1、 陳紹炳 于向軍 編著 熱工自動(dòng)控制原理 習(xí)題參考答案 長(zhǎng)沙理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院 自動(dòng)化教研室 石陽(yáng)春 E-mail: shiyc_110 第 2 章 線性自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 第 2 章 線性自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 21 系統(tǒng)框圖如圖 244 所示，求輸入為給定函數(shù)時(shí)的輸出響應(yīng)。 圖 244 系統(tǒng)框圖 解：(a) 2 1 2 1 1 1 )( )( + = + = S S S SU SY ， 2 1 )( S SU= 2 25. 025. 05 . 0 )2( 1 )( 22 + += + = SSSSS SY ， t etty 2 25. 025. 05 . 0)( += (b)

2、2 2 1 21 2 )( )( + = + = S S S SU SY ， S SU 1 )(= 2 2 )( + = S SY ， t ety 2 2)( = (c) ) 4 1 )( 2 1 ( 1 41 4 21 2 )( )( + = + + = SS SSSU SY ， S SU 1 )(= 4 1 16 2 1 88 ) 4 1 )( 2 1 ( 1 )( + + += + = SS S SSS SY , 42 1688)( tt eety += (d) 1 5 2 2 51 2 1 51 2 )( )( + = + + + = S S S SU SY ， S SU 1 )(=

3、S 1 2 u y _ (a) 輸入 u(t) = t S 1 2 uy _ (b) 輸入 u(t) = 1(t) S21 2 +S41 4 + u y (c) 輸入 u(t) = 1(t) (d) 輸入 u(t) = 1(t) S51 2 + 2 uy _ (e) 輸入 u(t) = 1(t) 2 )101 ( 1 S+ u y _ (f) 輸入 u(t) = 1(t) 13 1 +S 2 uy _ 1 5 2 5 2 ) 1( 5 2 )( + = + = SSSS SY ， t ety = 5 2 5 2 )( (e) 01. 0) 1 . 0( 01. 0 1) 110( 1 )101

4、 ( 1 1 )101 ( 1 )( )( 22 2 2 + = + = + + + = SS S S SU SY ， S SU 1 )(= 01. 0) 1 . 0( 1 . 05 . 0 01. 0) 1 . 0( ) 1 . 0(5 . 05 . 0 01. 0) 1 . 0( 01. 0 )( 222 + + + = + = SS S SSS SY 10 sin5 . 0 10 cos5 . 05 . 0)( 1010 t e t ety tt = 或 )2( 5 . 0 )02. 02 . 0( 02. 05 . 0 01. 0) 1 . 0( 01. 0 )( 2 00 2 2 0

5、 22 + = + = + = SSSSSSSS SY )45 10 sin(21 (5 . 0)( 10 += t ety t (f) ) 1(3 ) 13(2 13 1 21 2 )( )( + + = + + = S S S SU SY ， S SU 1 )(= 1 3 4 3 2 ) 1(3 ) 13(2 )( + += + + = SSSS S SY ， t ety += 3 4 3 2 )( 22 由電阻 R 和電容 C 組成如圖 245 所示的電路： 圖 245 系統(tǒng)電路圖 建立傳遞函數(shù) )( )( )( 1 2 SU SU SG=的表達(dá)式，說(shuō)明為何種環(huán)節(jié)； 當(dāng)輸入 u1為單位階

6、躍函數(shù)時(shí)，畫出輸出 u2(t)響應(yīng)曲線，并標(biāo)出特征參數(shù)。 解：(a)設(shè)電阻 R1和 R2中的電流分別為 i1和 i2，電容 C 中的電流為 iC、其兩端的電壓為 uC 根據(jù)電路結(jié)構(gòu)及 KCL 和 KVL，可得如下的系統(tǒng)框圖： R1 R2 R3 C u1 u2 (a) R1 R2 u1C u2 (b) R1 R2 R3 C u1 u2 i1 i2 iC 1 1 R 2 1 R CS 1 R3 _ _ _ u1 uC u2 i1 i2 iC u 1)( )( 2 2 1 + = CSR R SI SUC 2121 21 1 )( )( RRCSRR CSR SU SI + + = )()( ) 1

