1、第八章 二元一次方程組,8.1 二元一次方程組,“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足.問雞、兔各幾何?”這是我國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中記載的數(shù)學(xué)名題.,你能用哪些方法解決這個(gè)問題呢?如果設(shè)兩個(gè)未知數(shù),能解決這個(gè)問題嗎?,想一想,學(xué) 習(xí) 新 知,一、二元一次方程,定義:上面兩個(gè)方程中,每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)(x和y),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.,例：(補(bǔ)充)下列方程中,是二元一次方程的是( ) A.7x+3y=2 B.xy=9 C.x+2y2=11 D.,解析:本題考查二元一次方程的定義,B選項(xiàng)的次數(shù)為2,C選項(xiàng)的 最高次數(shù)為2,D選項(xiàng)不是整式方程,故

2、都不是二元一次方程 .,解題策略從以下三個(gè)方面整體理解二元一次方程的定義:(1)有兩個(gè)未知數(shù);(2)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1;(3)是整式方程.,A,知識(shí)拓展,1.二元一次方程還可以定義為:在方程中有兩個(gè)未知數(shù),未知數(shù)與未知數(shù)之間沒有乘法、除法運(yùn)算,并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.,2.理解二元一次方程的概念要特別注意對(duì)次數(shù)的要求是“含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1”,不能理解為“每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1”,如xy+2=0就不是一個(gè)二元一次方程.,算法展示:,(1)算數(shù)方法:,把兔子和雞的腳數(shù)看成“相等”,則 多出94- 352=24只腳,每只兔子比雞多出兩只腳,由此可先求出兔子有

3、242=12(只),隨后可算出雞有35- 12=23(只). 類似地也可以先求雞的數(shù)量: 354- 94=46(只),462=23(只).,(2)列一元一次方程:,設(shè)有x只雞,則有(35- x)只兔子. 根據(jù)題意,得2x+4(35- x)=94. 解方程可求出x=23.35- 23=12(只). 所以有23只雞,12只兔子.,解：設(shè)有x只雞,有y只兔子.,x+y=35,2x+4y=94.,比較這兩個(gè)方程與前面學(xué)過的一元一次方程,有什么不同呢?,含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程,叫做二元一次方程.,上面的問題中包含兩個(gè)必須同時(shí)滿足的條件,也就是未知數(shù)x,y必須同時(shí)滿足方程:

4、x+y=10, 2x+y=16.,把這兩個(gè)方程合在一起,寫成 就組成了一個(gè)方程組.這個(gè)方程組中有兩個(gè)未知數(shù),含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且一共有兩個(gè)方程,像這樣的方程組叫做二元一次方程組.,知識(shí)拓展,例：(補(bǔ)充)下列方程組中,是二元一次方程組的為( ) A. B. C. D.,C,解析: 本題主要考查二元一次方程組的定義.A選項(xiàng)共含有三個(gè)未知數(shù);B選項(xiàng)中的未知數(shù)的最高次數(shù)是2;D選項(xiàng)中不全是整式方程,故都不是二元一次方程組.故選C.,問題1 下面哪些解既適合方程x+y=10,又符合問題的實(shí)際意義?,解析由上表可知x=0,y=10;x=1,y=9;x=10,y=0 使方程x+y=10兩邊的

5、值相等,它們都是方程x+y=10的解.如果不考慮方程x+y=10與上面實(shí)際問題的聯(lián)系,那么x=- 1, y=11;x=0.5,y=9.5;也都是這個(gè)方程的解.這說明二元一 次方程除非有實(shí)際意義的限制或者特別的限制,否則這種方程有無數(shù)個(gè)解.,問題2 寫出方程2x+y=16的幾個(gè)解?,解析例如x=0,y=16;x=1,y=14;x=5, y=6都是2x+y=16的解.,問題3 上述表格中的解,哪些或哪個(gè)是方程2x+y=16的解?,解析 x=6,y=4.,問題4 什么是二元一次方程組的解?,解析一般地,使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.我們還發(fā)現(xiàn),x=6,y=4既滿足

6、方程,又滿足方程,也就是說,x=6,y=4是方程與方程的公共解,我們把x=6,y=4叫做二元一次方程組 的解.這個(gè)解通常記作 一般地,二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解, 叫做二元一次方程組的解.,知識(shí)拓展,課堂小結(jié),1.含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程,叫做二元一次方程.,2.一般地,使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.,3.一般地,二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.,1.下列方程中,是二元一次方程的是( ) A.3x- 2y=1 B.xy+y=9 C.x- 3=4y2 D.x+ x=2,解析:本題考查二元一次方程的定義.B選項(xiàng)的未知數(shù)的最高次數(shù)為2,C選項(xiàng)的未知數(shù)的最高次數(shù)為2,D選項(xiàng)不含有兩個(gè)未知數(shù),因此它們都不是二元一次方程.故選A.,A,檢測(cè)反饋,2.下列各組數(shù)中,不是方程x+y=7的解的是( ) A. B. C. D.,解析:將四個(gè)選項(xiàng)分別代入方程,能使方程成立的即是方程的解.反之,則不是方程的解.A.3+4=7, C.1+6=7,D.10+(- 3)=7,均是方程的解,不符合選擇要求;B.12+(- 1)=117,不是方程的解,符合選擇要求.,B