1、綏化學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）微積分在其它學(xué)科中的應(yīng)用學(xué)生姓名： 劉春梅 學(xué) 號： 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級： 2010級 指導(dǎo)教師： 劉 一 講 師 Suihua University Graduation Paper Calculus Applications in other DisciplinesStudent name Liu Chunmei Student number Major Mathematics and Applied Maths Supervising teacher Liu Yi Suihua University摘 要 微積分不僅在數(shù)學(xué)里是十分重要的內(nèi)容，而且

2、在其它學(xué)科中也有著非常重要的應(yīng)用本文首先介紹了微積分的發(fā)展及其基本定義，然后介紹導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中邊際分析和彈性理論中的應(yīng)用，以及利用積分的知識解決經(jīng)濟學(xué)中總函數(shù)的求解和消費者剩余的測算等問題最后介紹微積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用，包括利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題和距離極值問題，利用積分求幾何圖形的面積，曲線長度，幾何體的體積等幾何問題，正是有了微積分的加入才使得其它學(xué)科的理論更加嚴(yán)格和完善關(guān)鍵詞：微積分；經(jīng)濟學(xué)；幾何學(xué)Abstract Calculus in mathematics is not only very important content, but also has the very importa

3、nt application in other disciplines. In this paper，we first introduces the development of calculus and its basic definition. Then, we introduce the application of derivative in economic marginal analysis and elastic theory, and how to use the knowledge of the integral to solve function in economics

4、and the calculation of consumer surplus. Finally, we introduces the application of calculus in geometry, including the use of derivative extremum problems, solve the problem of the tangent and the distance by using integral geometry, the area of curve length, geometry size of the problem, It is the

5、addition of calculus and other disciplines has the theory more strict and perfect. Key words: Calculus; economics; geometry目 錄摘 要IAbstractII第1章 微積分的發(fā)展及其相關(guān)定義1 第1節(jié) 微積分的發(fā)展1 第2節(jié) 微分的相關(guān)定義2 第3節(jié) 積分的相關(guān)定義3第2章 微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用5 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用5 第2節(jié) 積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用14第3章 微積分在幾何中的應(yīng)用18 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用18 第2節(jié) 積分在幾何中的應(yīng)用19結(jié) 論23參考文

6、獻24致 謝25第1章 微積分的發(fā)展及其相關(guān)定義第1節(jié) 微積分的發(fā)展微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期 微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念，求積的無限小方法，積分與微分的互逆關(guān)系，最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了公元前3世紀(jì)古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287前212）的著作圓的測量和論球與圓柱中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想作為微積分的基礎(chǔ)極

7、限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的莊子一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”三國時期的高徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”他在1615年測量酒桶體積的新科學(xué)一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形圓的面積就是無窮多的三角形面積之和，這些都可視為極限思想的佳作意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的連續(xù)不可分幾何，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備微積分思想雖然可追溯到古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)

8、上產(chǎn)生和發(fā)展起來的而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到北宋大科學(xué)家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究到了17世紀(jì)，有許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問題做了大量的研究工作笛卡爾1637年發(fā)表了科學(xué)中的正確運用理性和追求真理的方法論（簡稱方法論），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)他不僅用坐標(biāo)表示點的位置，而且把點的坐標(biāo)運用到曲線上他認為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，表

9、示變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對應(yīng)關(guān)系此外，笛卡爾打破了表示體積面積及長度的量之間不可相加減的束縛于是幾何圖形各種量之間可以化為代數(shù)量之間的關(guān)系，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來笛卡爾就這樣把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的一次飛躍，而且更重要的是它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊空間17世紀(jì)以后，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進入了“變量數(shù)學(xué)”時代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科整個17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究前人工作

10、終于使牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)下半葉各自獨立創(chuàng)立了微積分1605年5月20日，在牛頓手寫的一面文件中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于1665-1676年間，但這些著作發(fā)表很遲他完整地提出微積分是一對互逆運算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓-萊布尼萊公式微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展如今微積分已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分微積分堪稱是人類智慧最偉大的成

