1、 三、解答題36. 【2011年.浙江卷.理19】（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng) (),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及（）記，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小. 37. 【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；（2）由和得，從而可得，即可得證.【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.38. 【2011高考重慶理第21題】（本小題滿分12分。（）小問5分，（）小問7分） 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足

2、 （）若成等比數(shù)列，求和 （）求證：對有?！敬鸢浮浚ǎ┯深}意，得，由是等比中項(xiàng)知，因此，由，解得， 39. 【2012高考重慶理第21題】（本小題滿分12分，（I）小問5分，（II）小問7分。） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中。 （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件。【答案】（1）證明：由，得，即。 因，故，得， 又由題設(shè)條件知， 兩式相減得，即， 由，知，因此 綜上，對所有成立，從而是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。（2） 當(dāng)或時(shí)，顯然，等號(hào)成立。 設(shè)，且，由（1）知，所以要證的不等式化為：即證：當(dāng)時(shí)，上面不等式的等號(hào)成立。 40. 【2014高考重慶理第22

3、題】（本小題滿分12分，（）小問4分，（）小問8分）設(shè)（）若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，問：是否存在實(shí)數(shù)使得對所有成立？證明你的結(jié)論.【答案】（）；（）存在，【解析】試題分析：（）由所以數(shù)列是等差數(shù)列，可先求數(shù)列再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；也可以先根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由數(shù)學(xué)歸納法證明.（）利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造函數(shù)，由，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.試題解析：解: （）解法一：再由題設(shè)條件知從而是首項(xiàng)為0公差為1的等差數(shù)列，故=，即（）解法一：設(shè)，則.令，即，解得.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命：當(dāng)時(shí)，所以，結(jié)論成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即易知在上為減函數(shù)，從而即再由在上為

4、減函數(shù)得.故，因此，這就是說，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.綜上，符合條件的存在，其中一個(gè)值為.再證：當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)結(jié)論成立假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即由及在上為減函數(shù)，得這就是說，當(dāng)時(shí)成立，所以對一切成立.由得即因此考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；2、等差數(shù)列；3、函數(shù)思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用.4、數(shù)學(xué)歸納法.41. 【2015高考重慶，理22】在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會(huì)得出），從而，所以是等比數(shù)列，由其通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題，數(shù)列的遞推關(guān)系是可變

5、形為,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個(gè)結(jié)論可知，因此，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.(1)由,有 (2)由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)樽冃螢?由上式及，歸納可得因?yàn)?，所以對求和得另一方面，由上已證的不等式知得綜上：【考點(diǎn)定位】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識(shí)42. 【2011，安徽理18】在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（）；（） 43. 【2015高考安徽，理18】設(shè)，是曲

6、線在點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，證明.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）對題中所給曲線的解析式進(jìn)行求導(dǎo)，得出曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.從而可以寫出切線方程為.令.解得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（）要證，需考慮通項(xiàng)，通過適當(dāng)放縮能夠使得每項(xiàng)相消即可證明.思路如下：先表示出，求出初始條件當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，單獨(dú)考，并放縮得，所以，綜上可得對任意的，均有.【考點(diǎn)定位】1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.放縮法證明不等式.44. 【2014，安徽理21】（本小題滿分13分）設(shè)實(shí)數(shù)，整數(shù)，（I）證明：當(dāng)且時(shí)，；（II）數(shù)列滿足，證明：【答案】（I）證明：當(dāng)且時(shí)，；（I

7、I）試題解析：（I）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，原不等式成立假設(shè)時(shí)，不等式成立當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，原不等式也成立.綜合可得，當(dāng)且時(shí)，對一切整數(shù)，不等式均成立（2） 證法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明證法2：設(shè)，則，并且由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，即可知，并且，從而故當(dāng)時(shí)，不等式成立假設(shè)時(shí)，不等式成立，則當(dāng)時(shí)，即有所以當(dāng)時(shí)，原不等式也成立綜合可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立考點(diǎn)：1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；2構(gòu)造函數(shù)法證明不等式45. 【2012，安徽理21】數(shù)列滿足：（I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是（II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】（I）詳見解析；（II）當(dāng)時(shí)，數(shù)

8、列是單調(diào)遞增數(shù)列【解析】（I）必要條件：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列充分條件必要條件：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是 46. 【2012天津，理18】已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明Tn122an10bn(nN*)【答案】(1) an3n1，bn2n， (2) 詳見解析【解析】解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2

9、n，nN*(2)證明：(方法一)由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1由，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*(方法二：數(shù)學(xué)歸納法) 47. 【2013天津，理19】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值【答案】（）；（）最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為. (2)由(1

10、)得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1SnS1，故.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn1，故.綜上，對于nN*，總有.所以數(shù)列Tn最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為.48. 【2014天津，理19】已知和均為給定的大于1的自然數(shù)設(shè)集合，集合（）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（）設(shè)，其中證明：若，則【答案】（）；（）詳見試題分析試題解析：（）當(dāng)時(shí)，可得，（）由及，可得考點(diǎn)：1集合的含義與表示；2等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式；3不等式的證明49. 【2015高考天津，理18】（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求的值和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(I) ;

