1、第十八章第十八章勾股定理勾股定理 18181 1勾股定理（一）勾股定理（一） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定 理。 2培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。 3介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情， 促其勤奮學(xué)習(xí)。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。 2難點(diǎn)：勾股定理的證明。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析 例 1（補(bǔ)充）通過對(duì)定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā) 散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力；這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國古 代無名數(shù)學(xué)家之手。激

2、發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。 例 2 使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改 變。進(jìn)一步讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。 四、課堂引入四、課堂引入 目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了 許多信號(hào)， 如地球上人類的語言、 音樂、 各種圖形等。 我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議， 發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別 這種語言的。這個(gè)事實(shí)可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非 常了不起的成就。 讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊為 3cm 和 4cm 的直角ABC， 用刻度尺量出 AB 的長。 以上這個(gè)事實(shí)是我國古代 3

3、000 多年前有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)的， 他說： “把 一根直尺折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@ 句話意思是說一個(gè)直角三角形較短直角邊（勾）的長是3，長的直角邊（股）的 長是 4，那么斜邊（弦）的長是 5。 再畫一個(gè)兩直角邊為 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的長。 你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系， 52+122和132的關(guān)系， 即32+42=52， 52+122=132， 那么就有勾2+股2=弦2。 CD 對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？ 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分析 例 1（補(bǔ)充）已知：在ABC 中，C=90， A、B、C 的對(duì)邊為 a、b、

4、c。 求證：a2b2=c2。 分析：讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型，最好是有顏色 a b 的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利用面積相等進(jìn) c AB 行證明。 拼成如圖所示，其等量關(guān)系為：4S +S小正=S大正 1 4ab（ba）2=c2，化簡可證。 2 發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。 勾股定理的證明方法，達(dá) 300 余種。這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國古代 無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。 例 2 已知： 在ABC 中， C=90，A、B、C b aba 的對(duì)邊為 a、b、c。 c a a 求證：a2b2=c2。 a c b c 分析：左右兩邊的正方形邊 長相等，則兩

5、個(gè)正方形的面 c 積相等。 c bb bc a1 左邊 S=4abc2 2 ab a b 2右邊 S=（a+b） 左邊和右邊面積相等，即 1 4abc2=（a+b）2 2 化簡可證。 六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí) 1勾股定理的具體內(nèi)容 是：。 2如圖，直角ABC 的主要性質(zhì)是：C=90，（用幾何 A語言表示） 兩銳角之間的關(guān)系：； D 若 D 為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線； 若B=30，則B 的對(duì)邊和斜邊：； 三邊之間的關(guān)系：。 C 3 ABC 的三邊 a、 b、 c， 若滿足 b2= a2c2， 則=90； 若滿足 b2c2a2，則B 是角； 若滿足 b2c2a2， A D a 則B 是角。 4根據(jù)如

6、圖所示，利用面積法證明勾股定理。 b c E c a B 七、課后練習(xí)七、課后練習(xí) Cb 1已知在 RtABC 中，B=90，a、b、c 是ABC 的三邊， 則 c=。（已知 a、b，求 c） a=。（已知 b、c，求 a） b=。（已知 a、c，求 b） 2如下表，表中所給的每行的三個(gè)數(shù) a、b、c，有 abc，試根據(jù)表中已有 數(shù)的規(guī)律，寫出當(dāng) a=19 時(shí)，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代數(shù)式表示出來。 3、4、532+42=52 5、12、1352+122=132 7、24、2572+242=252 B 9、40、41 19，b、c 92+402=412 192+b2=c2 3

7、在ABC 中，BAC=120，AB=AC=10 3cm，一動(dòng)點(diǎn)P 從 B 向 C 以每 秒 2cm 的速度移動(dòng)，問當(dāng) P 點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，PA 與腰垂直。 4已知：如圖，在ABC 中，AB=AC，D 在 CB 的延長線上。 求證：AD2AB2=BDCD A 若 D 在 CB 上，結(jié)論如何，試證明你 的結(jié)論。 D BC 課后反思：課后反思： 八、參考答案八、參考答案 課堂練習(xí) 1略； 11 2A+B=90；CD=AB；AC=AB；AC2+BC2=AB2。 22 3B，鈍角，銳角； 1 4提示：因?yàn)镾 梯形ABCD = SABE+ SBCE+ SEDA，又因?yàn)镾梯形ACDG= （a+b） 2 2，

