1、黃山市2020屆高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）試題第卷（選擇題 滿分60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為（ ）A. -6B. 6C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出【詳解】為純虛數(shù)，0， 0，a6，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2.集合，則（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】通過(guò)解不等式分別得到集合，然后再求出即可【詳解】由題意得，故選C【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是正確得

2、到不等式的解集，需要注意的是在解對(duì)數(shù)不等式時(shí)要注意定義域的限制，這是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，屬于基礎(chǔ)題3.為了判斷高中生選修理科是否與性別有關(guān).現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到的觀測(cè)值，若已知，則認(rèn)為選修理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件中所給的觀測(cè)值，與所給的臨界值進(jìn)行比較，即可得出正確的判斷【詳解】由觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得4.8443.841，由于P（X23.841）0.05，認(rèn)為選修理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為5%故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解觀測(cè)值對(duì)應(yīng)的概率意義4.已知雙曲

3、線的離心率為，且它的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的方程為（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的離心率、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出【詳解】，c=,又焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線的距離db，又，則,雙曲線的方程為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程中基本量的關(guān)系，考查了離心率及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】閱讀程序框圖，可知程序執(zhí)行的是求，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式求和，由和等于4算出k的值，則判斷框中的條件可求【詳解】由程序可知，該程序是計(jì)算由S4，得k15，

4、則當(dāng)k15時(shí)，kk+115+116不滿足條件，所以條件為k15故選B【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，是循環(huán)結(jié)構(gòu)中的當(dāng)型循環(huán)，即先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件跳出循環(huán)，算法結(jié)束，理解程序框圖的功能是基礎(chǔ)題6.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（ ）A. 1B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可得展開(kāi)式中x2的系數(shù)為前一項(xiàng)中常數(shù)項(xiàng)與后一項(xiàng)x的二次項(xiàng)乘積，加上第一項(xiàng)x的系數(shù)與第二項(xiàng)x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值【詳解】根據(jù)題意知，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為a，即105a，解得a故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決此

5、類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵7.謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出.在一個(gè)正三角形中，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形為剩下的部分，我們稱此三角形為謝爾賓斯基三角形.若在圖（3）內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率是（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】先觀察圖象，再結(jié)合幾何概型中的面積型可得【詳解】由圖可知：圖（2）挖去的白色三角形的面積為圖（1）整個(gè)黑色三角形面積的，在圖（2）中的每個(gè)小黑色

6、三角形中再挖去的每一個(gè)白色三角形的面積仍為圖（2）中每一個(gè)黑色三角形面積的，即為圖（1）大黑色三角形面積的，圖（3）中白色三角形面積共占圖（1）黑色三角形面積的，謝爾賓斯基三角形的面積為，故該點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化及幾何概型中的面積型題型，屬于簡(jiǎn)單題8.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖像，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 函數(shù)的最小正周期為B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C. 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為D.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)圖象的伸縮變換及平移變換得f（x）函數(shù)解析式，再由三角函

7、數(shù)圖象及性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可【詳解】=2cos（x+），將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)解析式為h（x）2cos（x），再把得到的圖象再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)yf（x）的圖象，得f（x）2cos（2x），則函數(shù)yf（x）的最小正周期為，對(duì)稱軸方程為x（kz），故A，D選項(xiàng)不正確，又當(dāng)時(shí)，2x，函數(shù)不單調(diào)，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，2x，函數(shù)在x=時(shí)取得最小值為C正確，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的伸縮變換及平移變換，三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬于中檔題.9.若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的表面積等于（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】先判斷幾何體形

8、狀，再利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可【詳解】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由直三棱柱截去一個(gè)三棱錐得到的，如圖：ABC-DEF,其中底面是直角邊分別為3，4的直角三角形，原三棱柱的高為5，圖中AD=2，所以BC=EF=DE=5，DF=，的底邊DF上的高為，又梯形ADEB的面積為，梯形ADFC的面積為，的的面積為，矩形BCFE的面積為=25，所以此幾何體的表面積S+故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵10.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，且，則的值為（ ）A.B. 4C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理，二倍角公式結(jié)合已知可得，整理得a6

9、cosB，由余弦定理可解得a的值.【詳解】在ABC中，A2B，b3，c1，可得，整理得a6cosB，由余弦定理可得：a6，a2，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及二倍角正弦公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題11.已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別在邊、上，且，若，則（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】用三角形各邊向量表示出，代入計(jì)算即可【詳解】等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，又,，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題12.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】令f（x）0，可得，

10、可得a在x0有且只有2個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)g（x）的圖象和直線ya有且只有兩個(gè)交點(diǎn)求出g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的范圍【詳解】f（x），令f（x）0，可得，當(dāng)x0時(shí)，上式顯然不成立；可得a在x0有且只有2個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)g（x）的圖象和直線ya有且只有兩個(gè)交點(diǎn)由g（x）0或x0時(shí)，直線ya和yg（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解法，注意運(yùn)用函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想方法，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題第卷（非選擇題 滿分90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若滿足約束條

11、件，則的最大值為_(kāi)【答案】8【解析】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為,由此可得當(dāng)直線在軸截距最大時(shí),取最大值，結(jié)合圖像即可得出結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如下：又目標(biāo)函數(shù)可化，因此，當(dāng)直線在軸截距最大時(shí),取最大值，由圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，由易得，此時(shí).故答案為8【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，通常需要由約束條件作出可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖像即可求解，屬于?？碱}型.14.平均數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2020，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_(kāi)【答案】1.【解析】【分析】由題意可得關(guān)于首項(xiàng)的方程，解方程可得【詳解】設(shè)該等差數(shù)列首項(xiàng)為a，由題意

