1、“直線與平面”錯(cuò)解點(diǎn)擊 在“直線與平面”內(nèi)容中，為了研究直線與直線之間，直線與平面之間，平面與平面之間的各種關(guān)系，引進(jìn)了一些基本概念和數(shù)學(xué)方法，例如“異面直線”，“直線與平面所成的角”、“二面角”等概念，反證法、同一法等方法，對(duì)于這類特定的概念理解不準(zhǔn)確，對(duì)這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時(shí)就容易出錯(cuò) 下面通過(guò)幾例，對(duì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的解法進(jìn)行分析，研究糾正錯(cuò)誤的方法，從中吸取有益的教訓(xùn)，以加深對(duì)知識(shí)的理解，提高解題能力 例1 證明；斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上 錯(cuò)解 如圖, 對(duì)于平面，直線AB是垂線，垂足B是點(diǎn)A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影 在AC上

2、任取一點(diǎn)P，過(guò)P作PO交BC于O， 點(diǎn)P在平面上的射影在BC上 點(diǎn)擊 這樣的證明似乎有點(diǎn)道理，事實(shí)上這些點(diǎn)也是在這條斜線在該平面的射影上，但仔細(xì)分析，這些點(diǎn)在這條斜線在該平面的射影上的理論根據(jù)不足，過(guò)點(diǎn)P作PO交BC于O，恰恰是本題要證明的是一種易犯的邏輯錯(cuò)誤，許多同學(xué)在解題中往往錯(cuò)而不覺，對(duì)此應(yīng)引起警覺 正解 AC是平面的斜線，點(diǎn)C是斜足，AB，點(diǎn)B是垂足 則BC是AC在平面上的射影 在AC上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PO,垂足為O AB， PO AB， 點(diǎn)P在A、B、C三點(diǎn)確定的平面上，因此，PO平面ABC， OBC 例2 已知、是兩個(gè)不重合的平面， 若平面平面，平面平面，則平面平面； 若平面內(nèi)

3、不共線的三個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則平面平面； a、b是平面內(nèi)的兩條直線，且a，b，則平面平面； 以上正確命題的個(gè)數(shù)為( ) (A)O個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè) 錯(cuò)解 三個(gè)命題都正確，選(D) 點(diǎn)擊 產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)問(wèn)題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關(guān)系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統(tǒng)蓋“特殊”如判斷、是真命題，只是考慮了圖1與圖2的情況，而忽略了圖3與圖4的情況(1) (2) (3) (4) 而判斷是真命題，則是對(duì)平面與平面平行的判定定理：“如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”沒(méi)有真正理解，用任意兩條直線代替了定理中的特指條件“兩條相

4、交直線” 正解 因?yàn)槿齻€(gè)命題都不正確，所以選(A) 例3 如圖 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的三等分點(diǎn)，求證：E1H1，與F1G2是異面直線 錯(cuò)證1 (直接法) 連BD，由題設(shè)=，=， E1H1與BD不平行，設(shè)其交點(diǎn)為P，則PBD =, 則 F1G2BD， PF1G2 又E1P平面BCD，且E1E1P， E1平面BCD 故平面BCD內(nèi)一點(diǎn)P與平面BCD外一點(diǎn)E1的連線E1P(即E1H1)與平面BCD內(nèi)不過(guò)P點(diǎn)的直線F1G1是異面直線 錯(cuò)證2 (反證法) 設(shè)E1H1與F1G2不是異面直線，則E1H與F1G相交或E1H1F1G2

5、 設(shè)E1H1 F1G2=P， E1H 平面ABD，F(xiàn)1G 平面CBD， 則E1H1與F1G2的公共點(diǎn)P應(yīng)在平面ABD與平面CBD的交線BD上， 則F1G2 BD=P，這與F1G2BD (CBD中，=)矛盾， E1H1與F1G2不相交 設(shè)E1H1F1G2， F1G2BD，由公理4知 E1H1BD，這與E1H1 BD=P(在ABD中，=，=，E1H1與BD不平行，必相交于一點(diǎn)P)矛盾， E1H1與F1G2不平行 綜合(1)、(2)知E1H1與F1G2是異面直線 點(diǎn)擊 采用證法1時(shí)，有些同學(xué)往往忽略強(qiáng)調(diào)點(diǎn)P在平面CBD上但不在直線F1G2上，且點(diǎn)E1在直線E1P上但不在平面CBD上，只證E1H1與F

6、1G2無(wú)公共點(diǎn)的一面，而忽視它們不在同一平面上，便得出E1H1與F1G2是異面直線的結(jié)論，這是對(duì)其判定定理的片面理解，因而是錯(cuò)誤的 在采用證法2時(shí)，易犯的錯(cuò)誤也是不全面，只排除了E1H1與F1G2不可能相交而忽略了還應(yīng)排除它們平行的可能因此，一定要深刻理解異面直線的定義，克服證題中的片面性 例4 在正方體ABCDA1B1C1D1中，求它的對(duì)角線BD1與平面A1B1CD所成的角錯(cuò)解 連結(jié)A1C交BD1于E，則D1EA為BD1與平面A1B1CD所成角設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a.則A1E=D1E=a又 A1D1=a，在A1ED1中，由余弦定理得cosA1ED1= A1ED1=arccos,即BD1與平面A1

7、B1CD所成角為arccos. 點(diǎn)擊 以上證法的錯(cuò)誤在于，A1ED1不是直線BD1與平面A1B1CD所成的角.平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角，本題中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD內(nèi)的射影正是對(duì)“直線在平面內(nèi)的射影”這個(gè)概念理解不清，導(dǎo)致了以上錯(cuò)誤，所以在解此類題時(shí)，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足與斜足連線才得射影.正解 A1B1平面A1ADD1, 又A1B1平面A1B1CD平面A1ADD1平面A1B1CD.連結(jié)AD1交A1D于O,則D1OA1D,D1O平面A1B1CD.連A1C交BD1于E，連OE，則OE

8、為D1E在平面A1B1CD內(nèi)的射影,D1EO為BD1與平面A1B1CD所成的角.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a, 則D1O=a, OE=AB=a,在RtD1OE中, tanD1EO=, D1E0=aretan，即BD1與平面A1B1CD所成的角為arctan. 例5 已知，AB是半徑為R的O的直徑，0CAB，P、Q是圓上兩點(diǎn)，且AOP=300，COQ=450,沿OC折疊使半圓面成一直二面角(如圖)，求P、Q兩點(diǎn)間的距離.錯(cuò)解 在平面AOC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PDOC于D， 平面AOC平面BOC，則PD平面BOC，連結(jié)DQ， DQ 平面BOC，PDQ是直二面角AOCB的平面角， PDQ=900 AOP=300， POD=600 在RtPOD中， PD=Rsin600=R, 在RtDOQ中， DQ=Rsin450=R, 在RtPDQ中，PQ=, 即P、Q兩點(diǎn)間的距離是 點(diǎn)擊 此證法的錯(cuò)誤在于對(duì)二面角的平面角理解有誤判定一個(gè)角是否是二面角的平面角，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；這兩條射線都必須垂直于棱誤解中忽視了條件中的“都”字，事實(shí)上，DQ與OC不垂直，這再次提醒我們必須搞清