1、昆明黃岡實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020學(xué)年度上學(xué)期期末考試 高三理科數(shù)學(xué)試題 第卷 選擇題（共60分）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合A=，B=，則AB中元素的個(gè)數(shù)為A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由題意，集合A表示以為圓心，1為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線 上所有的點(diǎn)組成的集合，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求解集合中元素的個(gè)數(shù)，得到答案。【詳解】由題意，集合A表示以為圓心，1為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又由圓x2+y2=1 與直線y=

2、x 相交于兩點(diǎn)1,1,1,1，則中有兩個(gè)元素，故選C.【點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.2.已知，是虛數(shù)單位，若，則（ ）A. 1或 B. 7或 C. D. 【答案】A【解析】由得，所以，故選A.【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，據(jù)此結(jié)合已知條件，求得的方程即可.3.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A. 32 B. 23C. 2 D. 2【答案】B【解析】由三視圖還

3、原原幾何體如圖，四棱錐ABCDE，其中AE平面BCDE，底面BCDE為正方形，則AD=AB=22，AC=(22)2+22=23該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為故選：4.函數(shù)fx=sin2x+3的最小正周期為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式直接求解即可.詳解：由題函數(shù)fx=sin2x+3的最小正周期 故選C.點(diǎn)睛：本題考查正弦函數(shù)的周期，屬基礎(chǔ)題.5.展開(kāi)式中x2的系數(shù)為A. 15 B. 20 C. 30 D. 35【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，展開(kāi)式中含的項(xiàng)為1x2C64x4=15x2，故的系數(shù)為15+15=30，選C.【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)

4、式乘積的問(wèn)題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可.這類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中的不同.6.橢圓的離心率是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程求得，得到，再利用離心率的定義，即可求解?！驹斀狻坑深}意，根據(jù)橢圓的方程可知，則，所以橢圓的離心率為，選D【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等7.函數(shù)y=f

5、(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)從小到大依次為a，b，c，故函數(shù)y=f（x）在（-，a）上單調(diào)遞減，在（a，b）單調(diào)遞增，在（b，c）單調(diào)遞減，在（c，+）單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)不難發(fā)現(xiàn)選D.8.已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1pi，i=1，2.若0p1p212，則A. ， B. C. ，【答案】A【解析】，D(1)=p1(1p1),D(2)=p2(1p2)，故選A【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識(shí)求出取各個(gè)值

6、時(shí)的概率對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)由已知本題隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布數(shù)學(xué)期望與方差的公式可得A正確9.在中，角的對(duì)邊分別為，若ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，則下列等式成立的是（ ）A. a=2b B. b=2a C. A=2B D. B=2A【答案】A【解析】sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC 所以，選A.【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形. 首

7、先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問(wèn)題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視.10.已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,該圓柱底面圓周半徑 ，該圓柱的體積：V=Sh=(32)21=34 .本題選擇B選項(xiàng).11.已知雙曲線x2a2y2b2=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A. B. C. D. 【答案】B【解析】由

8、題意得 ，選B.【考點(diǎn)】 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點(diǎn)睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見(jiàn)題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于a,b,c的方程，解方程組求出a,b，另外求雙曲線方程要注意巧設(shè)雙曲線（1）雙曲線過(guò)兩點(diǎn)可設(shè)為mx2ny2=1(mn0)，（2）與x2a2y2b2=1共漸近線的雙曲線可設(shè)為x2a2y2b2=(0)，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.12.設(shè) x， 為正數(shù)，且 ，則 A. B. C. D. 【答案】D【解析】=k1x=log2k,y=log3k,z=log5k2x=2log2k=log2k=1logk212, ， ， 1515212

9、1,0logk515logk212故選D第卷 非選擇題（共90分）二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= _ .【答案】【解析】平面向量與b的夾角為，ab=21cos600=1.a+2b=(a+2b)2=a2+4ab+(2b)2=4+4+4=23故答案為：.點(diǎn)睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式(2) a=aa 常用來(lái)求向量的模14.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】【解析】分析：求出3x+6的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)。詳解：由題可知，或解得,或79故有3個(gè)零點(diǎn)。點(diǎn)睛：本題主要考查

