1、.,1,數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化 歷史上的三次數(shù)學(xué)危機,.,2,第六講 歷史上的三次數(shù)學(xué)危機,前言 一、第一次數(shù)學(xué)危機 1、危機的起因 2、危機的實質(zhì) 3、危機的解決 二、第二次數(shù)學(xué)危機 1、危機的引發(fā) 2、危機的實質(zhì) 3、危機的解決 三、第三次數(shù)學(xué)危機 1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光集合論 2算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 3 羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機 4 危機的消除 四、 三次數(shù)學(xué)危機與“無窮”的聯(lián)系,.,3,前 言 歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機。危機也意味著挑戰(zhàn)，危機的解決就意味著進步。所以，危機往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機。每一次數(shù)學(xué)危機，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)

2、疑。實際上，也恰恰是這三次危機，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。,.,4,一. 第一次數(shù)學(xué)危機,1.危機的起因： 第一次數(shù)學(xué)危機是由 不 能寫成兩個整數(shù)之比引發(fā)的。,畢達哥拉斯（約公元前580-前500） 古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,.,5,1.這一危機發(fā)生在公元前5世紀，危機 來源于：當(dāng)時認為所有的數(shù)都能表示為整 數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。第一次數(shù)學(xué)危機是由畢達哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的. 2. 危機的實質(zhì)： 是無理數(shù)，全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴充，需要添加無理數(shù).,.,6,當(dāng)時古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“

3、兩個量之比”的新說法，回避了 是無理數(shù)的實質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采用了這一說法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。,.,7,3. 危機的解決 但是徹底解決這一危機是在19世紀，依賴于數(shù)系的擴張。直到人類認識了實數(shù)系，這次危機才算徹底解決，這已經(jīng)是兩千多年以后的事情了。,.,8,二. 第二次數(shù)學(xué)危機,第二次數(shù)學(xué)危機發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀。第一次數(shù)學(xué)危機是由畢達哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓 “無窮小量”說法的質(zhì)

4、疑引起的。,.,9,1危機的引發(fā) 1）牛頓的“無窮小” 牛頓的微積分是一項劃時代的科學(xué)成就，蘊含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。 微積分的一個來源，是想求運動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前，只能求一段時間內(nèi)的平均速度，無法求某一時刻的瞬時速度。,.,10,例如，設(shè)自由落體在時間 下落的距離為 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時速度，先求 。 （*）,.,11,當(dāng) 變成無窮小時，右端的 也變成無窮小，因而上式右端就可以認為是 ，這就是物體在 時的瞬時速度，它是兩個無窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題。但是邏

5、輯上不嚴格，遭到責(zé)難。,.,12,2）貝克萊的發(fā)難 英國的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。 貝克萊問道：“無窮小”作為一個量，究竟是不是0？,.,13,如果是0，上式左端當(dāng) 成無窮小后分母為0，就沒有意義了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。,在推出上式時，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 為前提的。那么，為什么又可以讓 而求得瞬時速度呢？,因此，牛頓的這一套運算方法，就如同從 出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。,（*）,.,14,貝克萊還諷刺挖苦說：即然 和 都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 這就是著名的“貝

6、克萊悖論”。 對牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是，,.,15,貝克萊的質(zhì)問是擊中要害的,數(shù)學(xué)家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。 直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。 直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“ ”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。,.,16,3）實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準 應(yīng)當(dāng)承認，貝克萊的責(zé)難是有道理的?！盁o窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時的其他數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴格說清“無窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以

7、，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準。”,.,17,2危機的實質(zhì) 第一次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)是 “ 不是有理數(shù)，而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。,.,18,其實，在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間之比”的時候，這種說法本身就是不明確的，是含糊的。 當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時的比例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。,.,19,他這里雖然提出和使用

8、了“極限”這個詞，但并沒有明確說清這個詞的意思。 德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。 正因為如此，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。,.,20,所以，由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機，實質(zhì)上是缺少嚴密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。,.,21,牛頓 （英，1642-1727）,萊布尼茨 （德，1646-1716）,.,22,3危機的解決 1）必要性 微積分雖然在發(fā)展，但微積分的邏輯基礎(chǔ)上存在的問題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。,.,23,而且，隨著時間的推移，研究范圍的擴大，類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無窮級數(shù)的時候

9、，做出許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結(jié)論。由于沒有嚴格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間任意通行（不考慮無窮級數(shù)收斂的問題）。,.,24,因此，進入19世紀時，一方面微積分 取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方面, 大量的數(shù)學(xué)理論沒有正確、牢固的邏輯基 礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無誤的。 歷史要求為微積分學(xué)說奠基。,.,25,2）嚴格的極限理論的建立 到19世紀，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、 天才的工作，終于逐步建立了嚴格的極限 理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。 應(yīng)該指出，嚴格的極限理論的建立是 逐步的、漫長的。,.,26, 在18世紀時，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。

10、達朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。 19世紀初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開始將嚴格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的無窮的悖論一書中包含許多真知灼見。,.,27, 而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年間出版的分析教程和無窮小計算講義是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。,.,28,柯西 （法，1789-1857）,波爾查諾（捷，1781-1848）,.,