11、(II) .【解析】(I) 由已知，有，即 ,所以，又因?yàn)?，故，由，得，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的通項(xiàng)公式為【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和.50. 【2011天津，理20】已知數(shù)列與滿足：， ，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（III）設(shè)證明：【答案】（）；（）詳見解析；（）詳見解析【解析】（I）解：由 可得（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意51. 【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足：（）求

12、數(shù)列的通項(xiàng)公式（）若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的，且，是否成等差數(shù)列，并明你的結(jié)論。（）對于任意的，且，是否成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r=0時(shí)，由（），知，故對于任意的，且，7成等差數(shù)列； 52. 【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或. （）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列;當(dāng)時(shí)，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上，

13、53. .【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等比數(shù)列滿足：，.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由。 54. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.（2）當(dāng)時(shí)，顯然，不存在正整數(shù)，使得.當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去）考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公

14、式.55. 【2015高考湖北，理18】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為已知，（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【答案】（）或；（）.【解析】（）由題意有， 即解得 或 故或（）由，知，故，于是， . -可得，故. 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.56. 【2013上海,理23】(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分給定常數(shù)c0，定義函數(shù)f(x)2|xc4|xc|.數(shù)列a1，a2，a2，滿足an1f(an)，nN*.(1)若a1c2，求a2及a3；(2)求證：對任意nN*，a

15、n1anc；(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由【答案】(1) a22，a3c10 ;(2)參考解析; (3) c，)c8 (3)由(2)，結(jié)合c0，得an1an，即an為無窮遞增數(shù)列又an為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)nM時(shí)，anc，從而，an1f(an)anc8.由于an為等差數(shù)列，因此其公差dc8.若a1c4，則a2f(a1)a1c8，又a2a1da1c8，故a1c8a1c8，即a1c8，從而a20.當(dāng)n2時(shí)，由于an為遞增數(shù)列，故ana20c，所以，an1f(an)anc8，而a2a1c8，故當(dāng)a1c8時(shí)，an為無窮等差數(shù)

16、列，符合要求；若c4a1c，則a2f(a1)3a13c8，又a2a1da1c8，所以，3a13c8a1c8，得a1c，舍去；若a1c，則由ana1得到an1f(an)anc8，從而an為無窮等差數(shù)列，符合要求綜上，a1的取值集合為c，)c857. 【2012上海,理23】對于數(shù)集X1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，定義向量集Ya|a(s，t)，sX，tX若對任意a1Y，存在a2Y，使得a1a20，則稱X具有性質(zhì)P.例如1,1,2具有性質(zhì)P.(1)若x2，且1,1,2，x具有性質(zhì)P，求x的值； (2)若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)xn1時(shí)，x11;(3)若X具有性質(zhì)P，且x11，

17、x2q(q為常數(shù))，求有窮數(shù)列x1，x2，xn的通項(xiàng)公式 【答案】(1) 4;(2) 參考解析;(3) xkqk1 (3)解法一：猜測xiqi1，i1,2，n.記Ak1,1，x2，xk，k2,3，n.先證明：若Ak1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P.任取a1(s，t)，s，tAk，當(dāng)s，t中出現(xiàn)1時(shí)，顯然有a2滿足a1a20；當(dāng)s1且t1時(shí)，則s，t1.因?yàn)锳k1具有性質(zhì)P，所以有a2(s1，t1)，s1，t1Ak1，使得a1a20，從而s1和t1中有一個(gè)是1，不妨設(shè)s11.假設(shè)t1Ak1且t1Ak，則t1xk1.由(s，t)(1，xk1)0，得stxk1xk1，與sAk矛盾所以t1Ak，從而A

18、k也具有性質(zhì)P.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xiqi1，i1,2，n.當(dāng)n2時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)nk時(shí)， Ak1,1，x2，xk有性質(zhì)P，則xiqi1，i1,2，k；當(dāng)nk1時(shí)，若Ak11,1，x2，xk，xk1有性質(zhì)P，則Ak1,1，x2，xk也有性質(zhì)P,所以Ak11,1，q，qk1，xk1取a1(xk1，q)，并設(shè)a2(s，t)滿足a1a20.由此可得s1或t1.若t1，則xk1q，不可能；所以s1，xk1qtqk且xk1qk1，注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)為xkx1()k1qk1，k1，2，n.58. 【2011上海,理22】已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為an3n6，bn2n7(nN*)將集合x|xan，nN*x|xbn，nN*中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，cn，.(1)寫出c1，c2，c3，c4；(2)求證：在數(shù)列cn中，但不在數(shù)列bn中的項(xiàng)恰為a2，a4，a2n；(3)求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式【答案】(1) 9,11,12,13; (2)參考解析; (3)參考解析【解析】(1)它們是9,11,12,13. (2)證明：數(shù)列cn由an、bn的項(xiàng)構(gòu)成，只需討論數(shù)列an的項(xiàng)是否為數(shù)列bn的項(xiàng)對于任意nN*，a2n13(2n1)66n32(3n