1、二 數(shù)學(xué)思維的反思性一、概述數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。 例1 已知，若求的范圍。錯誤解法 由條件得 2得 2得 +得 錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時受制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r，不一定取最大（?。┲?，因而整個解題思路是錯誤的。正確解法 由題意有解得：把和的范圍代入得 在本題中能夠檢

2、查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。例2 證明勾股定理：已知在中，求證錯誤證法 在中，而，即錯誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性，

3、增強(qiáng)思維的反思性。例3 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求錯誤解法 錯誤分析 顯然，當(dāng)時，錯誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時，必須檢驗(yàn)時的情形。即：例4 實(shí)數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點(diǎn)。錯誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因?yàn)橛袃蓚€公共點(diǎn)，所以方程有兩個相等正根，得 解之，得錯誤分析 （如圖221；222）顯然，當(dāng)時，圓與拋物線有兩個公共點(diǎn)。xyO圖222xyO圖221要使圓與拋物線有兩個交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時，得解之，得因此，當(dāng)或時，圓與拋物線有兩個公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)為何值時，圓與拋物線，（1） 有一個公共點(diǎn)；（2） 有三個

4、公共點(diǎn)；（3） 有四個公共點(diǎn)；（4） 沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例5 30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？解 因?yàn)槊繄鲆蕴?個隊(duì)，30個隊(duì)要淘汰29個隊(duì)才能決出一個冠軍。因此應(yīng)安排29場比賽。思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15742129場比賽。而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場比賽。例6 解方程考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖象無交點(diǎn)。所以此方程無解。例7 設(shè)是方程的兩個實(shí)根，則的最小值是（ ）思路分析 本例只有一個答案正確，設(shè)了3個陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個