1、前言不動點理論的研究興起于20世紀(jì)初。荷蘭數(shù)學(xué)家布勞韋在1909年創(chuàng)立了不動點理論1。在此基礎(chǔ)上，不動點定理得到了進(jìn)一步發(fā)展，出現(xiàn)了用迭代法尋找不動點的迭代思想。美國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1923年發(fā)現(xiàn)了一個更深刻的不動點理論，叫做萊布尼茨的不動點理論2。1927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究了不動點的個數(shù)問題，提出了尼爾森數(shù)的概念3。中國數(shù)學(xué)家江澤涵、蔣伯舉、史根華等人對可計算的尼森數(shù)的情況進(jìn)行了極大的擴(kuò)展，得到了萊布尼茨不動點理論的逆定理4。最后，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫給出了結(jié)果6。他在1922年提出的收縮映射原理(通常稱為收縮映射)發(fā)展了迭代的思想，并給出了Banach不動點定理6。這個定理有其廣泛的應(yīng)用

2、，如代數(shù)方程，微分方程，許多著名的數(shù)學(xué)家對不動點理論的證明和應(yīng)用做出了貢獻(xiàn)。例如，荷蘭數(shù)學(xué)家布魯沃在他1910年發(fā)表的論文關(guān)于流形的映射 2中證明了經(jīng)典不動點定理的一維形式。也就是說，如果連續(xù)函數(shù)()fx()fx將單位閉區(qū)間0，1映射成0，10，1，則有00，1x，Make 00()fxx=。保利亞曾經(jīng)說過：“在解決問題時，如果你不能回答問題，那么考慮與之相關(guān)的適當(dāng)?shù)妮o助問題”。“不動點”是一個有效的替代輔助問題。作為布勞威爾不動點定理從有限維到無限維空間的擴(kuò)展，1927年夏德爾證明了以下不動點定理。我們稱之為塞霍德不動點定理1:定理2把E設(shè)定為Banach空間，把X設(shè)定為E中的非空緊凸集，把

3、Xf:設(shè)定為連續(xù)自映射，那么F在X中一定有不動點。塞霍德不動點定理的另一個表達(dá)式是加強映射到緊映射的條件(即任意Xx，Xf是緊的)。在這種情況下，映射域不必是緊集，甚至不必是緊集。1935年，泰霍諾夫進(jìn)一步將塞霍德不動點定理1推廣到局部凸線性拓?fù)淇臻g，得到了以下不動點定理，我們稱之為泰霍諾夫不動點定理(tikhonov不動點定理)。1950年，Hukuhara將Schauder不動點定理二與Tyehonoff不動點定理相結(jié)合，得到一個曲面定理，我們稱之為Sehauder-tychonov不動點定理：1941年，kllcIltani將Bmuwer不動點定理推廣到集值映射的情形，得到了以下不動點定

4、理，我們稱之為Kakutani不動點定理：(克萊尼)1950年，伯特門布魯特和卡林將塞豪德不動點定理1推廣到集值映射的情形：1952年，范和格利克斯伯格分別將泰霍諾夫不動點定理推廣到集值映射的情形，成為卡庫塔尼-范-格利克斯堡不動點定理或K-F K-F-G不動點定理。1968年，白勞德證明了集值映射不動點定理的另一種形式。本文稱這個定理為范不動點定理：布勞德不動點定理：布勞德(白勞德，法英)提出的帶邊界條件的集值映射不動點定理。設(shè)X是局部凸拓?fù)渚€性空間，C是X中的非空緊凸集，F(xiàn):C2X具有非空閉凸值和上半連續(xù)。注意，(C)=xC|有一個有限維的線性子空間，所以X屬于E中C E的邊界。如果F滿足

5、以下兩個邊界條件之一，F(xiàn)有一個固定點：角谷靜夫(1911年8月28日-2004年8月17日)，日本著名數(shù)學(xué)家。耶魯大學(xué)教授。他畢業(yè)于東北帝國大學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)系。大阪府誕生了。不動點定理發(fā)表于1941年。拐角谷的不動點定理推廣了布勞威爾的不動點定理。在經(jīng)濟(jì)學(xué)和博弈論中，轉(zhuǎn)角谷不動點定理現(xiàn)在被頻繁使用。萊夫謝茨證明了L(f)是一個整數(shù)，如果L(f)為0，f至少有一個不動點。隨后，萊夫謝茨將他的不動點定理在一個級數(shù)中推廣，首先推廣到帶邊界的流形(1926)，然后推廣到由霍普夫提出的N維復(fù)形的特殊情況(1928)，萊夫謝茨于1930年推廣到有限維貝蒂數(shù)的緊致度量空間，并于1933年給出了有限維復(fù)形的簡單

