1、,三、環(huán)流量與旋度,斯托克斯公式,環(huán)流量與旋度,第七節(jié),一、斯托克斯公式,*二、空間曲線積分與路徑無關的條件,*四、向量微分算子,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第十章,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 設光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線,(斯托克斯公式),個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導數(shù), 的,側(cè)與 的正向符合右手法則,在包含 在內(nèi)的一,證:,情形1 與平行 z 軸的直線只交于,一點,設其方程為,為確定起見, 不妨設 取上側(cè) (如圖).,則有,簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,(利用格林公式),定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此,同理可證,三式相加, 即得斯托

2、克斯公式 ;,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點多于一個,則可,通過作輔助線面把 分成與z 軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿輔助,曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這,類曲面斯托克斯公式仍成立.,注意: 如果 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,證畢,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:,或用第一類曲面積分表示:,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 利用斯托克斯公式計算積分,其中為平面 x+ y+

3、 z = 1 被三坐標面所截三角形的整個,解: 記三角形域為, 取上側(cè),則,邊界, 方向如圖所示.,利用對稱性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 為柱面,與平面 y = z 的交線,從 z,軸正向看為順時針, 計算,解: 設為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得,則其法線方向余弦,公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*二、空間曲線積分與路徑無關的條件,定理2.,設 G 是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價:,(1) 對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有,(2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線 ,與路徑無關,(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u,

4、使,(4) 在G內(nèi)處處有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;,(自證),設函數(shù),則,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,同理可證,故有,若(3)成立, 則必有,因P, Q, R 一階偏導數(shù)連續(xù),故有,同理,證畢,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,與路徑無關, 并求函數(shù),解: 令, 積分與路徑無關,因此,例3. 驗證曲線積分,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、 環(huán)流量與旋度,斯托克斯公式,設曲面 的法向量為,曲線 的單位切向量為,則斯托克斯公式可寫為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令, 引進一個向量,定義:,沿有向閉曲線 的環(huán)流量.,或,于

5、是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,rotation,設某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一,點,建立坐標系如圖,則,點 M 的線速度為,(此即“旋度”一詞的來源),旋度的力學意義:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意 與 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意義:,例4.,求電場強度,的旋度 .,解:,(除原點外),這說明, 在除點電荷所在原點外, 整個電場無旋.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的外法向量,計算,解:,例5. 設,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*四、向量微分算子,定義向量微分算子:,它又稱為( Nabla )算子

6、, 或哈密頓( Hamilton ) 算子.,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,高斯公式與斯托克斯公式可寫成:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 斯托克斯公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在內(nèi)與路徑無關,在內(nèi)處處有,在內(nèi)處處有,2. 空間曲線積分與路徑無關的充要條件,設 P, Q, R 在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 場論中的三個重要概念,設,梯度:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,散度:,旋度:,則,思考與練習,則,提示:,三式相加即得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1); 4 (2) ; 6 補充題: 證明,習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,斯托克斯(1819-1903),英國數(shù)學物理學家.,他是19世紀英國,數(shù)學物理學派的重要代表人物之一,其,主要興趣在于尋求解重要數(shù)學物理問題,的有效且一般的新方法,在1845年他導,出了著名的粘性流體運動