11、就之一第2節(jié) 微分的相關(guān)定義 2.1 極限定義1設(shè)函數(shù)在點的某一空心鄰域內(nèi)有定義，為一常數(shù)，若任給，總存在，使得當(dāng)時，都有 成立，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作3 或 2.2 一階微分 定義2設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量可表示為：（其中是不依賴于的常數(shù)），而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點是可微的，且稱作函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即1通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即于是函數(shù)的微分又可記作函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商幾何意義 設(shè)是曲線上的點的在橫坐標(biāo)上的增量，是曲線在點對應(yīng)在縱坐標(biāo)上的增量，是曲線在點的切線對應(yīng)在縱坐標(biāo)

12、上的增量當(dāng)非常小時，比要小得多(高階無窮小)，因此在點附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段第3節(jié) 積分的相關(guān)定義 3.1 不定積分 定義1若成立稱為函數(shù)的一個原函數(shù)由定義可知：若求函數(shù)為的一個原函數(shù)，則的所有的原函數(shù)可表示為，其中任意的常數(shù)2我們把函數(shù)的所有原函數(shù)（為任意常數(shù)）叫做函數(shù)的不定積分 記作其中叫做積分號，叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式，叫做積分常數(shù). 求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分 3.2 定積分 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個分點，把分成個小區(qū)間：，各個小區(qū)間的長度依次為：，在每個小區(qū)間上任取一點，作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積并作和，記，如果不論

13、對怎樣分割，也不管在小區(qū)間上點怎樣取法，只要當(dāng)時，和總是趨于確定的極限，我們稱這個極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡稱為積分），記作，即， 其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分變量，稱為積分和第2章 微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 微積分在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用主要是研究在這一領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關(guān)系因此必須了解一些經(jīng)濟分析中常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用是十分廣泛的，因為在經(jīng)濟學(xué)中很多函數(shù)里面都有導(dǎo)數(shù)的存在才能去進行一些定量分析進而得出最優(yōu)化的結(jié)果根據(jù)導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)可以為大家解釋一些經(jīng)濟學(xué)函數(shù)圖像的走向問題，為何會出現(xiàn)此種走向等等同樣的在極限的概

14、念基礎(chǔ)上面，很多微積分的概念理論得到發(fā)展很多經(jīng)濟學(xué)的知識也得到有效的解決像一些復(fù)利問題，還有用極限方法解決彈性計算問題積分的應(yīng)用是由人們在生產(chǎn)生活活動中，為了解決復(fù)雜和動態(tài)過程的量化累積而引入的在日常經(jīng)濟活動中，積分的應(yīng)用也非常廣泛，比如求總值（如總成本和總利潤等），包括其他變量時間累計的總量等這些經(jīng)濟活動內(nèi)容涉及到很多個領(lǐng)域，且函數(shù)表達方式都有所不同，但它們的原理都是一樣的，這些都是微積分在經(jīng)濟學(xué)中的廣泛應(yīng)用 1.1 導(dǎo)數(shù)在邊際分析中的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)在引進經(jīng)濟學(xué)之后，對經(jīng)濟分析帶來了很大變革，可以定量分析很多以前沒辦法分析的經(jīng)濟問題導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中最通常的應(yīng)用是邊際和彈性經(jīng)濟學(xué)中的邊際經(jīng)濟變量都是

15、用增加某一個經(jīng)濟變量一單位從而對另一個經(jīng)濟變量帶來的影響是多少，如邊際效用、邊際成、邊際收益、邊際利潤、邊際替代率等等這些邊際概念幾乎都用導(dǎo)數(shù)來表示 （1）邊際需求與邊際供給 需求函數(shù)在點處可導(dǎo)(其中為需求量，為商品價格)，則其邊際函數(shù)稱為邊際需求函數(shù)，簡稱邊際需求，稱為當(dāng)價格為時的邊際需求，其經(jīng)濟意義為：當(dāng)價格達到時，如果價格上漲一個單位，則需求將相應(yīng)減少個單位4供給函數(shù)可導(dǎo)(為供給量為商品價格)，則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)，簡稱邊際供給，稱為當(dāng)價格為時的邊際供給其經(jīng)濟意義為：當(dāng)價格達到時，如果價格上漲一個單位，則供給增個單位（2）邊際成本函數(shù)總成本函數(shù) ，平均成本函數(shù) ，邊際成本函數(shù) ，