6、而優(yōu)美的證明，最后推廣到所謂的廣義流形和局部連通空間。專注于不動點定理，萊夫謝茨把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)推向了一個新的階段。對于交、積和上同調(diào)，他對對偶定理、相對上同調(diào)、奇異上同調(diào)和局部連通集進(jìn)行了系統(tǒng)的發(fā)展。原始的萊夫謝茨不動點定理不能包括布魯沃的不動點定理。為了將不動點定理推廣到有邊界的流形(相對流形)，他引入了相對同調(diào)群，并將龐加萊對偶定理推廣到相對情形，得到了萊夫謝茨對偶1374定理。這不僅是一個推廣，而且統(tǒng)一了前兩個不相關(guān)的龐加萊對偶定理和亞歷山大對偶定理。不動點定理在數(shù)學(xué)中起著重要的作用。它已被擴(kuò)展成為無限維空間分析的重要工具。阿蒂亞和博特將萊夫謝茨不動點定理推廣到橢圓復(fù)形。江澤涵和江伯舉在不

7、動點理論方面也取得了重大進(jìn)展。代數(shù)拓?fù)涞娜R夫謝茨不動點定理(和尼爾森不動點定理)值得注意，它給出了一種計算不動點的方法。Bolacci空間有一個推廣和推廣，它適用于偏微分方程理論。首先，不動點算法也叫定點算法。所謂不動點是指當(dāng)給定區(qū)域a通過某種變換(x)映射到a時，x=(x)成立的點。最早的不動點理論是布勞威爾定理(1912):如果A是Rn中的緊凸集，并且是映射A到A的連續(xù)函數(shù)，那么A中至少有一個點X，這樣X=(X)。后來，角谷靜夫在1941年將這個定理推廣到點集映射。設(shè)(x)是每個x a的A的子集。如果(x)具有以下性質(zhì)：對于A上的任何收斂序列xix0，如果yi (xi)和yiy0，則有y0

8、 (x0)，這樣的(x)在A上稱為上半連續(xù)。角谷靜夫定理：設(shè)A是Rn中的緊凸集。對于任何x (x)是A的非空凸集，并且(x)在A上是上半連續(xù)的，必須有x (x)。肖德爾和萊勒將布魯爾定理推廣到巴拿赫空間。不動點定理已廣泛應(yīng)用于代數(shù)方程、微分方程、積分方程、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科。例如，對于代數(shù)方程的基本定理，要證明(x)=0必須有一個根，只需證明函數(shù)(x) x在一個圓上有一個不動點xR；在運籌學(xué)中，不動點定理至少可以用于兩個目的：一是證明博弈論中非合作博弈的存在性并找到平衡點；一是在數(shù)學(xué)規(guī)劃中尋找最優(yōu)解。對于給定的凸規(guī)劃問題：最小(x) gi (x) 0，I=1，2，這里是m，G1是G2，GM是Rn

9、中的凸函數(shù)。通過適當(dāng)定義函數(shù)，可以證明如果上述問題的可行域不為空，則的不動點就是問題的解。1964年以前，所有不動點定理的證明都是存在的證明，也就是說，只有這樣的點存在。1964年，萊姆克和小豪森提出了雙矩陣對策平衡點的建設(shè)性證明。1967年，h. skaff將這種方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃。此后，不動點定理的結(jié)構(gòu)證明得到了極大的發(fā)展和完善。H.斯卡夫的證明是基于一個所謂的原始集合，所有后續(xù)的發(fā)展都是基于某種意義上的三角測量。讓我們以n維單形Sn為例來說明這個概念。對于每個I，將區(qū)間0xi1除以m1，m2.同等零件，m10。根據(jù)著名的斯彭內(nèi)爾引理，Gi中一定有一個三角形i，它的n 1個頂點yi(k)標(biāo)

10、為k (k=1，2，因此可以獲得一系列正數(shù)ij(j),使得(k) yk，k=1，2，n . 1。根據(jù)i，當(dāng)ij收斂到點x時。所以yk=x，k=1，2，n . 1。因為(k)的標(biāo)號是k，ykCk，因此x是所需的固定點。因此，尋找(x) : sn sn的不動點的問題變成了尋找 i (i=1，2，)。除了上述標(biāo)注方法之外，還有標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)標(biāo)注方法、矢量標(biāo)注方法等用于計算效果。關(guān)于如何找到i，變維算法，三明治法，同倫算法，變維重啟法等。根據(jù)適當(dāng)?shù)亩x，上述Sn可以變成Rn或Rn中的凸集之一。在凸集上尋找凸函數(shù)極值的問題也可以轉(zhuǎn)化為不動點問題。一般來說，這種方法適用于維數(shù)不高但問題中的函數(shù)比較復(fù)雜的情況。

