1、圓錐曲線的綜合問題(文視情況知識(shí)能否憶起1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常是將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去變量y(或x)得關(guān)于變量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，可考慮一元二次方程的判別式，有：0直線與圓錐曲線相交；0直線與圓錐曲線相切；b0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值自主解答(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(

2、x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN| d.由，解得k1.由題悟法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，但對(duì)于選擇、填空題也可以利用幾何條件，用數(shù)形結(jié)合的方法求解以題試法1(2012信陽(yáng)模擬)設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A.B2,2C1,1 D4,4解析：選C易知拋物線y28x的準(zhǔn)線x2與x軸的交點(diǎn)為Q(2,0)，于是，可設(shè)過點(diǎn)Q(2,0)的直線l的方程為yk(x2)(由題

3、可知k是存在的)，聯(lián)立k2x2(4k28)x4k20.當(dāng)k0時(shí)，易知符合題意；當(dāng)k0時(shí)，其判別式為(4k28)216k464k2640，可解得1k1.最值與范圍問題典題導(dǎo)入例2(2012浙江高考)如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程自主解答(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(c,0)，則由題意得得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x0，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍

4、去故可設(shè)直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點(diǎn)為M.因?yàn)镸在直線OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此時(shí)方程為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|x1x2|，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d.設(shè)ABP的面積為S，則S|AB|d.其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，u(m)取到最大值故當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，S取到最大值綜上，所求直線l的方程為3x2y220

5、.由題悟法1解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法(1)若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法；(2)若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法2在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法

6、，確定參數(shù)的取值范圍以題試法2(2012東莞模擬)已知拋物線y22px(p0)上存在關(guān)于直線xy1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為()A.B.C. D.解析：選B設(shè)拋物線上關(guān)于直線xy1對(duì)稱的兩點(diǎn)是M(x1，y1)、N(x2，y2)，設(shè)直線MN的方程為yxb.將yxb代入拋物線方程，得x2(2b2p)xb20，則x1x22p2b，y1y2(x1x2)2b2p，則MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(pb，p)因?yàn)辄c(diǎn)P在直線xy1上，所以2pb1，即b2p1.又(2b2p)24b24p28bp0，將b2p1代入得4p28p(2p1)0，即3p22p0，解得0p.定點(diǎn)定值問題典題導(dǎo)入例3(2012遼寧高考)如

7、圖，橢圓C0：1(ab0，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓C1：x2y2t，bt1a.點(diǎn)A1，A2分別為C0的左，右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)(1)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)圓C2：x2y2t與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD與矩形ABCD的面積相等，證明：tt為定值自主解答(1)設(shè) A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，則直線A1A的方程為y(xa)，直線A2B的方程為y(xa)由得y2(x2a2)由點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓C0上，故1.從而yb2，代入得1(xa，y0)(2)證明：設(shè)A(x2，

8、y2)，由矩形ABCD與矩形ABCD的面積相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因?yàn)辄c(diǎn)A，A均在橢圓上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2，從而yyb2，因此tta2b2為定值由題悟法1求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出表達(dá)式，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值2定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為ykxb，然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系方程找出定點(diǎn)；(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明一般情況以題試法3(2012山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知拋物

9、線y22px(p0)及定點(diǎn)A(a，b)，B(a,0)，ab0，b22pa，M是拋物線上的點(diǎn)設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1，M2，當(dāng)M變動(dòng)時(shí)，直線M1M2恒過一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：設(shè)M，M1，M2，由點(diǎn)A，M，M1共線可知，得y1，同理由點(diǎn)B，M，M2共線得y2.設(shè)(x，y)是直線M1M2上的點(diǎn)，則，即y1y2y(y1y2)2px，又y1，y2，則(2pxby)y022pb(ax)y02pa(by2pa)0.當(dāng)xa，y時(shí)上式恒成立，即定點(diǎn)為.答案：1已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則,的最小值為()A2BC1 D0解析：選A設(shè)點(diǎn)P(x，

