1、2009年4月,.,1,第1節(jié) n維歐氏空間Rn中的點集的初步知識,n維歐氏空間 n維歐氏空間中點列的極限與完備性 n維歐氏空間的各類點集：開集、閉集、區(qū)域,2009年4月,.,2,本節(jié)將研究一種特殊的集合n維歐氏空間中的點集。 向量空間往往成為數(shù)學研究的載體和對象。 分析學科所關心的空間的結構包括度量、范數(shù)、開集、閉集等。 本節(jié)的主要內(nèi)容為n維歐氏空間中的各類點集，這將為我們研究新的積分奠定基礎。,2009年4月,.,3,1. n維Euclid歐氏空間,See P.2,2009年4月,.,4,定義距離,2009年4月,.,5,定義(鄰域)：,向量空間Rn中所有和定點a的距離小,于定數(shù)d的點的

2、全體,即集合,稱為點a的d鄰域,記作,顯然，在R1, R2, R3 , U(a,d)分別是以a為中心以d為半徑的開區(qū)間、開圓和開球.,鄰域具有如下的基本性質：,(1),(2) 對于P的兩個鄰域,存在鄰域,(3) 對于,存在Q的鄰域,(4) 對于,存在P和Q的鄰域,使得,2. Rn中點列的極限,2009年4月,.,6,點列的極限,(I) e-N式定義：,(II) 鄰域式定義：,See P.2,定義1.1,2009年4月,.,7,定理1.1 n維歐氏空間點列的收斂是按坐標收斂.,See P.3定理1.1,2009年4月,.,8,例子,2009年4月,.,9,性質：,1. 點列的極限是唯一的；,3.

3、 點列的收斂滿足線性性；,See P.3定理1.2,收斂點列必為有界點集,2009年4月,.,10,6. n維歐氏空間中的收斂點列等價于Rn中Cauchy點列,See P.3 定理1.4,See P.3 定理1.3,5.n維歐氏空間的有界點列必有收斂的子（點）列.,Bolzano-Weierstrass定理,定義 如果對n維歐氏空間中的點列,2009年4月,.,11,點集的直徑：,一個非空點集A的直徑定義為,有界點集：,一個非空點集A稱為有界集合，若,直徑及有界點集,點集的距離,兩個非空點集A, B的距離定義為,注：若A=P*，即A為單點集，則可記,2009年4月,.,12,歐氏空間中點集的一

4、些基本概念區(qū)間,若將其中的不等式全部換成,則上述點集分別稱為閉區(qū)間、左開右閉區(qū)間、,左閉右開區(qū)間，統(tǒng)稱為區(qū)間，記作I。,稱為I的第i個邊長；,稱為I的體積，記作|I|.,2009年4月,.,13,3. 歐氏空間中的各類點集,考慮向量空間Rn中的點與給定點集之間的關系。 設A為Rn中的一個點集，a為Rn中的點，則a和A的關系具有如下幾種：,(1) a附近全是A的點，即存在a的某鄰域,此時,稱a為A的內(nèi)點；,(2) a附近全不是A的點，即存在a的某鄰域,此時稱a為A的外點；,(3) a附近既有A的點，又有不屬于A的點，即對a的任意鄰域U(a),此時稱a為A的邊界點，簡稱界點；,2009年4月,.,

5、14,(4) a附近有A的無窮多個點，即對a的任意鄰域U(a),為無限集合，,此時稱a為A的聚點；,(5) a附近除a外沒有A的點，即存在a的鄰域U(a),此時稱a為A的孤立點。,2009年4月,.,15,點與點集間的關系,顯然，空間中任意的點a是且只能是上述(1)(2)(3)中的一個，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一個，即,(1) 內(nèi)點一定是聚點，外點一定不是聚點；,(2) 聚點可以是內(nèi)點，也可以是界點，但不能是外點；,(3) 孤立點一定不是聚點、內(nèi)點或外點，一定是界點；,(4) A中的點要么是聚點，要么是孤立點；,(5) 界點要么是聚點，要么是孤立點。,2009年4月,.,16,

6、聚點,關于聚點，下面三條是等價的： a是A的聚點； a的任意鄰域內(nèi)，至少含有一個屬于A而異于a點； 存在A中互異的點所成的點列,See P.4定義1.2,2009年4月,.,17,內(nèi)部、邊界、外部、導集、閉包,定義：(1) A的全體內(nèi)點所成的集合，稱為A的內(nèi)部，記作,(3) A的全體外點所成的集合，稱為A的外部，記作,(2) A的全體邊界點所成的集合，稱為A的邊界，記作,2009年4月,.,18,(5) A與A的導集的并集，稱為A的閉包，記作,閉包是一個非常重要的概念，我們有如下結論：,這樣可知：,See P.4定義1.2,See P.6例1.1-1.2,(4) A的全體聚點所成的集合，稱為A

7、的導集，記作,2009年4月,.,19,開集和閉集,定義：若集合A的每一點都是A的內(nèi)點，則稱A為開集； 若集合A的每一個聚點都屬于A，則稱A為閉集.,開集和閉集是最重要的兩類點集，它們具有以下的性質：,(1) 對任意的點集A，,(2) 點集A是開集當且僅當,A是閉集當且僅當,(3),See P.6定義1.5,2009年4月,.,20,(4) 若A為開集，則A的余集為閉集，若A為閉集， 則A的余集為開集；,(5) 任意多個開集的并集以及有限多個開集的交集仍為開集；任意多個閉集的交集以及有限多個閉集的并集仍為閉集；,(6) 對于任意兩個互不相交的閉集，一定存在兩個互不相交的開集分別包含這兩個閉集。

8、,See P.7定理1.6,See P.8定理1.7,2009年4月,.,21,Rn中的有界集和緊集,See P.9定義1.6,定義(連通集),2009年4月,.,22,開域、閉域、區(qū)域,開域若非空開集 A 具有連通性, 即 A中任意兩,點之間都可用一條完全含于A的有限折線相連接,則稱 A 為開域. 簡單地說, 開域就是非空連通開集.,閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域.,區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點所,成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域.,不難證明: 閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域.,See P.9定義1.7,2009年4月,.,23,凸區(qū)域 若區(qū)域 D 上任意兩點的連線都含于,D,

9、則稱 D 為凸區(qū)域 (如圖). 這就是說, 若 D 為,2009年4月,.,24,例1，在平面R2上,開區(qū)域,閉區(qū)域,2009年4月,.,25, 整個平面, 點集,是開集，,是最大的開域 ,也是最大的閉域；,但非區(qū)域 ., 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 MD 與某定點,A 的距離 AM K ,則稱 D 為有界域 ,界域 .,否則稱為無,2009年4月,.,26,例2 以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的?,(i) 既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是,“非空連通閉集”；,邊界后所得的是否為一開域, 即,通閉集. 但因它是第一和第三象限的集合 G 與其邊,開域, 故 S 不是閉域 (不符合閉域的定義).,2009年4月,.,27,(ii) 如圖所示,E 為一開域, 據(jù)定義 F 則為閉域；然而,(a)中的點集為 D; (b)中的點,顯然不符合它為閉域的定義.,由此又可見到:,2009年4月,.,28,復 習 思 考 題