16、其中代表固定成本，代表可變成本稱為當(dāng)產(chǎn)量為時的邊際成本，其經(jīng)濟意義為：當(dāng)產(chǎn)量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減個單位5 （3）邊際收益函數(shù)總收益函數(shù)，平均收益函數(shù)，邊際收益函數(shù)，簡稱邊際收益，稱為當(dāng)商品銷售量為時的邊際收益，經(jīng)濟意義為：當(dāng)銷售量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減個單位總收益是產(chǎn)量與價格的乘積，即 ，總利潤為總收益與總成本的差值，即 若價格隨的變化而改變，則最大時總收益和總利潤不一定取到最大值，并且收益最大時的產(chǎn)量不一定能產(chǎn)生最大的利潤（4）邊際利潤函數(shù)利潤函數(shù)，平均利潤函數(shù)，邊際利潤函數(shù)，稱為當(dāng)產(chǎn)量為時的邊際利潤，其經(jīng)濟意義是：當(dāng)產(chǎn)量達到時，如果增減一

17、個單位產(chǎn)品，則利潤將相應(yīng)增減個單位7 在以上定義中發(fā)現(xiàn)不管是邊際成本、邊際利潤，都是導(dǎo)數(shù)的一些很簡單的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，在經(jīng)濟學(xué)中，也存在變化率的問題，因此我們可以把微觀經(jīng)濟學(xué)中的很多問題歸結(jié)到數(shù)學(xué)中來，用所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識加以研究并解決導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的意義可以解釋為，用增加一個經(jīng)濟變量的一個單位從而對另一個經(jīng)濟變量帶來的影響是多少比如邊際替代率，為了維持原有的滿足程度不變，消費者為增加一單位商品而必須放棄的商品的數(shù)量用公式表示就是： 例1 某種產(chǎn)品的總成本（萬元）與產(chǎn)量（萬件）之間的函數(shù)關(guān)系式（即總成本函數(shù)）為 ，求生產(chǎn)水平為（萬件）時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼

18、續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？解 當(dāng)時的總成本為（萬元），所以平均成本（單位成本）為（元/件），邊際成本， ，因此在生產(chǎn)水平為10萬件時，每增加一個產(chǎn)品總成本增加3元，遠低于當(dāng)前的單位成本，從降低成本角度看，應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量 例2 設(shè)壟斷廠商的需求函數(shù)為，總成本函數(shù)， （1）求為多少時使總收益最大，與此相應(yīng)的價格，總收益及總利潤各為多少？ （2）求為多少時總利潤最大，價格，總收益及總利潤為多少?解 （1）已知廠商的產(chǎn)品的需求函數(shù)為 ，則 ，總收益最大，即要求 ，所以導(dǎo)數(shù)方法 ，即 ，得 ，所以時，最大把代入 ，得，總收益 ，總利潤 （2） ， ， ，總利潤最大時， ，得 ， 把代入 ，得，總收益 ，總利

19、潤 例3 某公司總利潤（萬元）與日產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式（即利潤函數(shù)）為試求每天生產(chǎn)噸，噸，噸時的邊際利潤，并說明經(jīng)濟含義解 邊際利潤， ， ， 從上面的結(jié)果表明，當(dāng)日產(chǎn)量在150噸時，每天增加1噸產(chǎn)量可增加總利潤0.5萬元；當(dāng)日產(chǎn)量在200噸時，再增加產(chǎn)量，總利潤已經(jīng)不會增加；而當(dāng)日產(chǎn)量在350噸時，每天產(chǎn)量再增加1噸反而使總利潤減少1.5萬元，由此可見，該公司應(yīng)該把日產(chǎn)量定在200噸，此時的總利潤最大為： （萬元）從上例可以發(fā)現(xiàn)，公司獲利最大的時候，邊際利潤為零例4 某公司有兩個子公司生產(chǎn)同種產(chǎn)品，其總成本函數(shù)為，其中表示子公司生產(chǎn)的產(chǎn)量表示子公司生產(chǎn)的產(chǎn)量當(dāng)公司生產(chǎn)的產(chǎn)量為120時，