8、 11111 S BCE= SEDA= ab，S ABE= c2,（a+b）2=2abc2。 22222 課后練習(xí) 1c=b2a2；a=b2c2；b=c2a2 a 2b2 c2 a21a21 2；則 b=，c=；當(dāng) a=19 時(shí)，b=180，c=181。 22c b1 35 秒或 10 秒。 4提示：過 A 作 AEBC 于 E。 18181 1勾股定理（二）勾股定理（二） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算。 2樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：勾股定理的簡單計(jì)算。 2難點(diǎn)：勾股定理的靈活運(yùn)用。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析

9、 例 1（補(bǔ)充）使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形， 并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都 可以求出第三邊。并學(xué)會(huì)利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知兩邊求第三邊。 例 2（補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會(huì) 分類討論思想。 例 3（補(bǔ)充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要?jiǎng)?chuàng)造直角 三角形， 作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識(shí) 和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提高綜合能力。 四、課堂引入四、課堂引入 復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹觯?勾股定理的符號(hào)語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在 應(yīng)用。 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分

10、析 例 1（補(bǔ)充）在 RtABC，C=90 已知 a=b=5,求 c。 已知 a=1,c=2, 求 b。 已知 c=17,b=8, 求 a。 已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。 已知 b=15，A=30，求 a，c。 分析： 剛開始使用定理， 讓學(xué)生畫好圖形， 并標(biāo)好圖形， 理清邊之間的關(guān)系。 已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。已知斜邊和一直角邊，求另一直 角邊，用勾股定理的便形式。已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓 學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確 已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會(huì)見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)由角 轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化

11、思想。 例 2（補(bǔ)充）已知直角三角形的兩邊長分別為 5 和 12， C 求第三邊。 分析：已知兩邊中較大邊 12 可能是直角邊，也可能是斜邊， 因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)形計(jì)算。 讓學(xué)生知道考慮問題要全 面，體會(huì)分類討論思想。 例 3（補(bǔ)充）已知：如圖，等邊ABC 的邊長是 6cm。 B AD 求等邊ABC 的高。 求 S ABC 。 分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要 創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做 法。欲求高 CD，可將其置身于 RtADC 或 RtBDC 中， 但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD= 1 AB=3cm，則 2 此題

12、可解。 六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí) 1填空題 在 RtABC，C=90，a=8，b=15，則 c=。 在 RtABC，B=90，a=3，b=4，則 c=。 在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，則 a=，b=。 一 個(gè) 直 角 三 角 形 的 三 邊 為 三 個(gè) 連 續(xù) 偶 數(shù) ， 則 它 的 三 邊 長 分 別 為。 已知直角三角形的兩邊長分別為 3cm 和 5cm，則第三邊長 為。 已知等邊三角形的邊長為2cm，則它的高 為，面積為。 A 2 已知： 如圖， 在ABC 中， C=60， AB=4 3， AC=4，AD 是 BC 邊上的高，求 BC 的長。 3已知等腰三角形腰長是

13、 10，底邊長是 16，求這 CD 個(gè)等腰三角形的面積。 七、課后練習(xí)七、課后練習(xí) 1填空題 在 RtABC，C=90， 如果 a=7，c=25，則 b=。 如果A=30，a=4，則 b=。 如果A=45，a=3，則 c=。 如果 c=10，a-b=2，則 b=。 如果 a、b、c 是連續(xù)整數(shù)，則 a+b+c=。 A 如果 b=8，a：c=3：5，則 c=。 2已知：如圖，四邊形 ABCD 中，ADBC，AD DC， BABAC，B=60，CD=1cm，求 BC 的長。 課后反思：課后反思： 八、參考答案八、參考答案 B D C 課堂練習(xí) 117；7；6，8；6，8，10；4 或34；3，3；