11、文獻(xiàn)學(xué)A.變維不動點算法和三角剖分，數(shù)學(xué)中心，阿姆斯特丹，1980年。2.徐玉光教授(徐玉光教授)(中國昆明大學(xué)(云南省昆明大學(xué))不動點理論及其應(yīng)用(國立成功大學(xué)報告)不動點理論的研究屬于數(shù)學(xué)非線性泛函分析和一般拓?fù)鋵W(xué)的范疇。這些結(jié)果被廣泛應(yīng)用于分析數(shù)學(xué)、力學(xué)、微分方程、控制理論、優(yōu)化理論、非線性規(guī)劃、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論等應(yīng)用學(xué)科。(一)。不動點理論的發(fā)展過程一個簡單的不動點問題(微積分中)；1909年，布魯沃著名的不動點定理和一系列論文建立了不動點理論。1922年，波蘭著名數(shù)學(xué)家巴拿赫給出了一個簡單實用的壓縮映射原理，這也是一個不動點定理。在簡單條件下，Banach壓縮映射原理不僅指出了映射

12、不動點的存在性和唯一性，而且提供了一種逼近不動點的方法。1967年，美國數(shù)學(xué)家夏普發(fā)現(xiàn)了一種計算單純形連續(xù)映射不動點的組合拓?fù)溆邢匏惴?，這是布勞威爾不動點定理的構(gòu)造性證明。1941年，日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫的集值不動點定理為博弈論建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上做了理論準(zhǔn)備。范1968年的不動點定理，希姆貝格1972年的不動點定理，以及塔拉法爾達(dá)分別于1987年和1992年在拓?fù)渚€性空間和H-空間中建立的不動點定理。美國數(shù)學(xué)家邁克爾(1956)、多伊奇和肯德羅夫(1983)通過在集值分析中應(yīng)用連續(xù)選擇原理，在拓?fù)淇臻g中建立了集值不動點定理和幾乎不動點定理。自1990年以來，不動點理論的研究達(dá)到了高潮。在各種制圖或

13、空間條件下，不動點、隨機不動點、幾乎不動點等。討論。每年都有數(shù)百篇論文發(fā)表。新的不動點定理和各種迭代逼近方法不斷出現(xiàn)。(2)。不動點理論的四個研究方向1.研究拓?fù)淇臻g中的“不動點性質(zhì)”(使用同倫群)和不動點的有限算法(組合拓?fù)?；2.丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究了不動點的數(shù)量(尼爾森數(shù))，發(fā)起了不動點類理論的研究，并為大陸數(shù)學(xué)家工作。3.一般度量空間或拓?fù)湎蛄靠臻g中連續(xù)映射的不動點問題不動點的存在性研究映射的連續(xù)性、緊性、緊性、凸性、單值或集值不動點的迭代逼近研究各種迭代方法，收斂性(強，弱)，收斂速度，誤差分析，穩(wěn)定性4.應(yīng)用集值分析中的連續(xù)選擇原理，在拓?fù)淇臻g中建立集值不動點定理和幾乎不動點定理，

14、并應(yīng)用于博弈論研究。(3)不動點理論主流方向的研究現(xiàn)狀和有待研究前沿解決的問題?！耙话愣攘靠臻g或拓?fù)湎蛄靠臻g中映射的不動點問題”是研究的主流。近20年的研發(fā)主線；迭代逼近算法研究(從曼迭代到混合迭代等。)；強偽壓縮映射的不動點，強增生算子方程的迭代解(兩者之間的關(guān)系)；迭代誤差分析和穩(wěn)定性研究；需要解決的幾個問題(一般收斂，迭代收斂的等價性，不動點的存在性和迭代逼近條件的協(xié)調(diào)性，關(guān)于Schauder猜想)。其次，進(jìn)行了“應(yīng)用連續(xù)選擇原理建立集值不動點定理和幾乎不動點定理”的研究。最佳結(jié)果和需要解決的問題：a)上(下)半連續(xù)集值映射之間的拓?fù)渫瑐愱P(guān)系及其不動點的存在性；b)集值映射及其不動點存在唯一性的充分必要條件，具有較弱的上(下)半連續(xù)性；探索幾乎平衡解的存在與幾乎不動點之間的關(guān)系。三、維基百科上的卡庫塔尼不動點定理/wiki/Kaku