7、( 1 1 1 )( )( )( 321231 23 3 2121 2 3 2121 2 1 2 RRRCSRRR CSRR R RRCSRR CSR R RRCSRR CSR SU SU SG + + = + + + + + = 11 1 )( 1 )( 321 231 321 3 321 231 321 32 + + + = + + + + + + + + + = ST K ST STK S RRR CRRR RRR R S RRR CRRR S RRR CRR CD DD 從上式的結(jié)構(gòu)來(lái)看，G(S)可以看作一階實(shí)際微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)并聯(lián)而成 其中：CR RRR RR TT CD2 3

8、21 31 + + =， 31 3 RR R KD + =， 321 3 RRR R K + = 當(dāng)輸入 u1為單位階躍函數(shù)時(shí)，其輸出 u2(t)的響應(yīng)曲線如下： (b) 設(shè)電阻 R1和 R2中的電流分別為 i1和 i2，電容 C 中的電流為 iC、而其兩端的電壓為 u2 根據(jù)電路結(jié)構(gòu)及 KCL 和 KVL，可得如下的系統(tǒng)框圖： 1)( )( 2 2 1 2 + = CSR R SI SU ， 1 1 )( )( )( 21 21 21 2 2121 2 1 2 + = + + + = + = ST K S RR CRR RR R RRCSRR R SU SU SG C 從上式的結(jié)構(gòu)來(lái)看，G(

9、S)為一階慣性環(huán)節(jié)，其中： 21 21 RR CRR TC + = ， 21 2 RR R K + = 當(dāng)輸入 u1為單位階躍函數(shù)時(shí)，其輸出 u2(t)的響應(yīng)曲線如下： KD K TD=TC t u2 0 R1 R2 u1 C u2 i1 i2 iC 1 1 R 2 1 R CS 1 _ _ u1u2 i1 i2 iC u K TCt u2 0 23 單容水箱液位控制系統(tǒng)如圖 246 所示： 圖 246 單容水箱液位控制系統(tǒng)原理圖 畫出框圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )( )( )( 2 SQ SH SG=； 當(dāng) Q2作單位階躍減小時(shí)， 畫出 H 的響應(yīng)曲線， 并說(shuō)明不同 b/a 值時(shí)， 響應(yīng)曲線的

10、變化情況。 解：控制系統(tǒng)框圖如下： 據(jù)此可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 1)( )( )( 2 + = + = ST K baAS a SQ SH SG C 其中： b a K =； b aA TC =。 當(dāng) Q2作單位階躍減小時(shí)， S SQ 1 )( 2 = 則： a b A S b a S b a a b A SS A baASS a SQSGSH + = + = + = )( 1 )( )()()( 2 故 )1 ()()( 1 t a b A e b a SHLth = ，繪出其曲線如下圖所示。 當(dāng) b/a 增大或減小時(shí)，由于 K 和 TC同步減小或增大，故 h(t)的初始上升速度不變，但系

11、統(tǒng)穩(wěn) 態(tài)值則有所不同，若 b/a 較大，相應(yīng)的 K 值就較小，故 h()值就較小。 a b A Q1 H Q2 a b AS 1 _ Q1 H Q2 TCt h(t) 0 b a b/a 較大時(shí) b/a 較小時(shí) 25 系統(tǒng)框圖如圖 249 所示，求出其傳遞函數(shù) )( )( )( SR SY SG=。 (a) (b) (c) 圖 249 習(xí)題 25 框圖 解： (a) G1(S) G2(S)G3(S)G4(S) H1(S) H2(S) _ _ _ _ r y G1(S)G2(S) G3(S) H1(S) H2(S) r y _ _ G1(S)G2(S) H1(S) H2(S) H3(S) r y

12、 _ _ G1(S) G2(S)G3(S)G4(S) H1(S) H2(S) _ _ _ _ r y 將此信號(hào)分點(diǎn)后移 G1(S) G2(S)G3(S)G4(S) H1(S) H2(S) _ _ _ _ r y )( 1 4 SG 將此部分合并 )()()()()()()()()()()()()(1 )()()()( )( )( )( 2432114212432 4321 SHSGSGSGSGSHSGSGSHSGSGSGSG SGSGSGSG SR SY SG + = G1(S) G2(S) H1(S) H2(S) _ _ _ r y )( 1 4 SG )(1 )()( 4 43 SG SG

