1、概率和數(shù)據(jù)概率；可能性湖南省常德市安鄉(xiāng)五中龔1.一個隨機(jī)事件的概率，然后被稱為不可避免的事件；當(dāng)時，它被稱為不可能事件p(a)=0；2.等概率事件的概率(經(jīng)典概率):P(A)=。理解這里m和n的意思。例如：(1)將數(shù)字1、2、3和4填入數(shù)字1、2、3和4的四個方塊中。如果每個正方形都填充了一個數(shù)字，那么每個正方形的數(shù)字與填充的數(shù)字不同的概率是_ _ _ _ _ _(A:)；(2)如果10個產(chǎn)品中有4個不良品和6個正品，計算以下事件的概率：其中2個是不良品；(2)取出5個，只有2個有缺陷；(3)從放回的地方取出3件，至少2件有缺陷的；(4)依次取5塊，只有2塊有缺陷。(一)；。)3.互斥事件：(

2、A和B是互斥的，即事件A和B不能同時發(fā)生)。計算公式：p (ab)=p (a) p (b)。例如：(1)袋中有兩個袋A和袋B，袋A中有四個白色球和兩個黑色球，袋B中有三個白色球和四個黑色球。在從袋A和袋B中交換兩個球之后，計算袋A中仍有四個白色球的概率。(一):(2)甲、乙輪流射擊，第一次擊中者獲勝，每次最多5發(fā)。知道他們的命中率分別是0.3和0.4，如果A先出手，那么A獲勝的概率是(0.425=0.013，結(jié)果剩下兩位小數(shù))_(A:0.51)；(3)有一個公共電話亭。當(dāng)觀察使用電話的人的流量時，有n個人使用電話或等待使用電話的概率是P(n)，并且P(n)與時間t無關(guān)。統(tǒng)計顯示，在某個時間，公

3、共電話亭中沒有人擁有P(0)的概率是(A:)4.相反的事件：(A和B是相反的，即事件A和B不能同時發(fā)生，但A和B中的一個必須發(fā)生)。計算公式為：p(a)p(b)=1；P()=1-P(A)；獨(dú)立事件：(事件A和事件b的發(fā)生是相互獨(dú)立的，互不影響)P(A？B)=P(A)？(乙)丙.提醒：(1)如果事件a和b是獨(dú)立的，那么事件a和，以及和事件也是獨(dú)立的事件；(2)如果事件a和b彼此獨(dú)立，則事件a和b中至少一個不會發(fā)生的概率是1-p(ab)=1-p(a)p(b)；(3)如果事件A和事件B彼此獨(dú)立，則事件A和事件B至少發(fā)生一次的概率是1-P ()=1-P () P()。例如：(1)如果兩個獨(dú)立事件A和B

4、不發(fā)生的概率被設(shè)置為，并且A不發(fā)生和B不發(fā)生的概率與B不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)為_ _ _ _ _ _(A:)；(2)參加科普知識競賽的同學(xué)必須回答三個問題。競賽規(guī)則規(guī)定：第一題、第二題和第三題分別得100分、100分和200分，答錯得0分。假設(shè)同學(xué)正確回答第一個、第二個和第三個問題的概率分別為0.8、0.7和0.6，并且問題的正確與否互不影響，同學(xué)得到300分的概率為_ _ _ _ _ _；這個學(xué)生得到至少300分的概率是_ _ _ _ _ _ _ _(A:0.228；0.564)；(3)包里有一個紅色、一個黃色和一個綠色的球。一次拿一個球，然后拿回來三次。球都是相同顏色

5、的概率是_ _ _ _ _ _(A:)；(4)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定在第一次過關(guān)時擲骰子。如果在此過程中投擲的點(diǎn)數(shù)總和大于點(diǎn)數(shù)總和，則間隙被計算在內(nèi)。那么通過前兩輪的概率是_ _ _ _ _ _ (A)。(5)有兩個口袋A和B，口袋A中有六張卡片，其中一張寫著0，兩張寫著1，三張寫著2；袋子B里有七張卡片，四張0，一張1，兩張2。從袋子A中取出一張卡片，從袋子b中取出兩張卡片。如果取出的三張卡片的數(shù)字的乘積的可能值為，并且相應(yīng)的概率被記錄為，則該值為_ _ _ _ _ _ _ _ _(A:)；兩個粒子A和B分別位于平面上的點(diǎn)(0，0)和點(diǎn)(2，2)，在某一時刻，每1秒鐘向上、下、左、右四個方向中