14、 28；348。 課后練習(xí) 124；43；32；6；12；10；2 18181 1勾股定理（三）勾股定理（三） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1會(huì)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題。 2樹立數(shù)形結(jié)合的思想。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。 2難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析 例 1（教材 P74 頁探究 1）明確如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件 的轉(zhuǎn)化；學(xué)會(huì)如何利用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法解決實(shí)際問題。 例 2（教材 P75 頁探究 2）使學(xué)生進(jìn)一步熟練使用勾股定理， D 探究直角三角形三邊的關(guān)系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。 四、課堂引

15、入四、課堂引入 勾股定理在實(shí)際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。 勾股定理的 發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生活中的問題， 今天我們就來運(yùn)用勾股定理 解決一些問題，你可以嗎？試一試。 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分析 A 例 1（教材 P74 頁探究 1） 分析：在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門 框?yàn)殚L方形， 四個(gè)角都是直角。讓學(xué)生深入探討圖中有幾個(gè)直角三角形？圖中 標(biāo)字母的線段哪條最長？指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討 以何種方式通過？轉(zhuǎn)化為勾股定理的計(jì)算，采用多種方法。注意給學(xué)生小結(jié) 深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。 例 2（教材 P75 頁探究 2） A分析：在

16、AOB 中，已知 AB=3，AO=2.5，利用勾股定 C 理計(jì)算 OB。在 COD 中， 已知 CD=3， CO=2， 利用勾股定理計(jì)算 OD。 DOB 則 BD=ODOB，通過計(jì)算可知 BDAC。 進(jìn)一步讓學(xué)生探究 AC 和 BD 的關(guān)系，給 AC 不同的值，計(jì)算 BD。 六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí) 1小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著 45 度的坡路走了 500 米，看到了一 棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是米。 2如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是43米，則這兩株樹之間的垂直 距離是 2 3 3 C B 米，水平距離是米。 B C A 30C B A 2 題圖3 題圖4 題 圖 3如

17、圖，一根 12 米高的電線桿兩側(cè)各用 15 米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間 的距離是。 4如圖，原計(jì)劃從A 地經(jīng) C 地到 B 地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可 以打隧道由 A 地到 B 地直接修建，已知高速公路 一公里造價(jià)為 300 萬元，隧道總長為 2 公里，隧道 A 造價(jià)為 500 萬元，AC=80 公里，BC=60 公里，則 改建后可省工程費(fèi)用是多少？ 七、課后練習(xí)七、課后練習(xí) 1如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C BC 兩點(diǎn)，在江對(duì)岸取一點(diǎn) A，使 AC 垂直江岸，測得 BC=50 米， B=60，則江面的寬度為。 R 2有一個(gè)邊長為 1 米正方形的洞口，想用一個(gè)圓 形蓋去蓋

18、住這個(gè)洞口，則圓形蓋半徑至少為 米。 PQ 3 一根 32 厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在 P、Q 兩點(diǎn)，PQ=16 厘米，且 RPPQ，則 RQ= 厘米。 4如圖，鋼索斜拉大橋?yàn)榈妊切?，支?高 24 米，B=C=30，E、F 分別為 BD、 CD 中點(diǎn)，試求 B、C 兩點(diǎn)之間的距離，鋼索 BE AB 和 AE 的長度。 （精確到 1 米） 課后反思：課后反思： 八、參考答案：八、參考答案： A DF C 課堂練習(xí)： 1250 2；26，2 3； 318 米；411600； 課后練習(xí) 150 3米；2 2 ； 2 320；483 米，48 米，32 米； 18181 1勾股定理（四）

19、勾股定理（四） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1會(huì)用勾股定理解決較綜合的問題。 2樹立數(shù)形結(jié)合的思想。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。 2難點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析 例 1（補(bǔ)充）“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結(jié) 構(gòu)和圖形性質(zhì)，通過討論、計(jì)算等使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌 握的知識(shí)點(diǎn)有：3 個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式 BC2-BD2=AC2-AD2， 兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及 30或 45特殊角的特殊性質(zhì)等。 例 2（補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所求結(jié)論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當(dāng)輔助線 求出三角

20、形中的邊和角。 讓學(xué)生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直 角三角形的問題。使學(xué)生清楚作輔助線不能破壞已知角。 例 3（補(bǔ)充）讓學(xué)生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題 通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在 轉(zhuǎn)化的過程中注意條件的合理運(yùn)用。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn) 用，提高解題的綜合能力。 例 4（教材 P76 頁探究 3）讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無 理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的理論。 四、課堂引入四、課堂引入 復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分析 例 1