13、SG + 將此信號(hào)分點(diǎn)后移 G1(S) G2(S) H2(S) _ _ _ r y )( 1 4 SG )(1 )()( 4 43 SG SGSG + )()( )(1 )( 43 4 1 SGSG SG SH + 將此部分合并 G1(S) H2(S) _ _ r y )()()(1 )()()( 432 432 SGSGSG SGSGSG + )()( )(1 )( 43 4 1 SGSG SG SH + 將此部分合并 G1(S) H2(S) _ r y )()()()()()()()(1 )()()( 14212432 432 SHSGSGSHSGSGSGSG SGSGSG + r y )

14、()()()()()()()()()()()()(1 )()()()( 2432114212432 4321 SHSGSGSGSGSHSGSGSHSGSGSGSG SGSGSGSG + (b) )()()()()(1 )()()()( )( )( )( 22112 3221 SHSGSGSHSG SGSGSGSG SR SY SG + + = G1(S)G2(S) G3(S) H1(S) H2(S) r y _ _ G1(S) G3(S) H2(S) r y _ )()(1 )( 12 2 SHSG SG + H2(S) r y _ )()(1 )()( 12 21 SHSG SGSG + )

15、( )( 1 3 SG SG H2(S) r y _ )()(1 )()( 12 21 SHSG SGSG + )( )( 1 3 SG SG r y )()()()()(1 )()( 22112 21 SHSGSGSHSG SGSG +)( )()( 1 31 SG SGSG+ r y )()()()()(1 )()()()( 22112 3221 SHSGSGSHSG SGSGSGSG + + 將此部分合并 將此信號(hào)合點(diǎn)前移 將此二合點(diǎn)互易 (c) )()()()()()()()()()(1 )()()()()()( )( )( )( 3212322111 212121 SHSHSHSGS

16、HSGSHSHSHSG SHSHSGSGSGSG SR SY SG + + = G1(S)G2(S) H1(S) H2(S) H3(S) r y _ _ G1(S)G2(S) H1(S) H2(S) H3(S) r y _ _ )( 1 2 SG G1(S) r y _ )( 1 2 SG )()(1 )( 32 2 SHSG SG )()(1 )( 21 1 SHSH SH + r y )()()()()()()()()()(1 )()()()()()( 3212322111 212121 SHSHSHSGSHSGSHSHSHSG SHSHSGSGSGSG + + 26 系統(tǒng)框圖如圖 250

17、 所示，求出： )( )( )(, )( )( )( 21 S SY SG SU SY SG OO 。 解：對(duì)線性系統(tǒng)，求 y 對(duì) u 的傳遞函數(shù)時(shí)，可令=0；同樣，求 y 對(duì)的傳遞函數(shù)時(shí)，可令 u=0。 令=0，系統(tǒng)框圖可簡(jiǎn)化如下： 由上圖可得： )()()()()()()(1 )()()( )( 2321121 321 1 SHSGSGSGSHSGSG SGSGSG SGO 令 u=0，重繪系統(tǒng)框圖如下： G1(S) G2(S) G3(S) H1(S) H2(S) u y - - G1(S) G2(S) G3(S) G4(S) H1(S) H2(S) y - G1(S) G2(S) G3(

18、S) G4(S) H1(S) H2(S) u y - - 將該合點(diǎn)前移，并與相鄰的合點(diǎn)互換位置 )()()()()()()(1 (S)(S)GG(S)(S)H(S)GG1(S)G (S)H (S)(S)H(S)GG1 )()( )(1 )( )()()(1 )()( 1)( 2321121 421213 2 121 21 3 3 121 42 2 SHSGSGSGSHSGSG SGSG SG SG SHSGSG SGSG SGO )()()(1 )()( 121 21 SHSGSG SGSG G3(S) G4(S)/G1(S) H2(S) y 將該合點(diǎn)前移，并與相鄰的合點(diǎn)互換位置 32 電子調(diào)

19、節(jié)器設(shè)計(jì)時(shí)，常用電子元器件實(shí)現(xiàn)如圖 314 的框圖表示的動(dòng)態(tài)關(guān)系。 其中比例微分運(yùn)算的運(yùn)算關(guān)系為： S K T ST KSG D D D p 1 1 )( 1 比例積分運(yùn)算的運(yùn)算關(guān)系為： ST KSG i 1 1)( 12 說(shuō)明該調(diào)節(jié)器具有何種調(diào)節(jié)規(guī)律，調(diào)節(jié)器參數(shù) * , DiDIP KTTKK如何設(shè)置？ 解： SK S KK S K T ST ST S K T K S TT TT STT S K T T T KK ST STT T S K T KK S K T ST ST KK ST K S K T ST KSGSG SE S DIP D D D i D D P iD iD iD D D i