6、的任意一個方向移動一個單位。眾所周知，粒子A向左和向右移動的概率是，向上和向下移動的概率分別是和，而粒子B向四個方向中的任何一個方向移動的概率是。(2)審判至少需要幾秒鐘。甲和乙能同時到達(dá)D點(diǎn)(1，2)嗎？計算在最短時間內(nèi)同時到達(dá)的概率。(2) 3秒；)6.獨(dú)立事件重復(fù)測試：事件a在n個獨(dú)立重復(fù)測試中發(fā)生兩次的概率(二項式展開的k 1項)，其中是事件a在一個獨(dú)立重復(fù)測試中發(fā)生的概率。例如：(1)小王通過英語聽力測試的概率是他連續(xù)測試了三次，其中只有一次通過的概率是_ _ _ _ _ _(A:)；(2)冰箱內(nèi)有5瓶甲、乙飲料，每種飲料隨機(jī)抽取一瓶甲、乙飲料。如果喝甲飲料或乙飲料的概率相等，喝甲飲

7、料后留下3瓶乙飲料的概率為_ _ _ _ _ _(甲)提醒：(1)探索一個事件的概率，關(guān)鍵是要區(qū)分事件的性質(zhì)。在求解過程中，常采用等價變換思想和分解(分類或分步)變換思想來處理期望事件：將期望事件轉(zhuǎn)化為等可能性事件的概率(常用排列組合知識)；幾個互斥事件之一發(fā)生的概率；使用相反事件的概率，相互獨(dú)立的事件同時發(fā)生的概率被轉(zhuǎn)換。在n個實(shí)驗(yàn)中，一個事件發(fā)生的概率只有k，但公式的使用條件應(yīng)注意。(2)事件的相互排斥是事件獨(dú)立的一個必要而非充分的條件；相反，事件的對立是相互排斥事件的充分和不必要的條件；(3)概率問題的問題解決準(zhǔn)則：第一集事件A= . ，B= . ；(2)列計算；(3)回答。解決幾何疑難

8、雜癥的四個步驟廣東省中山市東升中學(xué)高建標(biāo)如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域的長度(面積或體積)成正比，那么這種概率模型被稱為幾何概率模型，簡稱幾何概率模型。在幾何概率模型中，事件A的概率計算公式為：用幾何概率公式計算概率時，關(guān)鍵是構(gòu)造與隨機(jī)事件相對應(yīng)的幾何圖形，并據(jù)此測量幾何圖形。對于一些簡單的幾何概率問題，可以很快找到答案。例1如圖所示，正方形ABCD的邊長作為直徑形成一個半圓，重疊部分作為花瓣。現(xiàn)在，一個飛鏢被隨機(jī)扔進(jìn)矩形區(qū)域，以找出飛鏢落入花瓣的概率。解決方法：落鏢落在正方形區(qū)域的幾率相等，滿足幾何概率條件。如果事件A是落在花瓣中的飛鏢，并且正方形邊長是2r，那么。因此，飛鏢落入

9、花瓣的概率是。點(diǎn)評：這個問題的關(guān)鍵是正確計算花瓣的面積。在這類問題中，所有測試結(jié)果的面積和構(gòu)成事件A的面積都是由問題中的條件直接給出的，因而容易解決。然而，一些幾何概率問題不容易被識別為屬于幾何概率模型，并且很難找到隨機(jī)事件的組成區(qū)域。然而，在仔細(xì)研究這些問題之后，我們可以找到一些解決問題的規(guī)則。兩人在7點(diǎn)至8點(diǎn)之間的某個時間相遇。第一個到達(dá)的人等了另一個20分鐘，然后就過時了。詢問兩者相遇的概率。解決方案：假設(shè)兩個人的到達(dá)時間分別是7點(diǎn)和8點(diǎn)之間的x分鐘和y分鐘。如果表達(dá)了每個測試的結(jié)果，那么所有可能的結(jié)果是：；如果記錄了兩個人可以作為事件A相遇，事件A的可能結(jié)果是：如圖所示，所有測試結(jié)果形