21、 （補(bǔ)充） 1 已知： 在 RtABC 中， C=90， CDBC 于 D， A=60， CD=3， 求線段 AB 的長。 分析：本題是“雙垂圖”的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，所以要求學(xué) 生對(duì)圖形及性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙 垂圖”需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有：3 個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股 C 2222定理及推導(dǎo)式 BC -BD =AC -AD ，兩對(duì)相等銳角，四對(duì) BDA 互余角，及 30或 45特殊角的特殊性質(zhì)等。 要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標(biāo)圖。引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求AB，可由 AB=BD+CD， 分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出 BD=3 和 AD=1。 或欲求

22、AB，可由AB AC2 BC2，分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊 角，求出 AC=2 和 BC=6。 例 2（補(bǔ)充）已知：如圖，ABC 中，AC=4， C B=45，A=60，根據(jù)題設(shè)可知什么？ 分析：由于本題中的ABC 不是直角三角形，所以根據(jù) 題設(shè)只能直接求得ACB=75。在學(xué)生充分思考和討 論后，發(fā)現(xiàn)添置 AB 邊上的高這條輔助線，就可以求得 AD，CD，BD，AB，BC 及 S ABC。讓學(xué)生充分討論還 B A D 可以作其它輔助線嗎？為什么？ 小結(jié)： 可見解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。并 指出如何作輔助線？ 解略。 例 3（補(bǔ)充）已知：如圖，B=D=90，

23、 A A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形 ABCD 的面積。 分析： 如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵， 可以連 D 結(jié) AC，或延長 AB、DC 交于 F，或延長 AD、BC 交于 E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù) E B C 本題給定的邊選第三種較為簡單。 教學(xué)中要逐層展示 給學(xué)生，讓學(xué)生深入體會(huì)。 解：延長 AD、BC 交于 E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=4 3。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=12=2 3。 11 S 四邊形ABCD=SABE-SCDE

24、= ABBE-CDDE=6 3 22 小結(jié)：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為 直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。 例 4（教材 P76 頁探究 3） 分析： 利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn) 與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的理論。 變式訓(xùn)練：在數(shù)軸上畫出表示3 1,2 2的點(diǎn)。 六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí) 1 ABC中， AB=AC=25cm， 高AD=20cm,則BC=， S ABC= 。 2ABC 中，若A=2B=3C，AC=2 3cm，則A=度， B=度,C=度，BC=，S A BC ABC =。 3 ABC 中， C=90 ，

25、 AB=4 ， BC=2 3， CD AB 于 D ， 則 AC=， CD=，BD=，AD=,S ABC =。 4已知：如圖，ABC中，AB=26 ，BC=25 ，AC=17 ， 求 S ABC 。 七、課后練習(xí)七、課后練習(xí) 1 在RtABC 中， C=90 ， CD BC 于D ， A=60 ， CD=3， AB=。 2在 RtABC中，C=90 ，S ABC =30，c=13，且 ab，則 a=， b=。 3 已知： 如圖， 在ABC中， B=30 ， C=45 ， A AC=2 2， 求（1）AB 的長；（2）S ABC 。 4在數(shù)軸上畫出表示5, 25的點(diǎn)。 課后反思：課后反思： 八、

26、參考答案：八、參考答案： 課堂練習(xí)： 130cm ，300cm2； 290，60，30，4，2 3； 32，3，3，1，2 3； 4作 BD AC 于 D ，設(shè) AD=x ，則 CD=17-x ，252-x2=262-（17-x）2，x=7， BD=24 ， 1 S ABC =AC BD=254 ； 2 課后練習(xí)： 14； 25，12； 3提示：作 AD BC 于 D ，AD=CD=2，AB=4 ，BD=2 3，BC=2+2 3，S BC ABC= =2+ 2 3； 4略。 18182 2勾股定理的逆定理（一）勾股定理的逆定理（一） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1體會(huì)勾股定理的逆定理得出過程，掌