20、 D p D ii D D D p D D i D p i D D D p * * * 1 1 1 121 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ) 1 1)(1 ( 1 1 1 1 )()( )( )( 該調(diào)節(jié)器為帶一階平滑濾波器的 PID 調(diào)節(jié)器，調(diào)節(jié)器參數(shù)分別為： i D pP T T KKK1 1 * iD P I TT K K * * iD iD PI TT TT KK * iDi TTT * iD iD D TT TT T * 比例微分比例積分 e 33 已知某調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)示意圖如圖 315 所示，試推導(dǎo)其傳遞函數(shù) )( )( )( SE S SGR ，并說(shuō) 明調(diào)節(jié)規(guī)

21、律是屬于什么性質(zhì)的。 解：設(shè)電路中電流為 i(如上圖所示)，則有 )( 1 1 )( 1 10 1 10 SI SC RR SC RR SE )()( 2 SIRS ST TS K SCRR SCR R R SC RR SC RR R SE S D P 1 1 1 1 1 1 )( )( 110 11 0 2 1 10 1 10 2 該調(diào)節(jié)器為帶一階平滑濾波器的 PD 調(diào)節(jié)器。 R0 R1 R2 C1 e + i 第 4 章 線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 第 4 章 線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 4-1 控制系統(tǒng)如圖 4-10 所示： 4-1 控制系統(tǒng)如圖 4-10 所示： 求出求出 =0.9 和=0.9

22、 和 =0.75 時(shí)的=0.75 時(shí)的值。值。 當(dāng)輸入當(dāng)輸入 為單位階躍時(shí)，分別求出當(dāng)為單位階躍時(shí)，分別求出當(dāng) =0.9 和=0.9 和 =0.75 時(shí)，=0.75 時(shí)， (a) (t)的超調(diào)量；的超調(diào)量； (b) y(t)的最大動(dòng)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)偏差。的最大動(dòng)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)偏差。 解：對(duì)上圖的控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 50 1 1 . 0 50 1 1) 110(5 1 ) 110(5 1 1 ) 110(5 1 )( )( 2 SS SS SS SS SR SY 當(dāng)要求當(dāng)要求 =0.9 時(shí)=0.9 時(shí)，可知此時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)為=0.344=0.344，即： 1453. 0 88. 6 1 n

23、1 . 0344. 022 nn 3344.47 1 88. 6 1 50 1 2 2 n 946688. 0 當(dāng)要求當(dāng)要求 =0.75 時(shí)=0.75 時(shí)，可知此時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)為=0.216=0.216，即： 2315. 0 32. 4 1 n 1 . 0216. 022 nn 6624.18 1 32. 4 1 50 1 2 2 n 373248. 0 50 1 1 . 0 50 1 1) 110(5 ) 110(5 1 1 ) 110(5 1 )( )( 2 SS SS SS SS S SY 50 1 1 . 0 50 1 )( )( 1 )( )( 2 SS S SY S S (a)當(dāng)

24、 =0.9 時(shí)，由知=0.344，故 (t)的超調(diào)量 Mp為： ) 110(5 1 SS 1 r y 3162. 01 . 01 p M 當(dāng) =0.75 時(shí)，由知=0.216，故 (t)的超調(diào)量 Mp為： 5 . 025. 01 p M (b)由于本系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)還有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，為型系統(tǒng)，故其位置誤差系 數(shù) p K，故當(dāng)系統(tǒng)輸出量系統(tǒng)輸出量 y(t)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)偏差為 0，也就是說(shuō) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出1)(y。故 y(t)的最大動(dòng)態(tài)偏差為： 當(dāng) =0.9 時(shí)：29934. 013162. 094668. 0)( 9 . 0 max yMpe 當(dāng) =0.75

25、 時(shí)：186624. 015 . 0373248. 0)( 75. 0 max yMpe 4-34-3 用勞斯判據(jù)判別下列各特征方程中正根和負(fù)根的數(shù)目。 用勞斯判據(jù)判別下列各特征方程中正根和負(fù)根的數(shù)目。 02665 23 SSS 06322 234 SSSS 025322 2345 SSSSS 03482 234 SSSS 解：此三階系統(tǒng)可采用快速判別法：內(nèi)積=66=36，外積=52=10 內(nèi)積外積，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即該特征方程的三個(gè)根都是負(fù)根特征方程的三個(gè)根都是負(fù)根。 S 4 1 2 6 S 3 2 3 S 2 0.5 6 由左邊的勞斯陣列知：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 S 1 -21 該特征方程的有兩

