1、復(fù)變函數(shù),工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),歷史發(fā)展,復(fù)變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉、達(dá)朗貝爾、拉普拉斯等都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。 十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)理論得到了全面發(fā)展，柯西、黎曼、維爾斯特拉斯等為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作。復(fù)變函數(shù)理論這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。 二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)理論又有了很大的進(jìn)展，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)理論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),內(nèi)容,復(fù)變函數(shù)論

2、主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),應(yīng)用,復(fù)變函數(shù)理論對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支的發(fā)展都很有影響，它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等多個(gè)學(xué)科。更重要的是，它在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，對(duì)它們的計(jì)算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就采用復(fù)變函數(shù)理論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),工程數(shù)學(xué),教師：孫永征,教學(xué)郵箱：cumtsyz,答疑地點(diǎn)：理

3、A326,時(shí)間：周三 7-8,參考書：復(fù)變函數(shù)（高等教育出版社）西安交通大學(xué) 編,feichengwurao(非誠勿擾),密 碼：,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),1 復(fù)數(shù)及其幾何表示,1. 復(fù)數(shù),定義,其中 i 稱為虛數(shù)單位，滿足,設(shè) x , y 為實(shí)數(shù)，稱形如,或,的表達(dá)式為復(fù)數(shù).,x , y 分別稱為復(fù)數(shù) z 的實(shí)部和虛部， 記作,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),(1) 當(dāng) 時(shí)， 稱為純虛數(shù);,(2) 當(dāng) 時(shí)， 視為實(shí)數(shù) ；,(3) 當(dāng) 時(shí)，稱 ；,(4) 設(shè),工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),2. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù),加減法,乘法,除法,運(yùn)算規(guī)律,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),共軛復(fù)數(shù),設(shè)復(fù)數(shù),稱復(fù)數(shù),

4、為 的共軛復(fù)數(shù)，,共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),記作,定義,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),x 軸,實(shí)軸,y 軸,虛軸,面,復(fù)平面，或 Z 平面,數(shù),點(diǎn),向量,3. 復(fù)平面,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),|z|=r,稱為 z 的輻角, 記作,輻角不確定.,當(dāng) 時(shí)，,實(shí)軸正向與向量 z,之間的夾角，,有無窮多個(gè)值，,其中僅有一個(gè)滿足：,即,向量 的長度稱為z 的?；蚪^對(duì)值,記作,模與輻角,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),輻角主值的確定,由于,所以,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),復(fù)數(shù)的其他表示,（三角表示）,（指數(shù)表示）,其中,歐拉公式：,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),4. 復(fù)球面,S,復(fù)球面,的四則運(yùn)算,（無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）,擴(kuò)充復(fù)平面,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),例1.,求復(fù)

5、數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、輻角主值和模.,解：,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),5. 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,定理1,1). 乘積與商,設(shè),兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們輻角的和.,則,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),定理二,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),2). 冪與根,棣莫弗( De Moivre )公式,n 個(gè)相同復(fù)數(shù) z 的乘積稱為z 的 n 次冪,冪,個(gè),若,則,如果定義,那么當(dāng) n 為負(fù)整數(shù)時(shí)式 (1),和式 (2) 也成立.,注：,記作 , 即,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),(棣莫弗公式),根,令,則 w 稱為z 的n

6、 次根,記作,(n為整數(shù)),即,若,亦即,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),所以,那么,幾何上, z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心, r1/n為半徑的的,圓內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),例2.,將下列復(fù)數(shù)冪的值.,解：,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),例3.,求下列根式的值.,解：,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),練習(xí)2 ：,練習(xí)1 ：,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),2 區(qū)域,1. 區(qū)域的概念,z0的去心鄰域.,滿足,滿足 的所有點(diǎn)的集合,稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域.,的 鄰域:,的 鄰域；,點(diǎn)的鄰域:,的點(diǎn)的集合, 稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域;,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),內(nèi)點(diǎn):,設(shè)G 為一平面點(diǎn)集, z0 為 G 中任意一點(diǎn).,z0 的一個(gè)

7、鄰域?qū)儆贕,開集:,如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn), 則稱G為 開集.,區(qū)域:,平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域, 如果它滿足下列條件:,1) D是一個(gè)開集;,2) D是連通的.,邊界點(diǎn):,設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,但P的任意小鄰域,D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.,如果點(diǎn)P不屬于D,稱P為D的邊界點(diǎn).,總包含D中的點(diǎn),如果存在,則稱 z0 為 G 的內(nèi)點(diǎn).,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),區(qū)域 D與它的邊界一起構(gòu)成 閉區(qū)域 或閉域,閉區(qū)域:,如果存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個(gè)點(diǎn) z 都滿足,記作 .,有界區(qū)域：,| z | M, 則稱 D 為有界的,否則稱為無界的.,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)，,2.