27、握勾股定理的逆定理。 2探究勾股定理的逆定理的證明方法。 3理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理及證明。 2難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析 例 1（補(bǔ)充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。 例 2（P82 探究）通過讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否 重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，再通過探究理論證 明方法，使實(shí)踐上升到理論，提高學(xué)生的理性思維。 例 3（補(bǔ)充）使學(xué)生明確運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角 三角形的一般步驟：先判

28、斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計(jì)算出 a2+b2和 c2 的值。判斷 a2+b2和 c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不 是直角三角形。 四、課堂引入四、課堂引入 創(chuàng)設(shè)情境：怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形？ 怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對(duì) 比，從勾股定理的逆命題進(jìn)行猜想。 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分析 例 1（補(bǔ)充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。 如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)平方相等。 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。 直角三角形中 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 分析：每個(gè)命題都有逆

29、命題，說逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但 要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用。 理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真， 也可能一真一假，還可能都假。 解略。 AA1例 2（P82 探究）證明：如果三角形的三邊 c a b C a B1 b B C1 長 a，b，c 滿足 a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 分析：注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫已知求證。 如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形， 現(xiàn)在只知道若有一個(gè)角是直角的三角 形是直角三角形，從而將問題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角。 利用已知條件作一個(gè)直角三角形， 再證明和原三角形全等，使問

30、題得以解 決。 先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊 A1B1=c，則通 過三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等可證。 先讓學(xué)生動(dòng)手操作， 畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的 興趣和求知欲， 再探究理論證明方法。 充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力， 由實(shí)踐到理論學(xué)生更容易接受。 證明略。 例 3（補(bǔ)充）已知：在ABC 中，A、B、C 的對(duì)邊分別是 a、b、c， a=n21，b=2n，c=n21（n1） 求證：C=90。 分析： 運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步 驟： 先判斷那條邊最大。 分別用代數(shù)方法計(jì)算出 a2+b2和 c2的值。 判斷 a2+

31、b2 和 c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。 要證C=90，只要證ABC 是直角三角形，并且 c 邊最大。根據(jù)勾股 定理的逆定理只要證明 a2+b2=c2即可。 由于 a2+b2= （n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n2 1，從而 a2+b2=c2，故命題獲證。 六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí) 1判斷題。 在一個(gè)三角形中， 如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對(duì) 的角是直角。 命題：“在一個(gè)三角形中，有一個(gè)角是 30，那么它所對(duì)的邊是另一邊 的一半。”的逆命題是真命題。 勾股定理的逆定理是： 如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平

32、方，那么這 個(gè)三角形是直角三角形。 ABC 的三邊之比是 1：1：2，則ABC 是直角三角形。 2ABC 中A、B、C 的對(duì)邊分別是 a、b、c，下列命題中的假命題是 （） A如果CB=A，則ABC 是直角三角形。 B如果 c2= b2a2，則ABC 是直角三角形，且C=90。 C如果（ca）（ca）=b2，則ABC 是直角三角形。 D如果A：B：C=5：2：3，則ABC 是直角三角形。 3下列四條線段不能組成直角三角形的是（） Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2 Da：b：c=2：3：4 4已知：在ABC 中，A、B、C 的對(duì)邊分別是 a、b

33、、c，分別為下列 長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？ a=3，b=2 2，c=5；a=5，b=7，c=9； a=2，b=3，c=7；a=5，b=2 6，c=1。 七、課后練習(xí)，七、課后練習(xí)， 1敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。 如果 a30，那么 a20； 如果三角形有一個(gè)角小于 90，那么這個(gè)三角形是銳角三角形； 如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等； 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩條線段一定相等。 2填空題。 任何一個(gè)命題都有，但任何一個(gè)定理未必都有。 “兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?！钡哪娑ɡ硎恰?在ABC 中，若 a2=b2c2，則ABC 是三角形，是 直角；

34、若 a2b2c2，則B 是。 若在ABC 中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，則ABC 是三 角形。 1 1 1 3若三角形的三邊是1、3、2；,；32，42，529， 3 4 5 40，41； （mn）21，2（mn），（mn）21；則構(gòu)成的是直角三角形的 有（） A2 個(gè)B個(gè)個(gè)個(gè) 4已知：在ABC 中，A、B、C 的對(duì)邊分別是 a、b、c，分別為下 列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？ a=9，b=41，c=40；a=15，b=16，c=6； a=2，b=2 3，c=4；a=5k，b=12k，c=13k（k0）。 課后反思：課后反思： 八、參考答案：八、參