10、成的面積是一個平方ABCD。事件A形成的區(qū)域是兩條直線點(diǎn)評：題目的含義簡單明了，但如何把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型來求解就更難了。我們需要從實(shí)際問題中分析和獲得兩個現(xiàn)有的變量，這樣兩個人在話題中的到達(dá)時間是隨機(jī)的，并且被設(shè)置為兩個變量。然后將這兩個變量所滿足的條件寫成集合的形式，并分析得到所研究事件A的集合。這兩個集合由平面區(qū)域表示，特別注意由不等式表示的區(qū)域。我們可以發(fā)現(xiàn)，表示二元初等不等式的平面區(qū)域分兩步求解：(1)畫直線；(2)用一個特殊的點(diǎn)來驗(yàn)證直線的哪一邊符合不等式，那么哪一邊是被表示的區(qū)域。在準(zhǔn)確獲得隨機(jī)事件的合成區(qū)域后，可以根據(jù)幾何概率的概率公式很容易地得到概率。根據(jù)以上解決方案和分析，我

11、們將此類難題的解決方案總結(jié)為以下四個步驟：(1)構(gòu)造變量。從問題場景來看，哪兩個量被發(fā)現(xiàn)是隨機(jī)的，從而構(gòu)造變量X和y(2)集合表示。當(dāng)表示測試結(jié)果時，所有測試結(jié)果和事件A中包含的測試結(jié)果可以分別用相應(yīng)的集合表示。一般來說，這兩個集合是幾個二元初等不等式的交集。(3)打造一個區(qū)域。制作一個由上述集合表示的平面區(qū)域，首先制作一條對應(yīng)于不等式的直線，然后取一個特殊點(diǎn)來驗(yàn)證哪一側(cè)是合格區(qū)域。(4)計算和求解。根據(jù)幾何概率公式，可以很容易地從平面圖的兩個面積之比中得到。在以上四個步驟中，第二步和第三步是解決方案的關(guān)鍵。通過這兩個步驟，可以找到對應(yīng)于隨機(jī)事件的幾何圖形。需要理解第三步繪圖的原理。接下來，按

12、照四個步驟解決另一個問題。例3直道上甲、乙路燈之間的距離為120米。因?yàn)楣饩€太暗，我想在中間再隨機(jī)安裝兩個路燈C和D。順序是A，C，D和B。A和C，B和D之間的距離不小于40米的概率是多少？解決方法：(1)構(gòu)造變量。將A和C、B和D之間的距離分別設(shè)置為x米和y米。(2)設(shè)置表達(dá)式。如果表達(dá)了每個測試的結(jié)果，所有可能的結(jié)果是：；如果A和C、B和D之間的距離不小于40米，那么A事件的可能結(jié)果是。(3)打造一個區(qū)域。如圖所示，所有測試結(jié)果形成的區(qū)域是由直線和兩個坐標(biāo)軸包圍的ABC。事件A形成的區(qū)域是三條直線，陰影部分在中間。(4)計算和求解。根據(jù)幾何概率公式，得到以下結(jié)果：因此，a和c、b和d之間的

13、距離不小于40米的概率是。評論：這個問題很容易被誤解。如果AB被分成三部分，因?yàn)橹虚g長度是40米，燈C和D需要安裝在中間部分，因此光盤安裝在中間的概率是。錯誤的原因是測試結(jié)果不能獨(dú)立安裝在這三個部分中，而可能安裝在這三個部分中的兩個部分中。有了以上四個步驟的解決方案，我們可以得到一個清晰的解決方案。隨機(jī)事件的概率和經(jīng)典概率一、知識指導(dǎo)1.不可避免的事件：在一定條件下必須發(fā)生的事件。不可能的事件：在特定條件下不能發(fā)生的事件。隨機(jī)事件：在特定條件下可能發(fā)生或不發(fā)生的事件。2.概率：現(xiàn)實(shí)生活中遇到的事件包括不可避免的事件、不可能的事件和隨機(jī)事件。隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中很普遍。在一個實(shí)驗(yàn)中，事件A是否發(fā)