10、三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。15.函數(shù)fx=sin2x+3cosx-34（）的最大值是_【答案】1【解析】【分析】利用平方關(guān)系化正弦為余弦，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.【詳解】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，則 ，由x0,2可得，當(dāng)cosx=32時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值1【點(diǎn)睛】求與三角函數(shù)有關(guān)的最值常用方法有以下幾種：化成y=asin2x+bsinx+c的形式利用配方法求最值；形如y=asinx+bcsinx+d的可化為的形式利用三角函數(shù)有界性求最值；型，可化為y=a2+b2sin(x+)求最值 .16.已知是拋物線 的焦點(diǎn)，M是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，則_【答案】6

11、【解析】拋物線 的焦點(diǎn)，設(shè)，為的中點(diǎn)，M1，a2在拋物線 上，即N0，42點(diǎn)睛：分析題意，回想拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵。先根據(jù)拋物線的性質(zhì)得到的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出的坐標(biāo)，將代入拋物線解析式求出的值，確定點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可。三解答題（共6小題，第17小題10分，其余各小題12分，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線(1)寫(xiě)出的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)，為與的交點(diǎn)，求

12、的極徑【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)分別消掉參數(shù)t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k（x-2）與x=-2+ky；聯(lián)立，消去k可得C的普通方程為x2-y2=4；(2)將l的極坐標(biāo)方程與曲線C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得關(guān)于的方程，解得tan，即可求得l與C的交點(diǎn)M的極徑為【詳解】(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y (x2) 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得消去k，得x2y24(y0)，所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)，聯(lián)立得cos sin 2(cos sin )故tan

13、 ，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以l與C的交點(diǎn)M的極徑為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化普通方程，考查函數(shù)與方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題18.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知， （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值為16【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設(shè)an的公差為d，由題意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an

14、的通項(xiàng)公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.19.某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)

15、據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為(單位:元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時(shí)？的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【解析】【分析】（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列；（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮200n500，根據(jù)300n500和200n300分類討論經(jīng)，能得到當(dāng)

16、n=300時(shí)，EY最大值為520元【詳解】（1）由題意知，所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，.因此的分布列為0.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮 .當(dāng)300n500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則；因此EY=2n0.4+1200-2n0.4+800-2n0.2=640-0.4n.當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于20，則；若最高氣溫低于20，則Y=6200+2n-200-4n=800-2n；因此EY=2n0.4+0.4+800-2n0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望

17、達(dá)到最大值，最大值為520元.【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.20.如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直

18、角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .【解析】【分析】（1）利用題意，證得二面角為，即可得到平面ACD平面ABC；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)半平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值。【詳解】（1）由題意可得，ABDCBD,從而AD=DC，又是直角三角形，所以，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則，又由ABC是正三角形，所以BOAC，所以是二面角的平面角,在直角中，又，AB=BD所以BO2+D

19、O2=BO2+AO2=AB2=BD2，故 ，所以平面平面。（2）由題設(shè)及（1）可知,兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則 由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面ABC的距離為到平面的距離的，即E為的中點(diǎn)，得 .故,設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，即平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的法向量，則，可得平面AEC的一個(gè)法向量，則，即二面角的余弦值為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的平面角的定義及應(yīng)用，以及利用空間向量求解二面角的計(jì)算，對(duì)于立體幾何中空間角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法求解，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式得以求解，同時(shí)解答中要注意兩點(diǎn)

20、：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算。21.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.【答案】（1）點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.（2）證明見(jiàn)解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設(shè)P（x，y），運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得P的軌跡方程；（2）設(shè)Q（3，m），P（cos，sin），（02），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得m，即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓

21、的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0，即可得證【詳解】（1）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設(shè)P（x，y），由點(diǎn)P滿足=可得（xx0，y）=2（0，y0），可得xx0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入橢圓方程+y2=1，可得+=1，即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2；（2）證明：設(shè)Q（3，m），P（2cos，2sin），（02），=1，可得（cos，2sin）（3cos，msin）=1，即為3cos2cos2+2msin2sin2=1，當(dāng)=0時(shí)，上式不成立，則02，解得m=，即有Q（3，），橢圓+y2=1的左焦點(diǎn)F（1，0），由=（12cos，sin）（3，）=3+3cos3（1+2cos）=0可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F另解：設(shè)Q（3，t），P（m，n），由=1，可得（m，n）（3m，tn）=3mm2+ntn2=1，又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2，即有nt=3+3m，又橢圓的左焦點(diǎn)F（1，0），OQ=（1m，n）（3，t）=3+3mnt=3+3m33m=0，則，