35、考答案： 課堂練習(xí)： 1對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)，對(duì)；2D； 3D；4是，B；不是；是，C； 是，A。 課后練習(xí)： 1如果 a20，那么 a30；假命題。 如果三角形是銳角三角形，那么有一個(gè)角是銳角；真命題。 如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假命題。 兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對(duì)稱；假命題。 2逆命題，逆定理；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；直角， B，鈍角； 直角。 3B4是，B；不是，；是，C；是，C。 18182 2勾股定理的逆定理（二）勾股定理的逆定理（二） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。 2進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。 二、重點(diǎn)、難

36、點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。 2難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析 例 1（P83 例 2）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。 例 2（補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的 逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。 四、課堂引入四、課堂引入 N 創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從 R S而使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。 Q 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分析 E 例 1（P83 例 2） P 分析：了解方位角，及方位名詞； 依題意畫出圖形； 依題意可得 PR=121.5=18，P

37、Q=161.5=24，QR=30； 因?yàn)?242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理 的逆定理，知 QPR=90； PRS=QPR-QPS=45。 小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。 例 2（補(bǔ)充）一根 30 米長的細(xì)繩折成 3 段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊 的長度比較短邊長 7 米，比較長邊短 1 米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。 分析：若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長； 設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長 5、12、13； 根據(jù)勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形為直角三角形。 解略。 六、課堂練習(xí)六、課堂練習(xí) C BD

38、A 1小強(qiáng)在操場上向東走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小強(qiáng)在 操場上向東走了 80m 后，又走 60m 的方向是。 2如圖，在操場上豎直立著一根長為 2 米的測影竿，早晨測得它的影長為 4 米，中午測得它的影長為 1 米，則 A、B、C 三點(diǎn)能 N 否構(gòu)成直角三角形？為什么？ C 3如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入 我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距 13 海里的 A、B 兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá) E C 地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行 120 海里， BA 乙巡邏艇每小時(shí)航行 50 海里，航向?yàn)楸逼?40， 問：甲巡邏艇的航向？ 七、

39、課后練習(xí)七、課后練習(xí) 1一根 24 米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角 A 形，則三邊長分別為，此三角形的形狀 為。 2一根 12 米的電線桿 AB，用鐵絲 AC、AD 固定， 現(xiàn)已知用去鐵絲 AC=15 米，AD=13 米，又測得地面上 B、 C 兩點(diǎn)之間距離是 9 米， B、 D 兩點(diǎn)之間距離是 5 米， BC則電線桿和地面是否垂直，為什么？ D 3如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土 D C 地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積， 以便計(jì)算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4 B 米， BC=3米， CD=13米， DA=12米， 又已知B=90。 A 課后反思：課后反

40、思： 八、參考答案：八、參考答案： 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 1向正南或正北。 2 能， 因?yàn)?BC2=BD2+CD2=20， AC2=AD2+CD2=5， AB2=25， 所以 BC2+AC2= AB2； 3由ABC 是直角三角形，可知CAB+CBA=90，所以有CAB=40， 航向?yàn)楸逼珫| 50。 課后練習(xí)：課后練習(xí)： 16 米，8 米，10 米，直角三角形； 2ABC、ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直。 3提示：連結(jié) AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90， S 四邊形=SADC+SABC=36 平方米。 18182 2勾股定理的逆定理（三）勾股定

41、理的逆定理（三） 一、教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)目標(biāo) 1應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。 2靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。 3進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。 2難點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。 三、例題的意圖分析三、例題的意圖分析 例 1（補(bǔ)充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。 例 2（補(bǔ)充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研 究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造 3、4、5 勾股數(shù)， 利用勾股定理的逆定理證明 DE 就是平行線間距離。 例 3（補(bǔ)充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。 四、課堂引入四、課堂引入 勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔， 經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度較大的題 目。 五、例習(xí)題分析五、例習(xí)題分析 例 1（補(bǔ)充）已知：在ABC 中，A、B、C 的對(duì)邊分別是