26、個(gè)正根和兩個(gè)負(fù)根 特征方程的有兩個(gè)正根和兩個(gè)負(fù)根。 S 0 6 S 5 1 2 3 S 4 1 2 25 S 3 0() -22 此行第 1 列元素為 0，故用無(wú)窮小正數(shù)代替 0 S 2 )11(2 25 此行第 1 列元素為正無(wú)窮大 S 1 )11(2 4844425 2 此行第 1 列元素為-22 S 0 25 由以上勞斯陣列知，第 1 列元素的符號(hào)改變 2 次，故該特征方程有 2 個(gè)正根該特征方程有 2 個(gè)正根。 S 4 1 8 3 S 3 2 4 S 2 6 3 由左邊的勞斯陣列知：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 S 1 3 該特征方程的有四個(gè)負(fù)根 特征方程的有四個(gè)負(fù)根。 S 0 3 4-44-4 單回

27、路系統(tǒng)如圖 4-11 所示，確定使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí) K 的取值。 單回路系統(tǒng)如圖 4-11 所示，確定使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí) K 的取值。 當(dāng) )5)(1( 1 )( SSS SGO； 當(dāng) ) 1)(2( 1 )( 2 SSSS SGO； 當(dāng) ) 125. 0)(11 . 0( 1 )( SSS SGO。 解：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：056 23 KSSS 故系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：65K，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K 的取值范圍為：0K3000 0K14/90K0.025K，即：0K140K14 KGO(S) r y -3-2-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Root Locus Real Axis

28、Imaginary Axis 第 5 章 線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析 第 5 章 線性控制系統(tǒng)的根軌跡分析 5-1 單回路反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ) 3)(2( ) 1( )( SSS SK SGK，畫出閉 環(huán)根軌跡圖，并求出使閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)主導(dǎo)振蕩成分的阻尼系數(shù)=0.5 時(shí) K 的取值。 解：根軌跡形狀如下圖所示，作圖的步驟如下： 在復(fù)平面上標(biāo)出開環(huán)極點(diǎn)、開環(huán)零點(diǎn)的位置：P1=0、P2=-2、P3=-3 及 Z1=-1。 根軌跡的分支數(shù)：有 3 條分支 根軌跡的三個(gè)起點(diǎn)(K=0)就是三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，即 0、-2、-3； 根軌跡的三個(gè)終點(diǎn)(K+)其中一個(gè)為開環(huán)零點(diǎn)， 即-1 點(diǎn)，其余兩個(gè)

29、在無(wú)窮遠(yuǎn)。 根軌跡在實(shí)軸上的位置：-3，-2和-1,0為根 軌跡的一部分。 根軌跡的漸近線： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： 2 13 1320 mn ZP ii 漸近線與實(shí)軸的夾角： 2 ) 12() 12( N mn N 令 N=0，可得： 90和90 漸近線如圖中藍(lán)色虛線所示。 根軌跡與實(shí)軸的相交點(diǎn)：本步驟因?yàn)橐獙?duì)一元 三次方程求解，故不作要求！ 由特征方程： 0)(1SGK 1 65 23 S SSS K 令0 dS dK 0354 23 SSS 解得：4656. 2 1 S 7926. 07672. 0 3 , 2 jS 因?yàn)楸纠蛛x點(diǎn)只可能在(-3,-2)之間，故取： 4656. 2S 本例

30、根軌跡與虛軸無(wú)交點(diǎn)。 如要求振蕩成分的阻尼系數(shù)為 0.5，可過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作與負(fù)實(shí)軸的夾角分別為 +60和-60的折線（=arccos=arccos0.5=60） ，如圖中粉紅色虛線。 設(shè)折線與根軌跡在第 2 象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為：S1=-+j S1在根軌跡上，故該點(diǎn)必滿足幅角條件： 180) 12()()()()( 31211111 3 1 1 1 NPSPSPSZS i Pi i Zi 1 arctan) 1()( 11 jZS 120)()( 11 jPS 2 arctan)2()( 21 jPS 3 arctan)3()( 31 jPS 即： 60 3 arctan 2 arctan 1 arctan 且：360tan 3 有和聯(lián)立求解