1、A題：鐵皮罐下料問題一、問題分析：針對(duì)問題一，生產(chǎn)一定量的鐵皮罐，且上下蓋圓板和側(cè)面矩形板都在規(guī)格為2 1的鐵皮上沖壓或切割出來（不在同一鐵皮上混合下料），要使得用料最省，則要考慮如何分配用作圓料和長(zhǎng)方形的鐵皮數(shù)。針對(duì)問題二：大規(guī)模生產(chǎn)時(shí)，只考慮節(jié)省原料問題。（可以在同一張鐵皮上混合下料）所以首先考慮在平均情況下使每張鐵皮生產(chǎn)的鐵罐個(gè)數(shù)達(dá)到盡可能多，或每張鐵皮的損耗更少。針對(duì)問題三：實(shí)際生產(chǎn)中，零件與零件的連接大部分要考慮接口處的損耗，所以實(shí)際生產(chǎn)中要對(duì)大部分連接零件預(yù)留接口，這就使實(shí)際部件尺寸比理想的稍大哦，所以在建立模型時(shí)要考慮在某些參數(shù)不變的情況下刻意增大某些量。2、 模型假設(shè)： 1、在

2、封閉的環(huán)境下沖壓或切割，忽略外界氣壓、溫度等的影響。 2、忽略鐵皮的厚度影響。（實(shí)際情況改進(jìn)時(shí)再考慮） 3、下料時(shí)，圖形互不重疊，即圖形邊界線不得相交。 4、理想切割或沖壓，即不會(huì)產(chǎn)生裁剪毛邊且相切圖形可以沿切線準(zhǔn)確裁剪，并且不會(huì) 出現(xiàn)造成鐵皮損壞等工藝上的失誤。 5、不考慮預(yù)留接口。（問題三另作考慮） 6、所有鐵皮罐規(guī)格相同。 三、變量符號(hào)說明符號(hào)對(duì)象單位r圓柱形鐵皮罐上蓋和下底的半徑md圓柱形鐵皮罐上蓋和下底的半徑mh圓柱形鐵皮罐的高mS圓柱形鐵皮罐的表面積平方米V圓柱形鐵皮罐的體積立方米a鐵皮長(zhǎng)度mb鐵皮寬度mN一張鐵皮可做出的圓板數(shù)正整數(shù)N44切圓時(shí)的圓板數(shù)正整數(shù)N66切圓時(shí)的圓板數(shù)正

3、整數(shù)Nm一張鐵皮可做出的矩形板的數(shù)量正整數(shù)圓周率，取3.14164、 模型建立：4.1、問題（1）： 分析：生產(chǎn)一定量的鐵皮罐，且上下蓋圓板和側(cè)面矩形板都在規(guī)格為2X1的鐵皮上沖壓或切割出來（不在同一鐵皮上混合下料），要使得用料最省，則要考慮如何分配用作圓板和矩形板的鐵皮數(shù)。為此，需要先建立兩個(gè)子模型（切割圓板最優(yōu)模型和切割矩形板最優(yōu)模型）并先利用鐵皮罐表面積最小縮小半徑r的取值范圍。4.1.1、切割圓板模型的建立 1、假設(shè)： a、理想切割，即可使圓與圓彼此相切； b、每個(gè)圓（除在鐵皮邊緣的圓）之間接觸的形式（每張鐵皮上的圓只能有一種接觸形式）為： （1）與4個(gè)圓相切。 （2）與6個(gè)圓相切。2

4、、 建立模型與數(shù)學(xué)求解： 每個(gè)圓與4個(gè)圓相切的形式 每個(gè)圓與6個(gè)圓相切的形式 每個(gè)圓與4個(gè)圓相切時(shí)：若a2nr可得到n列圓（n只能為正整數(shù)），所以列數(shù)n就是a/2r的整數(shù)部分a/2r。同理可知，行數(shù)為b/2r的整數(shù)部分b/2r。故一張鐵皮可得圓板總數(shù)為N=a/2r*b/2r。 每個(gè)圓與6個(gè)圓相切時(shí)：當(dāng)鐵皮長(zhǎng)度a是r的奇數(shù)倍(2n+1)r，則在a增大到(2n+2)r足以再容納一個(gè)圓板前，每行可有n個(gè)圓板;a增大到（2n+2）r時(shí),各行交替為n+1個(gè)和n個(gè);a再增大到（2n+3）r不到（2n+4）r時(shí)每行就能包含n+1個(gè)圓板。若共有x行，則x必須滿足2r+ (x-1)rb,因x只能是整數(shù)，所以x=

