1、數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)探討1993年全國高考數(shù)學(xué)科命題組就指出：“要考查一些開放問題”，國家教委將“數(shù)學(xué)開放題”列為九五重點科研項目相對于傳統(tǒng)的封閉題嚴密完整，開放題在構(gòu)成問題的要素條件、策略、結(jié)論中有一些是不明確的（分別稱為條件開放題、策略開放題、結(jié)論開放題）當前數(shù)學(xué)開放題之所以引起我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，我以為一是以實踐能力、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)為核心的素質(zhì)教育的深入的需要數(shù)學(xué)開放題對培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性（結(jié)論開放）、聚斂性(條件開放)、創(chuàng)造性（策略開放），不失為好載體二是高考命題的導(dǎo)向作用，數(shù)學(xué)開放題走進高考試卷的需要三是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的需要我們的數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生學(xué)會繼續(xù)深造所必需的數(shù)學(xué)基本知識，

2、基本方法，基本技能，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決現(xiàn)實生活中的問題為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進課堂教學(xué)本文談對數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的一些認識，不當之處，謹請多多指教、砸破籬笆，讓學(xué)生展開想象的翅膀青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代開放題往往形式活潑，供學(xué)生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學(xué)生提供了一個展翅的舞臺而封閉題往往形式單一，要求學(xué)生在特定的范圍內(nèi)進行定向思維長期作這類機械式的思維訓(xùn)練，學(xué)生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆這樣的教學(xué)活動，不僅沒有促進學(xué)生進一步開放自己，反而束縛了他們的思想通過開放式

3、教學(xué)，可以讓學(xué)生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發(fā)揮自身才華根據(jù)我校搬遷前曾有一塊操場需要改造這一實際，我們編擬：開放題 我校準備在長120米，寬100米的空地上建造操場，請同學(xué)們設(shè)計操場形狀，思考能否造出滿足以下條件的環(huán)形操場每道跑道寬1.22米；跑道用直線或圓弧吻接；跑道共八道且內(nèi)圈為300米本題有學(xué)生認為不能造出滿足要求的操場，他認為操場應(yīng)由兩個半圓和一個矩形構(gòu)成（如圖），經(jīng)計算，跑道內(nèi)圈無論如何達不到300米的要求也有學(xué)生認為能造出滿足要求的操場，可將操場設(shè)計成如圖，由四個四分之一圓弧及五個矩形構(gòu)成還有學(xué)生將操場設(shè)計成如圖，彎道部分由三段圓弧組成，他們認為這樣才是操場更有

4、學(xué)生將操場設(shè)計成花園式（如圖），跑道全部由圓弧組成，他們認為這樣的操場更美開放題2 用一塊長2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）要使鏡面面積最大，該如何設(shè)計加工鏡子(注S橢=)本題主要考察學(xué)生如何畫出橢圓，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力可以用硬紙板代替玻璃，讓學(xué)生親手畫一畫，動手截一下學(xué)生至少可從以下幾個角度去思考:建立坐標系，寫出方程描點；確定焦點，長軸長，由第一定義得到；用解析幾何課本P116橢圓參數(shù)方程的定義；用橢圓規(guī)工作原理(P124) 2、傳授定式，幫學(xué)生克服畏懼的心理開放題引入課堂教學(xué)之初，學(xué)生的表現(xiàn)往往士為一是覺得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手這就要求我們

5、教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學(xué)生建立科學(xué)的思維定式尋找充分條件型開放題開放題3在直四棱柱中（如圖），當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 時，有（填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）這類題型，只需找到能使結(jié)論成立的一個充分條件即可，而不必去尋找結(jié)論成立的充要條件這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件這一點，學(xué)生一開始往往不習慣“是否存在”型開放題開放題4 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,是其前n項和.是否存在常數(shù)0,使得成立？并證明你的結(jié)論（1995高考卷第25題）這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較小若“存在”，就是具有適合條

