1、機器人動力學(xué) Dynamics of Robotics,研究機器人的運動特性與力的關(guān)系。 有兩類問題： 動力學(xué)正問題：各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力（或力矩），求解機器人的運動（關(guān)節(jié)位移、速度和加速度），主要用于機器人的仿真。 動力學(xué)逆問題：已知機器人關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求解所需要的關(guān)節(jié)力（或力矩），是實時控制的需要。,機器人動力學(xué) Dynamics of Robotics,5.1 工業(yè)機器人速度分析 5.2 工業(yè)機器人靜力分析 5.3 機械手動力學(xué)方程,5.1 工業(yè)機器人速度分析 5.1.1雅可比矩陣,兩空間之間速度的線性映射關(guān)系雅可比矩陣（簡稱雅可比）。它可以看成是從關(guān)節(jié)空間到操作空間運動速度的傳動

2、比，同時也可用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。,存在怎樣的關(guān)系,首先來看一個兩自由度的平面機械手，如圖5-1所示。,圖5-1 兩自由度平面機械手,容易求得,將其微分得,寫成矩陣形式,簡寫成 ： dx=Jd。,式中J就稱為機械手的雅可比（Jacobian）矩陣，反映了關(guān)節(jié)空間微小運動d與手部（手爪）作業(yè)空間微小位移dx之間的關(guān)系。,機器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，是關(guān)節(jié)變量的函數(shù) 是n個關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，可寫成： ，并且是一個6維列矢量。 反映了操作空間的微小運動，由機器人末端微小線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動)組成?？蓪憺?式中： 是6n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為n自由度機器人速度

3、雅可比矩陣。,或 其中:v機器人手部在操作空間中的廣義速度， (q)速度雅可比矩陣 機器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的速度 從上式可以看出，對于給定的關(guān)節(jié)變量q，雅可比矩陣是從關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)速度向操作空間的廣義速度映射的線性變換。,5.1.2機器人速度分析,若令J1，J2 分別為上例中雅可比矩陣的第一列矢量和第二列矢量，即 由上式可知， 分別是由 產(chǎn)生的手部速度的分量。而J1是在 時，也就是第二個關(guān)節(jié)固定時，僅在第一個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的情況下，手部平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量。同樣，J2是第一關(guān)節(jié)固定時，僅在第二關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的情況下，手部平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量。,因此，機器人速度雅可比的每一列表示

4、其它關(guān)節(jié)不動而某一關(guān)節(jié)運動產(chǎn)生的端點速度。,例5-1如圖所示二自由度機械手，手部沿固定坐標(biāo)系Xo軸正向以1.0 m/s速度移動，桿長為 。設(shè)在某瞬時 求相應(yīng)瞬時的關(guān)節(jié)速度。,圖5-1 兩自由度平面機械手,相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：,因此，在該瞬時兩個節(jié)的位置分別為 速度分別為 ，手部瞬時速度為1m/s。,因此,逆雅可比矩陣,矩陣 A可逆 且 A可逆時， n階方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，而且,對于關(guān)節(jié)空間的某些形位，機械手的雅可比矩陣的秩減少，這些形位稱為操作臂（機械手）的奇異形位。,當(dāng)2=0或2=180時，機械手的雅可比行列式為0，矩陣的秩為1，因此處于奇異狀態(tài)。在奇異形位時，機械手在操作

5、空間的自由度將減少。,奇異位形：由于雅可比矩陣J(q)是關(guān)節(jié)變量q的函數(shù),總會存在一些位形,在這些位形處,|J(q)|=0,即J(q)為奇異矩陣,這些位形就叫奇異位形。 一般，奇異位形有兩種類型： 工作域邊界上的奇異：這種奇異位形出現(xiàn)在機器人的機械手于工作區(qū)的邊界上時，也就是在機器人手臂全部展開或全部折回時出現(xiàn)。這種奇異位形并不是特別嚴(yán)重，只要機器人末端執(zhí)行器遠(yuǎn)離工作區(qū)邊界即可。 工作域內(nèi)部奇異：這種奇異位形出現(xiàn)在兩個或多個關(guān)節(jié)軸線重合時，這種奇異位形很難處理，因為它可能出現(xiàn)在工作區(qū)的任何位置，并且機器人的末端執(zhí)行器在這種奇異位形附近的可操作性會變壞，這樣極大的減少了機器人的可行區(qū)。,對機器人

