1、第一章 矢量分析與場論,1.1 矢量及其代數(shù)運算 1.2 圓柱坐標系與球坐標系 1.3 矢量場 1.4 標量場 1.5 亥姆霍茨定理,1.1 矢量及其代數(shù)運算,1.1 矢量及其代數(shù)運算,1.1.1 標量和矢量,電磁場中遇到的絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地區(qū)分為標量（Scalar）和矢量(Vector)。 一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標量， 例如， 電壓、溫度、時間、質量、電荷等。 實際上， 所有實數(shù)都是標量。 一個有大小和方向的物理量稱為矢量， 電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。,通常，矢量 可以表示成 其中， 是矢量 的大小; 代表矢量 的方向， 其大小等于1。,一個大小為零的矢

2、量稱為空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一個大小為1的矢量稱為單位矢量（Unit Vector）。,在直角坐標系中，用單位矢量 表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。,空間的一點P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定,從原點指向點P的矢量 稱為位置矢量(Position Vector),1.1.2 矢量的代數(shù)運算,1、矢量的加法和減法,矢量相加遵循平行四邊形法則 ，矢量加法的坐標分量是兩矢量對應坐標分量之和，矢量加法的結果仍是矢量,2、矢量的乘積（標量積和矢量積）,1） 標量積,任意兩個矢量 與 的標量積 (Scalar Product

3、)是一個標量， 它等于兩個矢量的大小與它 們夾角的余弦之乘積,直角坐標系中的單位矢量有下列關系式：,任意兩矢量的標量積,標量積服從交換律和分配律，即,2） 矢量積,任意兩個矢量 與 的矢量積（Vector Product）是一個矢量，矢量積的大小等于兩個矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量 與 組成的平面,右手螺旋,矢量積服從分配律但不滿足交換率，即,1.2 圓柱坐標系和球坐標系,1.2.1 圓柱坐標系,圖2.2 圓柱坐標系三個相互垂直的坐標面,圖2.1 圓柱坐標系一點的投影,單位矢量的變換,解：,對點P的矢量 ，變換后為,1.2.2 球坐標系,(球面),(圓錐面),(平面),單

4、位矢量的變換,單位矢量的變換,矢量的變換,1.3 矢量場,場：,一種量的空間分布 如果空間中的每一點，都對應著某個物理量的特定值，則稱此空間中建立起這個物理量的場 若該物理量為矢性函數(shù)時，稱之為矢量場。,基本要素：矢量線 矢量場的通量和散度 矢量場的環(huán)量和旋度,1.3.1 矢量場的矢量線,定義：矢量線（vector line）是這樣一些曲線，在曲線上的每一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。像靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等，都是矢量線的例子。,矢量線圖,1.3.2 矢量場的通量及散度,在矢量場 中取一個面元 及與該面元垂直的單位矢量 （外法向矢量，如圖所示），則面元矢量表示為：

5、,與面元 的標量積稱為矢量場 穿過 的通量記作:,1、 矢量場的通量(Flux),2、 矢量場的散度,1） 散度的定義,2） 哈米爾頓（Hamilton）算子,3） 高斯散度定理（Divergence Theorem）,散度定理建立了矢量場的散度體積分與它的法向分量面積分的關系，它說明一個連續(xù)可微矢量場對封閉表面的外向通量等于遍及該表面所包圍區(qū)域的散度體積分。 散度定理是很強有力的，它廣泛地應用于電磁場理論中將一個封閉面積分變換成等價的體積分，或者反之亦然。,1.3.3 矢量場的環(huán)量及旋度,1、環(huán)量的定義,設有矢量場 ， 為場中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場 環(huán)繞閉合路徑 的線 積分為該矢量

6、的環(huán)量，記作,2、 矢量場的旋度,1） 旋度的定義,設P為矢量場中的任一點，作一個包含P點的微小面元 ，其周界為 ，它的正向與面元 的法向矢量 成右手螺旋關系。當曲面 在P點處保持以 為法矢不變的條件下，以任意方式縮向P點，取極限,稱固定矢量 為矢量 的旋度 記作：,矢量場的旋度仍為矢量。在直角坐標系中，旋度的表達式為,為方便起見，也引入算子，則旋度在直角坐標系中為：,旋度的一個重要性質就是任意矢量旋度的散度恒等于零， 即,2) 斯托克斯定理（Stokes Theorem）,斯托克斯定理說明了矢量場的旋度法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。 散度定理是很強有力的，它廣泛地應

7、用于電磁場理論中將一個封閉線積分變換成等價的面積分，或者反之亦然。,1.4 標量場（ scalar field ）,定義：空間某一個區(qū)域定義一個標量函數(shù)，其值隨空間坐標的變化而變化，有時候還隨時間而變化，則稱該區(qū)域存在一個標量場。,基本要素：等值面 方向導數(shù) 梯度,1.4.1 標量場的等值面,標量場中量值相等的點構成的面通常稱為等值面。,1.4.2 方向導數(shù),1. 方向導數(shù)的定義,其中 是等值面的法線方向，并且以等值面增加的方向為正,另外，還經(jīng)常用到標量拉普拉斯算子(Laplace Operator)，即 2= 在直角坐標系中標量函數(shù)的拉普拉斯表達式為,3. 梯度的積分,設標量場u，根據(jù)梯度的性質：標量場的梯度F是一個無旋場，則由斯托克斯定理知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零，即,1.5 亥姆霍茲定理,(Helmholtz theorem)是對矢量場共同性質的總結,標量場： 方向導數(shù) 梯度,1. 無散無旋場 2. 有散無旋場 3. 無散有旋場 4. 有散有旋場,根據(jù)場量有無散度和旋度，可以對場進行唯一的分類。,本章小結,主要內容及關鍵公式： 見教材 要掌握的重點： 1. 坐標系下的矢量運算（加、減、點 乘、叉乘