6、件的某種數(shù)學(xué)對象，無論用什么方法，只要找出一個就說明存在若“不存在”，一般需要有嚴格的推理論證故這類“是否存在”型開放題的解決思路一般為，先假設(shè)存在滿足條件的數(shù)學(xué)對象，如果找出矛盾，說明假設(shè)不成立，進而否定假設(shè)，如果經(jīng)過嚴格推理，沒有找到矛盾，說明確實存在，找出滿足條件的一個對象即可猜想型開放題開放題5 已知數(shù)列bn是等差數(shù)列,b1b2b145， b1=1求數(shù)列bn的通項bn；設(shè)數(shù)列an的通項an= 其中a0且a1），sn是數(shù)列an的前n項和，試比較sn與的大小(1998高考理科第25題)解答這類開放題，要求學(xué)生學(xué)會猜想牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”美國數(shù)學(xué)教育家彼利亞在

7、1953年也大聲疾呼：“讓我們教猜測吧！”可我們在日常教學(xué)中，往往過分強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴謹性和科學(xué)性，忽視實驗猜想等合情推理能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥、無趣、難學(xué)我們應(yīng)該教會學(xué)生如何猜想教學(xué)生通過實驗、觀察，進行猜想，教學(xué)生通過對特例（特殊值）的分析、歸納, 猜想一般的規(guī)律（共性），教學(xué)生通過比較、概括得到猜想，教學(xué)生對具體問題的特殊解從宏觀上作出估算先有猜想，再作嚴密的數(shù)學(xué)證明這樣“既教猜想，又教證明”，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)也是生動活潑，充滿激情，并富有哲理的一門學(xué)科不至于學(xué)生說“過了幾十年，還做學(xué)習數(shù)學(xué)的惡夢”（徐利治語，見文）、開展實驗，用計算機輔助開放式教學(xué)利用計算機強大的計算功能和作圖

8、功能輔助開放式教學(xué)，有利于改善課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣；有利于“觀察（實驗）、猜想、證明（否定）”這一思想方法的運用，快捷方便地驗證學(xué)生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動的時間開放題6 （荒島尋寶）從前，有個年輕人在曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)一張破羊皮紙，上面指明了一項寶藏，內(nèi)容是這樣的：“在北緯，西經(jīng)，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹，一棵松樹和一座絞架從絞架走到橡樹，并記住所走的步數(shù)，到了橡樹向左拐一個直角，再走相同的步數(shù)并在那里打個樁然后回到絞架再朝松樹走去，同時記住所走的步數(shù)，到了松樹向右拐一個直角，再走相同的步數(shù)并在那里也打個樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏”年輕

9、人欣喜萬分，租船來到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了長期的日曬雨淋，一切痕跡也不復(fù)存在年輕人無從下手，只好空手而返同學(xué)們，你能用數(shù)學(xué)方法幫助這位年輕人嗎？本題，學(xué)生往往不知從何處入手如果我們利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件幾何畫板制作圖（設(shè)，兩點為橡樹和松樹所在地，假設(shè)為絞架所在地依題意找到打樁處，）不妨先讓我們做一個小實驗拖動點C，我們將會發(fā)現(xiàn)，無論C在何處，DE中點H是不動的我們問：這說明什么？寶藏是否就在中點處？這樣，學(xué)生將會積極地思索，不難從解析幾何，復(fù)數(shù)、向量、平面幾何角度尋求具體的解決方法學(xué)習“過拋物線 的頂點作二條互相垂直的弦OA,OB( AOB = 9)則弦AB 恒過定點(2P ，O ) ”之后,引導(dǎo)學(xué)生探討：開放題7 過拋物線 上任一點C(， ) 作二條互相垂直的弦CA 、CB(ACB = 9) 則弦AB有什么特性? 利用幾何畫板設(shè)計如圖 ； 探討過程為 ：1 、雙擊移動按紐 “ 移 動CO ” 顯示直角頂點在原點時，弦AB 恒過定點(2P ，0) .2、直角頂點移回C 處，對AB作軌跡跟蹤，發(fā)現(xiàn)弦AB過一定點.3、作出該定