5、（b-2*r）/(3 *r)+1。在每行有n個(gè)圓板的情況下，圓板總數(shù)N=nx,由條件（2n+1）r=a(2n+2)r得n=(a/r-1)/2.因此， N=1/2(a/r-1)（b-2*r）/(3 *r)+1.當(dāng)各行為n+1和n個(gè)圓板交替出現(xiàn)時(shí)，分開考慮行數(shù)為偶數(shù)和奇數(shù)情況。x為偶數(shù)時(shí)，有n+1個(gè)和n個(gè)圓板的行數(shù)各為x/2行；當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)有n+1個(gè)和n個(gè)圓板的行數(shù)分別為（x+1）/2行和（x-1）/2行,n也必須滿足（2n+2）r=ah時(shí)和dh時(shí) (1)(3) d=h時(shí)(2)(4)（2） 同類型分類排列方式（注意，中間線不是平分線也不是分界線，只是為了形象的表達(dá)模型的意思）矩形區(qū)圓形區(qū) (1)

6、矩形區(qū)圓形區(qū) (2)矩形區(qū)圓形區(qū) （3）圓形區(qū)矩形區(qū) （4）4.2.3模型的求解：（1）,當(dāng)d=h時(shí)，因?yàn)閳A周長(zhǎng)為d=2r,所以，圓周長(zhǎng)近似等于3倍個(gè)直徑d,現(xiàn)假想問題一中建立的矩形板模型中一部分矩形被圓板代替，三個(gè)圓板可近似代替一個(gè)矩形，假設(shè)一塊鐵皮上有x個(gè)矩形被代替，我們認(rèn)為同一塊鐵皮上圓板的數(shù)目比上矩形板的數(shù)約為2：1時(shí)，每塊鐵板生產(chǎn)的鐵罐最多，所以可列方程： 3*x=2*(Nm-x),因x只能取整，故x=2Nm/5利用問題一已經(jīng)解好的結(jié)果,當(dāng)r=0.5420時(shí)，Nm最大取51，所以x最大為20。此時(shí)每張圓至少可切割出下限60個(gè)圓，31個(gè)矩形，組成30個(gè)鐵罐。由于實(shí)際切割時(shí)切出的圓板數(shù)和

7、矩形數(shù)都比這個(gè)多，但矩形板最多不超過32個(gè)，所以與問題一生產(chǎn)10000個(gè)鐵皮罐的最省下料方式用料299張相比，此種混合切割生產(chǎn)的最多鐵皮罐數(shù)在區(qū)間（8970,9568）內(nèi)，小于10000個(gè)，故，與分開下料相比，當(dāng)dh時(shí) ，如圖（1）（3），因（1）（3）模型的排列形式相同，故只對(duì)圖（1）模型進(jìn)行求解分析。如圖，因2r3d，所以把三個(gè)圓綁在一起。先將橫行中一個(gè)矩形和三個(gè)圓形看成一個(gè)組元，豎行中也將一個(gè)矩形和三個(gè)圓形看成一個(gè)組元。則：當(dāng)an(2r+6r)，在a增大到足夠再容納一個(gè)組元之前，每行有完整組元n=a/(2r+6r)。剩余長(zhǎng)度l=a-n(2r+6r)。剩余部分結(jié)果可以有以下幾種：非組元矩形

8、數(shù)0111000000非組員圓板數(shù)0012123456要求每種情況固定，比如第一行剩余部分為一個(gè)矩形加兩個(gè)圓形，那么后面各行都這樣安排。當(dāng)a=(n+1)(2r+6r)時(shí)，每行可容納n+1個(gè)組元。同理分析寬方向的組元數(shù)可得到行數(shù)（豎方向組元數(shù)的兩倍等于行數(shù)）。分析如下：當(dāng)bm(h+2r)，在b增大到足夠再容納一個(gè)組元之前，每豎行有完整組元數(shù)m=b/(h+2r)。剩余長(zhǎng)度i=b-m(h+2r)。剩余部分結(jié)果如下表：非組元矩形數(shù)010非組員圓板數(shù)003要求如果剩余部分只可容納一個(gè)矩形，那么后面的都是矩形，如果可以容納圓的話，那么就按行的組元排列。 當(dāng)b=（m+1）(h+2r)時(shí)，每豎行有m+1個(gè)組元

