z1,z2,z3,zn,C1,C2,C3,Cn,C,26,證 把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)Ck圍繞起來(lái), 則根

5、據(jù)復(fù)合閉路定理有,27,求函數(shù)在奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)中c-1(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)即可. 但如果知道奇點(diǎn)的類(lèi)型, 對(duì)求留數(shù)可能更有利. 如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn), 則Resf(z),z0=0, 因?yàn)榇藭r(shí)f(z)在z0的展開(kāi)式是泰勒展開(kāi)式. 如果z0是本性奇點(diǎn), 則沒(méi)有太好的辦法, 只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi). 如果z0是極點(diǎn), 則有一些對(duì)求c-1有用的規(guī)則.,28,2. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則 規(guī)則1 如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn), 則,規(guī)則2 如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn), 則,29,事實(shí)上, 由于 f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c

6、-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+., (z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+. +c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令兩端zz0, 右端的極限是(m-1)!c-1, 兩端除以(m-1)!就是Resf(z),z0, 因此即得(5.2.5), 當(dāng)m=1時(shí)就是(5.2.4),30,31,32,由規(guī)則1, 得,33,我們也可以用規(guī)則III來(lái)求留數(shù):,這比用規(guī)則1要簡(jiǎn)單些.,34,35,36,37,38,注 如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn), 對(duì)于任意,39,事實(shí)上, 由于 f(z)=c-n(z-z0)-n+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1

7、 +c0+c1(z-z0)+., (z-z0)nf(z)=c-n+c-n+1(z-z0)+. +c-1(z-z0)n-1+c0(z-z0)n+.,令兩端zz0, 右端的極限是(n-1)!c-1, 兩端除以(n-1)!就是Resf(z),z0, 因此即得(5.2.5), 當(dāng)n=1時(shí)就是(5.2.4),40,3.在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R|z|內(nèi)解析, C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn), 則積分,的值與C無(wú)關(guān),由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析, 所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù),41,兩端沿C逐項(xiàng)積分, 右端各項(xiàng)積分除留下c-1(z-z0)-1的 一項(xiàng)等于2pic-1外, 其

8、余各項(xiàng)積分都等于零, 所以,42,稱(chēng) -c-1為f(z)在點(diǎn)的留數(shù), 記作,43,定理二 如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn), 那末f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零. 證 除點(diǎn)外, 設(shè)f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為zk(k=1,2,.,n). 又設(shè)C為一條繞原點(diǎn)的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn), 則根據(jù)留數(shù)定理與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義, 有,44,45,46,47,3 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,48,形如 的積分, 其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù). 令z=eiq, 則dz=ieiqdq,49,50,其中f(z)是z的有

9、理函數(shù), 且在單位圓周|z|=1上分母不為零, 根據(jù)留數(shù)定理有,其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).,51,例1 計(jì)算 的值.,解 由于0p1, 被積函數(shù)的分母在0qp內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,52,在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi), 其中z=0為二級(jí)極點(diǎn), z=p為一級(jí)極點(diǎn).,53,54,55,56,取積分路線(xiàn)如圖所示, 其中CR是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在

10、這積分路線(xiàn)內(nèi).,z1,z2,z3,y,CR,-R,R,O,x,57,此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.,58,59,60,61,3. 形如 的積分,當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí), 積分是存在的,象2中處理的一樣, 由于m-n1, 故對(duì)充分大的|z|有,62,取積分路線(xiàn)如圖所示, 其中CR是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線(xiàn)內(nèi).,z1,z2,z3,y,CR,-R,R,O,x,63,因此, 在半徑R充分大的CR上, 有,64,65,66,例3 計(jì)算,解 這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在實(shí)軸上 無(wú)孤立奇點(diǎn),因而所求的積分是存在的.,在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)ai,的值.,67,68,還可以利用復(fù)變函數(shù)計(jì)算出下列積分值:,69,x,y,R,-R,r,