10、y)，其中x1.依題意得A1(1,0)，F(xiàn)2(2,0)，由雙曲線方程得y23(x21),(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x2y2x2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，當(dāng)x1時(shí)，,取得最小值2.2過拋物線y22x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A有且只有一條 B有且只有兩條C有且只有三條 D有且只有四條解析：選B設(shè)該拋物線焦點(diǎn)為F，則|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合條件的直線有且僅有兩條3(2012南昌聯(lián)考)過雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線，分別與雙曲線、雙曲線的漸近線交于點(diǎn)

11、M、N(均在第一象限內(nèi))，若,4,，則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.解析：選B由題意知F(c,0)，則易得M，N的縱坐標(biāo)分別為，由,4,得4，即.又c2a2b2，則e.4已知橢圓1的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，如果橢圓上一點(diǎn)P滿足PF1PF2，則下面結(jié)論正確的是()AP點(diǎn)有兩個(gè) BP點(diǎn)有四個(gè)CP點(diǎn)不一定存在 DP點(diǎn)一定不存在解析：選D設(shè)橢圓的基本量為a，b，c，則a5，b4，c3.以F1F2為直徑構(gòu)造圓，可知圓的半徑rc34b，即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)5已知橢圓C：y21的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)滿足y1，則|PF1|PF2|的取值范圍為_解析：當(dāng)P在原點(diǎn)處時(shí)，|PF1|PF2|取

12、得最小值2；當(dāng)P在橢圓上時(shí)，|PF1|PF2|取得最大值2，故|PF1|PF2|的取值范圍為2,2 答案：2,2 6(2013長(zhǎng)沙月考)直線l：xy0與橢圓y21相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則ABC面積的最大值為_解析：由得3x22，x，A，B，|AB|.設(shè)點(diǎn)C(cos ，sin )，則點(diǎn)C到AB的距離dsin()，SABC|AB|d.答案：7設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0bb0)，點(diǎn)P在橢圓上(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|AO|，求直線OQ的斜率的值解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故1，可得.于是e21，所以橢圓的離心率e

13、.(2)設(shè)直線OQ的斜率為k，則其方程為ykx，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)由條件得消去y0并整理得x.由|AQ|AO|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00，而x00，故x0，代入，整理得(1k2)24k24.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直線OQ的斜率k.20(12分)(2012河南模擬)已知橢圓1(ab0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0,1)，直線l：ykx與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若|AB|，求k的值；(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.解：(1)由題意知，b1.由a2

14、b2c2可得cb1，a，橢圓的方程為y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AB|x1x2|，化簡(jiǎn)得23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2),(x1，y11)，,(x2，y21)，,x1x2(y11)(y21)，(1k2)x1x2k(x1x2)0.不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.21 (2012廣州模擬)設(shè)橢圓M：1(a)的右焦點(diǎn)為F1，直線l：x與x軸交于點(diǎn)A，若,2,0(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求橢圓M的方程；(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2

15、(y2)21的任意一條直徑(E，F(xiàn)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，求,的最大值解：(1)由題設(shè)知，A，F(xiàn)1(，0)，由,2,0，得2，解得a26.所以橢圓M的方程為1.(2)設(shè)圓N：x2(y2)21的圓心為N，則,(,)(,)(,)(,),2,2,21.從而將求,的最大值轉(zhuǎn)化為求NP,2的最大值因?yàn)镻是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，所以1，即x63y.因?yàn)辄c(diǎn)N(0,2)，所以,2x(y02)22(y01)212.因?yàn)閥0， ，所以當(dāng)y01時(shí)，,2取得最大值12.所以,的最大值為11.22 (2012湖北模擬)如圖，曲線C1是以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分曲線C2是以O(shè)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的交點(diǎn)且AF2F1為鈍角，若|AF1|，|AF2|.(1)求曲線C1和C2的方程；(2)設(shè)點(diǎn)C是C2上一點(diǎn)，若|CF1| |CF2|，求CF1F2的面積解：(1)設(shè)橢圓方程為1(ab0)，則2a|AF1|AF2|6，得a3.設(shè)A(x，y)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則(xc)2y22，(xc)2y22，兩式相減得xc.由拋物線的定義可知|AF2|xc，則c1，x或x1，c.又AF2F