9、。如果設(shè)Xi,Yi分別表示，豎行部分的非組元矩形數(shù)和非組員圓板數(shù)（i為對(duì)應(yīng)的組數(shù)），xi,yi分別表示橫行的非組元矩形數(shù)和非組員圓板數(shù)（i為對(duì)應(yīng)的組數(shù)），則可以看出Xi,Yi不能同時(shí)取值，即至少有一個(gè)為0。所以混合裁剪時(shí)每塊鐵皮中圓形(N)和矩形(Nm)的數(shù)目分別為：當(dāng)m(h+2r)bm+1）(h+2r)，n(2r+6r)a(n+1)(2r+6r)， 時(shí):Nm=2*a/(2r+6r)*b/(h+2r)+2*Xi*a/(2r+6r)+xi*b/(h+2r)+1(h=i2r);Nm=2*a/(2r+6r)*b/(h+2r)+Xi*a/(2r+6r)+xi*b/(h+2r)+1(2rih+2r);N

10、=3*2*a/(2r+6r)*b/(h+2r)+Yi*a/(2r+6r)+yi*b/(h+2r)+1當(dāng)m(h+2r)bm+1）(h+2r)，a=(n+1)(2r+6r)時(shí)Nm=2*（n+1）*b/(h+2r)+2Xi*（n+1） (h=i2r);Nm=2*（n+1）*b/(h+2r)+Xi*（n+1） (2rih+2r);圓形數(shù)：N=3*2*（n+1）*b/(h+2r)+1當(dāng)b=（m+1）(h+2r)，n(2r+6r)a(n+1)(2r+6r)時(shí)Nm=2*a/(2r+6r)+1*（m+1）N=3*2*a/(2r+6r)*（m+1）+yi*（m+1）當(dāng)b=（m+1）(h+2r)，a=(n+1)(

11、2r+6r時(shí)Nm=2*(n+1)*（m+1）N=3*2*(n+1)*（m+1）（求解過程較繁瑣，可編程實(shí)現(xiàn)，時(shí)間不夠編程略）同類型分類形式排列時(shí)求解：此種情況可利用問題（1）中的兩個(gè)子模型求解。在這不多述了。4.2.4 評(píng)估分析：(1)建立的模型在生產(chǎn)生活中有一定的實(shí)際意義。(2)模型中編程的程序較為復(fù)雜。(3）模型中將圓形和矩形混合下料在實(shí)際生產(chǎn)中可以縮短工序。4.1.5 模型的改進(jìn)(1) 改進(jìn)模型，考慮多種規(guī)格鐵皮罐的切割問題，可使產(chǎn)品多樣化。4.3、問題（3）4.3.1分析：此題可看成是問題（1）和問題（2）在實(shí)際生產(chǎn)中的實(shí)際應(yīng)用，所以可直接利用問題（1）和問題（2）中已經(jīng)建立好的模型。

12、故此題只需分析問題（1）和問題（2）中的數(shù)據(jù)就可得出答案。在這里，我只對(duì)問題（1）中的數(shù)據(jù)（即圓形板和矩形板不在同一張鐵皮上混合下料的情況）進(jìn)行預(yù)留接口的分析。4.3.2以下是需要用到的問題（1）的求解數(shù)據(jù)表1r N4 N6 Nm ZhX4X6Y0.051171198493070.122371171022050.052171198503020.117711171022000.053162179513090.113311241121970.054162179503120.109151241122000.055162170503180.105221241182000.056136160513220

13、.10151481251970.057136160543110.097971481251860.058136152523250.094621481321930.059128143523330.09144157140193表2r N4 N6 Nm ZhX4X6Y0.0511171198493070.12191171022050.0512171198493070.121421171022050.0513171198493070.120951171022050.0514171198493070.120481171022050.0515171198493070.120011171022050.0516

14、171198503020.119551171022000.0517171198503020.119081171022000.0518171198503020.118621171022000.0519171198503020.118171171022000.052171198503020.117711171022000.0521171198512990.117261171021970.0522171189513030.116811171121970.0523171189513030.116371171121970.0524171189513030.115921171121970.05251711

15、89513030.115481171121970.0526171189513030.115041171121970.0527162179513090.114611241121970.0528162179513090.114171241121970.0529162179513090.113741241121974.3.3由分析數(shù)據(jù)可知，當(dāng)工廠生產(chǎn)鐵罐時(shí)切割精度只精確到毫米的話，我們就取鐵罐底面半徑r=0.052m，此時(shí)高h(yuǎn)=0.118m，所用料Z為302張鐵皮。所以我們就在r=0.052m的情況上預(yù)留接口4.3.4假設(shè)：預(yù)留接口為1mm由圓半徑和矩形長(zhǎng)預(yù)留，高不變。 此時(shí)r=0.053m 矩形長(zhǎng)