12、和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2020+a10102解得a1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題15.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先由題意得到必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長(zhǎng)，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時(shí)，最短，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由拋物線光學(xué)性質(zhì)可得：必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，由得：，整理得，所以，所以；

13、當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又因?yàn)閮善叫泄饩€間的最小距離為4，最小時(shí)，兩平行線間的距離最?。灰虼?，所求方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等求解，屬于?？碱}型.16.連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體，則該八面體的外接球與內(nèi)切球體積之比為_(kāi)【答案】.【解析】【分析】正八面體中ABCD四點(diǎn)或AFCE四點(diǎn)所組成的截面在外接球的一個(gè)大圓面上，可得其對(duì)角線的長(zhǎng)度即為外接球的直徑，又正方體中心設(shè)為O，取AB中點(diǎn)M，則在直角OME中，斜邊ME上的高即為內(nèi)切球的半徑，由此能求出結(jié)果【詳解】若正八面體

14、的外接球的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則其中ABCD四點(diǎn)或AFCE四點(diǎn)所組成的截面在球的一個(gè)大圓面上，可得，此四點(diǎn)組成的正方形是球的大圓的一個(gè)內(nèi)接正方形，其對(duì)角線的長(zhǎng)度即為球的直徑，設(shè)正八面體邊長(zhǎng)為2，且每個(gè)側(cè)面三角形均為等邊三角形，故FE=AC=2，則外接球的半徑是，又正方體中心設(shè)為O，取AB中點(diǎn)M，則在直角OME中，斜邊ME=，斜邊ME上的高即為內(nèi)切球的半徑，大小為=，外接球與內(nèi)切球半徑之比為，外接球與內(nèi)切球體積之比為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查球的體積的求法，考查正八面體與球的內(nèi)切外接問(wèn)題，考查空間想象能力，是中檔題三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15、請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)區(qū)域答題.） 17.已知等差數(shù)列滿足，其前5項(xiàng)和為25，等比數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用已知建立與d的方程組，求得與d，即可求解，再由的前n項(xiàng)和分n=1與求得通項(xiàng)公式（2）由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得, 對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，（） （2）由（1）得， -得：，【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18.如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，且二面角與二面角都是.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成

16、角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出AFDF，AFFE，由線面垂直的判定定理即可證明AF平面EFDC（2）過(guò)D作DGEF，由DG平面ABEF，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，利用向量法求出平面BCE的法向量，則可求得直線BF與平面BCE所成角的正弦值【詳解】（1）面ABEF為正方形又，而,面,面面（2），則由（1）知面平面，過(guò)作，垂足為，平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由（1）知為二面角的平面角，故，又，則， 由已知，平面又平面平面，故，由，可得平面，為二面角的平面

17、角，設(shè)是平面的法向量，則，即，可取. 則直線與平面BCE所成角的正弦值為. 【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理，考查了利用空間向量法求解線面角的問(wèn)題，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題19.全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，旨在全面提高國(guó)民體質(zhì)和健康水平.某部門(mén)在該市2020年發(fā)布的全民健身指數(shù)中，對(duì)其中的“運(yùn)動(dòng)參與評(píng)分值”（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制成如圖所示的散點(diǎn)圖.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，建立關(guān)于的回歸方程；（2）從該市的市民中隨機(jī)抽取了容量為150的樣本，其中經(jīng)常參加體育鍛煉的人數(shù)為50，以頻率為概率，若從這150名市民中隨機(jī)抽取

18、4人，記其中“經(jīng)常參加體育鍛煉”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）；（2）的分布列如下：.【解析】【分析】（1）求得樣本中心點(diǎn)（，），利用最小二乘法即可求得線性回歸方程；（2）由X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求得其概率，即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）由題意得:，.則.所求回歸方程為. （2）以頻率為概率，從這150名市民中隨機(jī)抽取人，經(jīng)常參加體育鍛煉的概率為，由題知，的可能取值為0，1，2，3，4.則. 的分布列如下：或【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，二項(xiàng)

19、分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題20.已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若動(dòng)直線與圓相切，且與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可得則由橢圓的定義可得軌跡方程.（2）先考慮動(dòng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，由直線l與圓O相切，利用根的判別式求出k與m的關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式，結(jié)合換元法利用二次函數(shù)求最值的方法能求出OEF面積的最大值，再考慮斜率不存在時(shí)，可直接求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得面積，比較后得到結(jié)論【詳解】（1）由題

20、知， 的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為. （2）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí).設(shè)的方程為由得: 可得 與圓相切，從而， 令，得 .當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào). 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí).易得的方程為或.此時(shí) .由可得:的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積公式及最值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類(lèi)討論后分別解出f（x）0與f（x）0的解集，從而得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）（k-1）lnx+x，x1，求導(dǎo)后令導(dǎo)函數(shù)的分子為h(x)，研究h（x）的正負(fù)得到g(x)的單調(diào)性與極值、最值，可得滿足條件的k的取值范圍；【詳解】（1）由題可知 當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立 ，在遞增 . 當(dāng)時(shí)，令解得;令解得.在遞減，在遞增. （2）原不等式等價(jià)變形為恒成立.令則令當(dāng)時(shí)，此時(shí)的對(duì)稱軸： 在遞增.又在恒成立.在恒成立，即在遞增.符合要求. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)在有一根，設(shè)為 當(dāng)時(shí)，即.在上遞減.這與恒成立矛盾.綜合可得:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了不等式的恒成立問(wèn)