14、生是偶然的，但在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，它的發(fā)生表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件A的發(fā)生頻率總是接近某一常數(shù)，這叫做事件A的概率。0P(A)13.如果在一次測試中每個基本事件的概率是相同的，那么這些基本事件被稱為相等的潛在基本事件。4.它有以下兩個特點(diǎn)：(1)所有基本事件的數(shù)量有限；(2)每個基本事件的發(fā)生都是同樣可能的。我們把滿足上述條件的星載試驗(yàn)概率模型稱為經(jīng)典概率模型。5.可能事件相等的概率：如果總共有N個可能結(jié)果相等二、難點(diǎn)知識分析1.必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件之間的區(qū)別和聯(lián)系：必然事件是指在一定條件下必須發(fā)生的事件；不可能的事件是指在特定條件下不能發(fā)生的事件。隨機(jī)事件是指在特定條件下可能發(fā)生

15、或不發(fā)生的事件。為了區(qū)分事件的條件和結(jié)果，并理解事件的結(jié)果對應(yīng)于“某些條件”，有必要澄清事件發(fā)生的條件是什么以及在這些條件下的結(jié)果是什么。以上三個事件是特定條件下的結(jié)果。2.頻率和概率：隨機(jī)事件A的頻率是指該事件的次數(shù)m與測試總數(shù)n之比。它隨測試次數(shù)而變化。它具有一定的穩(wěn)定性，也就是說，它總是圍繞某個常數(shù)P擺動，并且隨著測試次數(shù)的增加，這種擺動的幅度變得越來越小。因此，我們稱這個常數(shù)為隨機(jī)事件的概率。因此，概率定量地反映了隨機(jī)事件發(fā)生的概率。在大量重復(fù)測試的前提下，頻率可以近似地作為該事件的概率，即概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值。3.不可避免事件的概率是1，不可能事件的概率是0，隨機(jī)事

16、件的概率是0 p (a) 1。這里我們應(yīng)該辯證地理解它們的概率：不可避免的事件和不可能的事件可以被看作是隨機(jī)事件的兩個極端。雖然它們是兩種不同類型的事件，但在某些情況下可以統(tǒng)一，即任何事件a的概率滿足以下要求：0P(A)14.對同等可能性事件的理解：一個測試中所有可能的N個基本結(jié)果同樣可能發(fā)生，并且這N個結(jié)果對應(yīng)于N個基本事件。理解平等可能性事件的本質(zhì)在于理解平等可能性?！巴瓤赡苄浴敝傅氖墙Y(jié)果，而不是事件。例如，投擲兩個均勻的硬幣，可能有四個結(jié)果“兩面”、“兩面相反”、“一面正一面負(fù)”和“一面負(fù)一面正”。每個結(jié)果的概率相等，為0.25；然而，不可能有“兩個積極”、“兩個消極”、“一個積極和一

17、個消極”的結(jié)果。5.P(A)=從集合的角度關(guān)注概率，并使用圖式方法找出每個事件之間的關(guān)系。對于經(jīng)典概率，一個實(shí)驗(yàn)中的幾個可能結(jié)果形成一個集合1，其中每個基本事件是包含一個元素的集合1的子集，包括M個基本事件的子集A。因此，從集合的角度來看，事件A的概率是子集A的元素數(shù)目與集合I的元素數(shù)目的比率，即，P (a)=。因此，事件可以通過集合的表示來研究，每個事件之間的關(guān)系可以通過使用模式方法來發(fā)現(xiàn)，從而三、經(jīng)典范例指南例1一個人有五把鑰匙，但忘記哪把打開了門。所以他試著一個接一個地開門，沒有重復(fù)，并問第三次開門的概率是多少。錯誤的解決方法：有5把鑰匙，每次開門的概率是，不開門的概率是，所以第三次開門的概率是。錯誤原因：上述解決方案忽略了“一個一個嘗試，不重復(fù)”的條件積極的解決方法：我們知道門最多可以被打開五次，并且只有一次門可以被打開，所以每次打開門的概率是相同的。開門三次有各種各樣的可能性。如果門被第三次打開，門的鑰匙被放在3號位置。如果門在前兩次不能打開，前兩個位置用另外4把鑰匙排列，所以有可能。因此，第三次打開門鎖的概率是p (a)=。例2一組有16名學(xué)生，其中男生和女生各占一半。將小組分成學(xué)生人數(shù)相等的兩組，找出每組男女學(xué)生人數(shù)相等的概率。錯誤的解決方法：將