16、為2r+0.001=0.33384m，h=0.118m 由于圓形和矩形是分開下料，所以可以按各自的優(yōu)化模型求解。r=0.053m時(shí)，按圓形板的切割模型可得6切圓時(shí)最多，N6 =179。矩形長(zhǎng)為0.33384m寬為0.118m時(shí)，利用問題（1）中的矩形切割模型結(jié)合附表中的C+程序可以解得此時(shí)每張鐵皮可最多切割出50個(gè)小矩形板。按照問題（1）中的生產(chǎn)基數(shù)10000個(gè)。設(shè)x為分配用作加工圓板的鐵皮數(shù)，y為分配用作加工矩形板的鐵皮數(shù)。 則可列得方程： 179x=2*10000 50y=10000 （x，y均為真整數(shù)） 解得：x=112，y,=200即考慮到預(yù)留接口時(shí)，當(dāng)預(yù)留1mm且不做精密加工時(shí)，可解

17、得生產(chǎn)10000個(gè)鐵罐時(shí)的最省下料方案為：用112張鐵皮加工圓板，200張鐵皮加工矩形板，此時(shí)共用料312張。其他預(yù)留接口情況可同樣分析。4.3.5 評(píng)估分析：(1)有以上分析計(jì)算可知，實(shí)際生產(chǎn)時(shí)，由于要預(yù)留接口，所以原料的損耗要比理論的多的多，所以此模型在生產(chǎn)生活中有一定的實(shí)際意義。(2)巧妙的利用已經(jīng)建立好的模型進(jìn)行分析，簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)的程序。(3）實(shí)際的預(yù)留接口應(yīng)當(dāng)視產(chǎn)品性質(zhì)而定。參考文獻(xiàn)：1、 C語言程序設(shè)計(jì)教程（第二版）2、 數(shù)學(xué)建模經(jīng)典模型的優(yōu)化程序3、 /view/e3dc2b8ccc22bcd126ff0c3c.html4、 http:/w

18、/p-6.html北京理工大學(xué)珠海學(xué)院數(shù)學(xué)建模論文魏亮學(xué)號(hào)：22012 年 4 月 23 日附C+程序：#include#includeint max,min;int maxblank,maxlayer,layer;int k=0;int xx,yy; int cut(int x,int y, int a,int b)/x,y初始材料大小，即長(zhǎng)，寬，運(yùn)行中表示剩余可切割的長(zhǎng)寬區(qū)域；/a,b表示切割的最小單元長(zhǎng)，寬; int z1,z2,x1,y1; if(xy) max=x; min=y; else max=y; min=x; if(maxa)|(minb) retur

19、n 0; /確定是否繼續(xù)分割，否則退出循環(huán)！ else/繼續(xù)分割下去 layer=layer+1;/計(jì)算當(dāng)前的層數(shù) x1=x-a;/計(jì)算橫切塊數(shù) z1=cut(x1,y,a,b)+y/b; if(x10)z1=z1-y/b; y1=y-a;/計(jì)算豎切塊數(shù) z2=cut(x,y1,a,b)+x/b; if(y1z2) layer=layer-1; if(layermaxlayer) maxlayer=layer; return z1; else layer=layer-1; if(layermaxlayer) maxlayer=layer; return z2; int forword(int

20、x,int y, int a,int b) int z1,z2,x1,y1,qk,qh; if(x=xx&y=yy) qh=qk=0; if(xy) max=x; min=y; else max=y; min=x; if(maxa)|(minb) return 0; /確定是否繼續(xù)分割，否則退出循環(huán)！ else/繼續(xù)分割下去 /layer=layer+1;/計(jì)算當(dāng)前的切割的大塊數(shù)目 qh+=y/b;/計(jì)算橫切的次數(shù) x1=x-a;/計(jì)算橫切塊數(shù) z1=cut(x1,y,a,b)+y/b; if(x10) z1=z1-y/b; qh-=y/b; qk+=x/b;/計(jì)算豎切的次數(shù) y1=y-a;/

21、計(jì)算豎切塊數(shù) z2=cut(x,y1,a,b)+x/b; if(y1z2) cout橫切的次數(shù)：豎切的次數(shù)：qh=qh#qk=qkendl; return z1; else cout橫切的次數(shù)：豎切的次數(shù)：qh=qh#qk=qkendl; return z2; float circle(float l, float b, float r, int flag) int x=floor(1+(l/r-2)/sqrt(3); if(flag=4) float f=2*r; float t3=b/f; int t1=floor(t3); float t4=l/f; int t2=floor(t4); return t1*t2; else