11、29,3）嚴格的實數(shù)理論的建立 對以往理論的再認識 后來的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認識到，極限理論的進一步嚴格化，需要實數(shù)理論的嚴格化。微積分或者說數(shù)學(xué)分析，是在實數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。,.,30,一件事是，1874年德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）構(gòu)造了一個 “點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”。 “連續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒有間斷，連在一起”，而“函數(shù)在一點可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。 這之前甚至有人還證明過：函

12、數(shù)在連續(xù)點上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯誤的）。因此根本不可想象，還會有“點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”。,.,31,魏爾斯特拉斯 德意志帝國數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。18421856年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得哥尼斯堡大學(xué)名譽博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。,魏爾斯特拉斯 (德，18151897),.,32,魏爾斯特拉斯 關(guān)于 “點點連續(xù)而點點不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是 其中 是奇數(shù)， ， 使 。,.,33,

13、另一件事是德國數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann，18261866）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。,.,34,黎曼還造出一個函數(shù)，當(dāng)自變量取無理數(shù)時它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時它是不連續(xù)的。,.,35,黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德國北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開始上學(xué)，14歲進入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)， 1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。,黎曼（德，1

14、826-1866）,.,36,這些例子使數(shù)學(xué)家們越來越明 白，在為分析建立一個完善的基礎(chǔ) 方面，還需要再前進一步：即需要 理解和闡明實數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。,.,37, 魏爾斯特拉斯的貢獻 德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，18151897）的努力，終于使 分析學(xué)從完全依靠運動學(xué)、直觀理解和幾何概 念中解放出來。他的成功產(chǎn)生了深遠的影響， 主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實數(shù)系， 另一方面是創(chuàng)造了精確的“ ”語言。,.,38,“ ”語言的成功，表現(xiàn)在： 這一語言給出極限的準確描述，消除 了歷史上各種模糊的用語，諸如“最終 比”、“無限地趨近于”，等等。 這樣一來，分析中的

15、所有基本概念都 可以通過實數(shù)和它們的基本運算和關(guān)系精 確地表述出來。,.,39,4）極限的“ ”定義及“貝克萊悖 論” 的消除 極限的“ ”定義,.,40,定義：設(shè)函數(shù) 在 的附近都有定 義，如果有一個確定的實數(shù) （無論多 么小的正數(shù) ）。 都 （都能找到一個正數(shù) ，依賴 于 ），使當(dāng) 時（滿足不等式 的所有不等于 的 ），有 （這些 對應(yīng)的函數(shù)值 與 的差小于預(yù)先給定的任意小的 ）我們就 說“函數(shù) 在 趨近于 時，有極限 ” 。 記為 。,.,41,由極限的這個 “ ”定義，可以求 出一些基本的極限，并嚴格地建立一整套 豐富的極限理論。簡單說，例如有 兩個相等的函數(shù)，取極限后仍相等； 兩個函

16、數(shù)，代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和。 等等。 由此再建立嚴格的微積分理論。,.,42, “貝克萊悖論”的消除 回到牛頓的（*）式上： （*） 這是在 （即 ）條件下，得到的等式；它表明 時間內(nèi)物體的平均速度為 。（*）式兩邊都是 t 的函數(shù)。然后，我們把物體在 時刻的瞬時速度定義為：上述平均速度當(dāng) 趨于0時的極限，即 物體在 時刻的瞬時速度= 。,.,43,下邊我們對（*）式的等號兩邊同時取 極限 ，根據(jù)“兩個相等的函數(shù)取極 限后仍相等”，得 瞬時速度= 再根據(jù)“兩個函數(shù)和的極限等于極限的 和”，得 然后再求極限得,.,44,上述過程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論 是一樣的，但每一步都有了嚴格的邏輯基

17、 礎(chǔ)?！柏惪巳R悖論”的焦點“無窮小量 是 不是0？”，在這里給出了明確的回答： 。 這里也沒有“最終比”或“無限趨近于” 那樣含糊不清的說法。,.,45,總之，第二次數(shù)學(xué)危機的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻在于，邏輯地構(gòu)造了實數(shù)系，建立了嚴格的實數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立數(shù)學(xué)分析（或者說微積分）基礎(chǔ)的“邏輯順序”是： 實數(shù)理論極限理論微積分。 而“歷史順序”則正好相反。,.,46,知識的邏輯順序與歷史順序 有時是不同的.,.,47,三、第三次數(shù)學(xué)危機,1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光集合論 到19世紀，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何

18、的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時，19世紀末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。,.,48,其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分數(shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。同時，用集合論的語言，算術(shù)的對象可說成是“以整數(shù)、分數(shù)等組成的集合”；微積分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的集合”；幾何的對象可說成是“以點、線、面等組成的集合”。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更基本的概念。,.,