8、單連通域與多連通域,連續(xù)曲線:,其復(fù)數(shù)表示式為：,則稱這曲線為光滑的.,若在 上x (t)和y (t)都是連續(xù)的, 且,光滑曲線:,若曲線的參數(shù)方程,則稱其為連續(xù)曲線；,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),如果連續(xù)曲線,對(duì)于,則稱,為簡單曲線；,如果 C 又滿足,則稱之為,簡單閉曲線.,簡單曲線:,簡單、不閉,簡單、閉,不簡單、不閉,不簡單、閉,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),連通域：,單連通域,多連通域,復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡單,閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為單連通域；,如果不是單連通域, 就稱為多連通域.,一個(gè)區(qū)域,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),例1.,滿足下列條件的點(diǎn)集是什么？如果是區(qū)域，是

9、單連通還是多連通？,解：,是以點(diǎn) i 為圓心，半徑為 的圓盤，,是閉區(qū)域，單連通.,是橢圓周，不是區(qū)域.,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),是以直線,為左右底邊，,實(shí)軸為兩腰的梯形(不包括邊界)，,單連通區(qū)域.,直線,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),3 復(fù)變函數(shù)的定義、極限和連續(xù)性,1. 復(fù)變函數(shù)的定義,設(shè)G是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)于G中每一點(diǎn),按照一定的法則,都有復(fù)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，,則稱 w 是 z 的復(fù)變函數(shù), 記作,集合G稱為f(z)的定義集合, 對(duì)應(yīng)于G中所有z對(duì)應(yīng)的一切,w值所成的集合G*, 稱為函數(shù)值集合.,定義,由于,所以有,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),例1.,已知,解：,法1（代入法）,因?yàn)?所以,法2（拼湊法

10、）,將其寫成關(guān)于 的解析式.,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),2. 映射的概念,在幾何上函數(shù) w = f (z) 就可以看做是把 z 平面上的,一個(gè)點(diǎn)集G(定義集合)變到 w 平面上的一個(gè)點(diǎn)集G*(函數(shù),值集合)的映射(或變換).,w稱為 z 的象, 而z稱為w 的原象.,如函數(shù) ,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),例2.,解：,在映射 下，,求下列點(diǎn)集在 w 平面上的象.,設(shè),線段,雙曲線,則,故線段,映射為線段,設(shè),則,故,所以,為平行于 v 軸的直線.,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),3.復(fù)變函數(shù)的極限,定義,有定義,設(shè)函數(shù)w =f (z) 在 z0 的去心鄰域 內(nèi),有,成立。,則稱常數(shù) A 為 當(dāng) z 趨于 z0,時(shí)的極限

11、，記作,或記作當(dāng)z z0 時(shí), f (z)A.,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),定理一,定理二,如果,則,設(shè),則,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),4. 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性,定義,如果,則稱 f (z) 在 z0 處連續(xù).,如果 f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)處處連續(xù),定理三,充要條件是 u(x,y) 和 v(x,y) 在 (x0,y0) 處連續(xù).,定理四,(分母在z0不為零)在z0處連續(xù);,2)如果函數(shù)h =g(z)在z0處連續(xù), 函數(shù)w = f (h)在h0 = g(z0),連續(xù), 則復(fù)合函數(shù) w = f g(z) 在 z0 處連續(xù).,則稱 f (z) 在 D 內(nèi)連續(xù).,函數(shù) f (z) = u(x,y)+iv(x,y)

12、 在 z0 = x0+ iy0 處連續(xù)的,1) 在z0連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f (z)與g (z)的和, 差, 積, 商,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),推論,1）有理整函數(shù) (多項(xiàng)式),在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)；,2）有理分式函數(shù),其中 P(z) 和 Q(z) 都是多項(xiàng)式, 在復(fù)平面分母不為零的點(diǎn),連續(xù).,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),作業(yè),第1章習(xí)題（P12 ） 1. 1) 2. 4. 2) ， 3) 5. 6. 1) ， 2) 13.,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),Ch1 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),2. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算,加減法,乘法,1. 復(fù)數(shù)的表示,一、知識(shí)要點(diǎn),工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),乘冪,方根,除法,共軛,工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù),3. 區(qū)域,鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開集、區(qū)域、邊界、閉域.,4. 曲線,簡單曲線，連續(xù)曲線，光滑曲線,5. 復(fù)變函數(shù),函數(shù)極限，,函數(shù)連續(xù),1）有