1、天津市和平區(qū)2020屆高三下學(xué)期第一次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)（理）試題溫馨提示：本試卷包括第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。祝同學(xué)們考試順利！第卷 選擇題（共40分）注意事項(xiàng):1. 答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫在答題卡上。2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試卷上的無效。3. 本卷共8小題，每小題5分，共40分。一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合，則（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算得到結(jié)果即可

2、.【詳解】集合M=0，1，2，N=x|x-1x1，xZ=-1，0，1則.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算及集合的包含關(guān)系，屬簡(jiǎn)單題2.設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為（ ）A. 1B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】首先繪制可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此求解目標(biāo)函數(shù)的最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C

3、選項(xiàng).【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】B【解析】試題分析：不成立，執(zhí)行循環(huán)體，；不成立，執(zhí)行循環(huán)體，不成立，執(zhí)行循環(huán)體，不成立，執(zhí)行循環(huán)體，成立，退出循環(huán)體，輸出，故答案為B.考點(diǎn)：程序框圖的應(yīng)用.4.在中，則的面積為（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】C【解析】試題分析：由結(jié)合余弦定理，可得，則故答案選C考點(diǎn)：余弦

4、定理，同角間基本關(guān)系式，三角形面積公式【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】5.不等式成立的充分不必要條件是A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】由解得：或，據(jù)此確定其成立的一個(gè)充分不必要條件即可.【詳解】由可得，解得：或，據(jù)此可得不等式成立的充分不必要條件是.本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，充分必要條件的判定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6.已知，則下列不等式一定成立的是A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，故，據(jù)此逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】由可得，故，逐一考查所給的選項(xiàng)：A.；B.，的符號(hào)不能確定；C.；D.本題選擇D選項(xiàng).【

5、點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可得雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2)，據(jù)此整理計(jì)算可得雙曲線的漸近線方程為，求得漸近線方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求解焦點(diǎn)到漸近線的距離即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為(0,2)，的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2)，焦點(diǎn)在軸上，.根據(jù)雙曲線三個(gè)參數(shù)的關(guān)系得到，又離心率為2，即，解得，此雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的一條漸近線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離

6、為：.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求解，雙曲線的漸近線方程，點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】原問題等價(jià)于與有三個(gè)不同的交點(diǎn).首先研究函數(shù)的性質(zhì)并繪制出函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像確定實(shí)數(shù)m的取值范圍即可.【詳解】關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn).令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，據(jù)此繪制函數(shù)的圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像可知，滿足題意時(shí)的取值范圍是.本題選擇C選

7、項(xiàng).【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)第卷 非選擇題（共110分）注意事項(xiàng):1. 用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卷上，答在本試卷上的無效。2. 本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在答題卷上. 9.已知

8、，且復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則_.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得，結(jié)合題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定實(shí)數(shù)的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，純虛數(shù)的概念及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10.的展開式中的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】80【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，據(jù)此即可確定的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，令可得，則的系數(shù)為.故答案為：80【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方

9、程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)11.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_cm3【答案】20【解析】根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是直三棱柱，切去一個(gè)三棱錐，如圖所示；該幾何體的體積為.12.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且單位長(zhǎng)度相同建立極坐標(biāo)系，若直線 (為參數(shù))被曲線截得的弦長(zhǎng)為，則的值為_.【答案】或【解析】【分析】消去參數(shù)t得到直線的普通方程，然后將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可知圓心

10、到直線的距離為，據(jù)此求解a的值即可.【詳解】消去參數(shù)可得直線方程為，即，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，由圓的弦長(zhǎng)公式有：，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得：，解得：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，圓的弦長(zhǎng)公式及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13.如圖，在直角梯形中，.若分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，其中，若，則的值為_.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由題意可得：，由題意可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意可得：，設(shè)，即，據(jù)此可得：，故，同理可得，據(jù)此可得：，則

11、，整理可得：，由于，故.【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用14.已知為正數(shù)，若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式有，據(jù)此整理計(jì)算可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最大值即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2，由直線被圓截取的弦長(zhǎng)為,可得圓心到直線的距離，則時(shí),取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，二次函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算

12、求解能力.三、解答題：本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，且.()求的值；()求的值.【答案】（）； （）.【解析】【分析】()由題意結(jié)合正弦定理可得，代入邊長(zhǎng)求解a的值即可；()由余弦定理可得：，則，利用二倍角公式和兩角和差正余弦公式求解的值即可.【詳解】()由可得，結(jié)合正弦定理可得：，即：，據(jù)此可得.()由余弦定理可得：，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，故，.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，兩角和差正余弦公式，二倍角公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16.點(diǎn)外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢(shì).某配餐店為

13、擴(kuò)大品牌影響力，決定對(duì)新顧客實(shí)行讓利促銷，規(guī)定：凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈(zèng)10元或者16元代金券一張，中獎(jiǎng)率分別為和，每人限點(diǎn)一餐，且100%中獎(jiǎng).現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁四位員工決定點(diǎn)餐試吃.() 求這四人中至多一人抽到16元代金券的概率；() 這四人中抽到10元、16元代金券的人數(shù)分別用、表示，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（）；（）答案見解析.【解析】【分析】(1)設(shè)“這4人中恰有i人抽到16元代金券”為事件.由題意求解“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率即可；(2)設(shè)“這4人中恰有i人抽到500元代金券”為事件.由題意可知可取0,3,4.求得相應(yīng)的概率值，列出分布列，最后求

14、解數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】(1)設(shè)“這4人中恰有i人抽到16元代金券”為事件.易知“四人中至多一人抽到16元代金券”的概率：.(2)設(shè)“這4人中恰有i人抽到500元代金券”為事件.由題意可知可取0,3,4.，.故的分布列為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列，離散型隨機(jī)變量的期望的求解，古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.17.如圖，四棱錐的底面是菱形，底面，分別是的中點(diǎn)，.（I）證明：；（II）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.【答案】（）見解析； （）； （）見解析.【解析

15、】【分析】()由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；()建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量，然后求解線面角的正弦值即可；()假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，由直線與的方向向量得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點(diǎn)F的位置.【詳解】()由菱形的性質(zhì)可得：，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，()由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，而，設(shè)直線與平面所成角為，則.()由題意可得：，假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在，設(shè)，據(jù)此可得：，即：,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為，據(jù)

16、此可得：,，結(jié)合題意有：，解得：.故點(diǎn)F為中點(diǎn)時(shí)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，線面角的向量求法，立體幾何中的探索性問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（）;（）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得所以考點(diǎn) 1、待定系數(shù)法求

17、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題. “錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；相減時(shí)注意最后一項(xiàng) 的符號(hào)；求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別、，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形面積為.() 求橢圓的方程；() 設(shè)是橢圓上不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交橢圓于

18、、兩點(diǎn)，求的值.【答案】（）； （） 1 .【解析】【分析】()由題意可知,據(jù)此求得a,b的值確定橢圓方程即可；()設(shè),直線,則直線,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理和交點(diǎn)坐標(biāo)確定的值即可.【詳解】()由題意可知,解得,故橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為.()設(shè),直線,則直線,由得,所以,所以,由得.所以,所以,即.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題20.設(shè)函數(shù).() 求曲線在點(diǎn)處的切線方程；() 討論函數(shù)的單調(diào)性； () 設(shè),當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）； （）見解析； （）.【解析】【分析】()由題意可得，據(jù)此確定