20、求公司生產(chǎn)總成本最少時兩子公司的產(chǎn)量組合解當(dāng)個公司用兩個子公司生產(chǎn)同種產(chǎn)品時，它必須使兩個子公司生產(chǎn)的邊際成本相等，才能實現(xiàn)成本最少的產(chǎn)量組合子公司，生產(chǎn)的邊際成本： ，子公司日生產(chǎn)的邊際成本： ，由的原則， ，即，因為 ，于是 ，解得 ， 1.2 導(dǎo)數(shù)在彈性理論中的應(yīng)用彈性概念：需求彈性用于描述在一定時期內(nèi)一種商品的需求量的相對變動對于該商品的價格的相對變動的反應(yīng)程度需求的點彈性公式為，弧彈性公式為 ，供給彈性用于表示在一定時期內(nèi)的一種商品的攻擊量的相對變動對于該商品的價格的相對變動額反應(yīng)程度7供給的點彈性公式為，供給弧彈性公式為 例5假設(shè)某市場上兩公司是生產(chǎn)同種有差異產(chǎn)品的競爭者，且市場上

21、對兩公司產(chǎn)品的現(xiàn)有需求量已達到飽和市場上公司的需求曲線為，公司的需求曲線為，兩公司的銷售價格分別為只元，元 （1）求兩公司的需求價格彈性； （2）如果公司降價到公司的銷售價格400，使得公司的銷售量增加，而公司的銷售量減少，那么公司需求的交叉彈性是多少? （3）公司降價的行為選擇正確嗎?公司由銷售量減少而造成的損失是多少? 解（1）由，得 ，于是 ，從而市場上面對該產(chǎn)品的飽和需求量為，公司的需求價格彈性，公司的需求價格彈性 （2）當(dāng)時，得，市場上對該產(chǎn)品的飽和需求量為400，可知于是 ，公司需求的交叉彈性： （3）公司在時的需求價格彈性為，即需求缺乏彈性，降價會減少銷售收入，因為，降價前公司的

22、收入，降價后公司的收入，顯然，公司降價減少了它的銷售收人，所以，對于該公司追求銷售收入最大化的目標(biāo)而言，它降價在經(jīng)濟上是不合理的降價前，公司的銷售收入，降價后，公司的銷售收入， ，公司有銷售量減少而造成的損失時 例6已知需求函數(shù)， （1）求需求彈性； （2）問取何值時，為單位彈性，缺乏彈性，富有彈性 解 （1）（2）由 ，得；，即當(dāng)時，為單位彈性；當(dāng)時，為缺乏彈性；當(dāng)時，為富有彈性第2節(jié) 積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 在經(jīng)濟學(xué)中有各種各樣的函數(shù)，代表不同的經(jīng)濟學(xué)現(xiàn)象而且我們一般情況下知道的都是比較直接的一些邊際函數(shù)，當(dāng)我們想知道總函數(shù)的時候我們就要去了解一些微積分中的其他一些內(nèi)容了，下面我就談?wù)劮e分在

23、經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 2.1 總函數(shù)的求解 在經(jīng)濟管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)(即原函數(shù))，一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決8 例1 設(shè)生產(chǎn)個產(chǎn)品的邊際成本，其固定成本為元，產(chǎn)品單價規(guī)定為500元假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大？并求出最大利潤解 總成本函數(shù)為，總收益函數(shù)為， 總利潤，令得，因為，所以生產(chǎn)量為200單位時，利潤最大，最大為（元）在這里我們應(yīng)用了定積分，分析出利潤最大，并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤，只有合理安排生產(chǎn)量，才能取得最大的利潤 例2生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為，固定成本，求出生產(chǎn)個產(chǎn)品的