19、49,于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓嚎赡軙粍谟酪莸財[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認為這只是時間問題。龐加萊（ (Jules Henri Poincar，法，1854-1912 ）甚至在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴格性已經(jīng)達到了！”,.,50,2算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 1）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基 礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負整數(shù)，即自然數(shù) 集合加上0現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合 稱為自然數(shù)集合。 （算術(shù)）非負整數(shù)n有理數(shù) 實數(shù) 復(fù)數(shù) 圖形,.,51,因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負整數(shù)了，或者說，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)

20、了。 這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于解決了整個“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問題。 法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格 （G.Frege,18481925）就做了這樣的工作。他寫了一本名叫算術(shù)基礎(chǔ)的書。,.,52,弗雷格（法,18481925）,算術(shù)基礎(chǔ),.,53,2) 弗雷格的算術(shù)基礎(chǔ) 為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有 的非負整數(shù)，都需要用集合論的觀點和語言 重新定義。 首先從0說起。0是什么？ 應(yīng)當(dāng)先回答0是什么，然后才有表示“0”的符號。,.,54,為此，先定義“空集”。空集是“不含元 素的集合”。例如，“ 方程 在實 數(shù)集中的根的集合 ”就是一個空集，再例 如“由最大的正整數(shù)組成的集

21、合”也是一個 空集。,.,55,所有的空集放在一起，作成一個集合的集合，（為說話簡單我們把“集合的集合”稱作類），這個類，就可以給它一個符號：0，中國人念“l(fā)ing”，英國人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個元素了，即，0是一個元素了。由它再作成一個集合0，則不是空集了。,.,56,弗雷格再定義兩個集合間的雙射：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個集合間來回地映射，所以一般稱為“雙射”。 弗雷格再定義兩個集合的“等價”： ， 能夠在其間建立雙射的兩個集合A、B稱為“等價”。,.,57,下邊可以定義“1”了。把

22、與集合0等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就可以給它一個符號：1。 再定義“2”。把與集合0，1等價的所有集合放在一起，作成一個集合的集合。這個類，就叫：2。 然后，把與0，1，2等價的集合作成的類，叫：3。,.,58,一般地，在有了0，1，2，n的 定義后，就把所有與集合0，1，2， n等價的集合放在一起，作成集合的集 合，這樣的類，定義為：n+1。 這種定義概念的方法，叫作“歸納定 義”的方法。,.,59,這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅 用到集合及集合等價的概念，把全部非負 整數(shù)定義出來了。于是根據(jù)上邊說的“可 以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負整數(shù)”，就可以 說，全部數(shù)學(xué)可以建立

23、在集合論的基礎(chǔ)上 了。,.,60,3 羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機 1） 悖論引起震憾和危機 正當(dāng)弗雷格即將出版他的算術(shù)基 礎(chǔ)一書的時候，羅素的集合論悖論出來 了。這也是龐加萊宣布“完全嚴格的數(shù)學(xué) 已經(jīng)建立起來！”之后剛剛兩年，即1902 年。,.,61,伯特蘭羅素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell) 學(xué)科成就：英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要創(chuàng)始人，世界和平運動的倡導(dǎo)者和組織者。 所獲獎項：1950年諾貝爾文學(xué)獎。 頒獎詞：當(dāng)代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無畏斗

24、士。,羅素（英，1872-1970）,.,62,集合論中居然有邏輯上的矛盾！ 傾刻之間，算術(shù)的基礎(chǔ)動搖了，整個 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)似乎也動搖了。這一動搖所帶 來的震憾是空前的。許多原先為集合論興 高采烈的數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學(xué)就 是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？ 羅素悖論引發(fā)的危機，就稱為第三次 數(shù)學(xué)危機。,.,63,羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫信告訴弗雷 格。弗雷格在他的算術(shù)基礎(chǔ)一書的末 尾無可奈何地寫道：“一個科學(xué)家遇到的 最不愉快的事莫過于，當(dāng)他的工作完成 時，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時，羅 素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境 地?！?.,64,2） 羅素悖論 在敘述羅素悖論之前,我們先注意到 下邊的

25、事實：一個集合或者是它本身的成 員(元素),或者不是它本身的成員(元素)， 兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集 合”，把后者稱為“正常集合”。,.,65,例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。,.,66,羅素當(dāng)年的例子,“異常集合” 1： 不多于29個字母表達的句子所構(gòu)成的集合 （這一集合的定義是

26、“不多于29個字母表達的句子”，它是這一集合本身的成員） “異常集合” 2： 不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合 （“不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合”肯定不是麻雀，所以它是這一集合本身的成員）,.,67,羅素悖論是：以 表示“是其本身成員的 所有集合的集合”（所有異常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成員的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者屬于 ，或者屬于 ，兩者必居其一，且 只居其一。然后問：集合 是否是它本身的 成員？（集合 是否是異常集合？）,.,68,如果 是它本身的成員，則按 及 的定 義， 是 的成員，而不是 的成員，即 不 是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即 如果

27、 不是它本身的成員，則按 及 的定義， 是 的成員，而不是 的成員，即 是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即 悖論在于：無論哪一種情況，都得出矛盾。,.,69,羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論”：某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。,.,70,4 危機的消除 危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。,.,71,這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。 羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征（悖論的實質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。 例如