24、總成本函數(shù)解總成本函數(shù) 2.2 消費者剩余消費者剩余是某商品價值與其價格之間的差額，或者是消費者根據(jù)自己對商品效用的評價所愿意支付的價格與實際付出的價格的差額計算消費者剩余，對于市場是否使得經(jīng)濟主體福利達到最大化、市場結(jié)構(gòu)是否有效等問題的解答起著關(guān)鍵的作用有限需求者的離散型的需求結(jié)構(gòu)中，消費者剩余可以通過累加的方式進行計算，但是在連續(xù)需求函數(shù)中，消費者剩余的測算就需要利用積分的知識了例3 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為1萬元，則邊際收益和邊際成本分別為(單位：萬元，臺)： ，求若產(chǎn)量由1臺增加到3臺，總收益增加多少?總成本增加多少?產(chǎn)量為多少時，總利潤達到最大?解總收益增加量為 ，總成本增加量為，邊

25、際成本等于邊際收益是利益最大，即，時總利潤最大，此時產(chǎn)量為例4 已知邊際收益函數(shù)，求總收益函數(shù)于需求函數(shù) 解 此時總收益函數(shù) ，由于，得，需求函數(shù) ，即 第3章 微積分在幾何中的應(yīng)用第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支科學(xué)，有關(guān)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，其解題要求都是非常基本的，在這里主要討論導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用例1 確定拋物線方程中的常數(shù)，使得拋物線和直線在處相切 分析 這道題可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)是曲線在點處的切線斜率此拋物線切線斜率的方程可表示為，根據(jù)直線是拋物線的切線，且在處相切，可得，因此可得的值；又因為是直線與拋物線

26、交點的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線方程可得交點為，代入拋物線方程得到的值解因為，由題意知，所以，又因為時，代入，得例2求曲線上與定點距離最近的點分析根據(jù)平面上兩點間的距離公式，得到以為自變量的函數(shù)，這道題就轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)最值的問題解設(shè)曲線上一點，的距離，設(shè)，則令，由得，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在時取最小值，此時也取最小值，最小值為，即與最近的點為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題涉及到很多內(nèi)容，以上僅僅討論了在解析幾何中的應(yīng)用第2節(jié) 積分在幾何中的應(yīng)用 2.1 求平面圖形的面積設(shè)曲線與直線，及軸所圍曲邊梯形面積為，取為積分變量，則，則此面積為，面積為 例1 計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積解 由，得交點，則例2計算拋物線與直

27、線所圍圖形的面積解由，得交點，為簡便計算，選取積分變量，則有設(shè)，求曲線及射線圍成的曲邊扇形的面積在區(qū)間上任取小區(qū)間，則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為，所求曲邊扇形的面積為 2.2 求平面曲線的弧長定義1若在弧上任意作內(nèi)接折線，當(dāng)折線段的最大邊長時，線的長度趨向于一個確定的極限，則稱此極限為曲線的弧長，即，稱此曲線弧為可求長的曲線由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素：，因此所求弧長曲線由參數(shù)方程給出：，弧長微元(弧微分)，因此所求弧長曲線弧由極坐標(biāo)方程給出：，則得弧長為，因此所求弧長 例4 求連續(xù)曲線段的弧長解 因為，所以當(dāng)時， 2.3 求立體的體積設(shè)所給立體垂直于軸的截面面積為，在上連續(xù)，則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為 例5 一個平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底面圓的中心，并與底面交成角，計算該平面所截圓柱體所得立體的體積 解 取坐標(biāo)系，則圓的方程為，垂直于軸的截面是直角三角形，其面積為，利用對稱性 2.4 求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線，且，求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.側(cè)面積元素：位于上的圓臺的側(cè)面積，積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積注意側(cè)