6、通過奇異位形時軌跡控制方法的研究可以大致分為如下四種方法: 1)回避機器人操作器的奇異位形 預(yù)測奇異位形的可能出現(xiàn)位置,并避免它。理論上對給定的機器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到它的奇異位形。 2)根據(jù)機構(gòu)的各向同性原理設(shè)計機器人操作器 通過設(shè)計上的優(yōu)化，能使得機器人機構(gòu)在一個比較大的區(qū)域內(nèi)保持各向同性，即在各個方向的可能誤差和施加的力都是相同的。 3)利用降秩雅可比矩陣求近似反解 在奇異位形附近利用矩陣論中的偽逆矩陣?yán)碚?，通過定義一種偽逆雅可比矩陣，將雅可比矩陣降秩處理，求解近似反解。 4)利用具有冗余度的機器人操作器 使機器人通過奇異位形時給機械臂增加多余的關(guān)節(jié)。,定義：

7、設(shè) ，若 ，且同時有 則稱 A+ 是A的偽逆矩陣。,5.2 機器人的靜力學(xué),存在怎樣的關(guān)系,用矢量 來標(biāo)記力，用 表示對于所定義坐標(biāo)系各軸x,y,z的分力。用矢量 來標(biāo)記力矩，以 表示作用于任何定義的坐標(biāo)系（而不是基坐標(biāo)）各軸的分力矩。,5.2.1靜力和靜力矩的表示,5.2.2 虛功原理 虛功原理：約束力不做功的力學(xué)系統(tǒng)，若在某一位置已處于靜止?fàn)顟B(tài)，則其能夠保持靜止的必要與充分條件是，所有主動力在該位置的任意虛位移上所作的虛功之和等于零。 已知作用在杠桿一端的力 ，試用虛功原理求作用于另一端的力 。設(shè)桿長為 已知。,杠桿及作用在它兩端上的力,對于一個系統(tǒng)來說，限制系統(tǒng)中質(zhì)點運動的各種條件就是系

8、統(tǒng)的約束，而約束力是使系統(tǒng)動作受到制約的力。 另一個概念就是虛位移，這里所說的虛位移是描述作為對象的系統(tǒng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的位移，也就是當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)點位于某個位置的時候，為約束所允許的可能實現(xiàn)的任何無限小的位移，具有：無限小性質(zhì)不破壞約束與是否發(fā)生實際運動無關(guān)，不同于隨時間一起產(chǎn)生的實際位移，為此用“虛”一詞來表示。虛位移在數(shù)學(xué)上用變分符號表示，實位移在數(shù)學(xué)上用微分符號d表示。,5.2.3機器人靜力關(guān)系式的推導(dǎo) 可用虛功原理證明。 以圖所示的二自由度機械手為研究對象，要產(chǎn)生圖所示的虛位移，推導(dǎo)出圖b所示各力之間的關(guān)系。,證明: 假設(shè),如果施加在機械手上的力為F，以機械手為研究對象，這個力成為手爪力的反力（

9、-F來表示）時，機械手的虛功可表示為：,應(yīng)用虛功原理，則可得到： 手爪的虛位移 和關(guān)節(jié)虛位移 之間的關(guān)系，用雅克比矩陣表示為 可得： 由于這一公式對任意的 都成立，因此 機械手靜力學(xué)關(guān)系式： 式中， 廣義關(guān)節(jié)力矩，F(xiàn)機器人手部端點力， 與手部端點力和廣義關(guān)節(jié)力矩之間力傳遞有關(guān)，稱為機器人力雅可比。機器人力雅可比正好是速度雅可比的轉(zhuǎn)置。,若J是關(guān)節(jié)空間向操作空間的映射（微分運動矢量），則 把操作空間的廣義力矢量映射到關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矢量。,關(guān)節(jié)空間,操作空間,雅可比J,力雅可比JT,上式表明關(guān)節(jié)的力可由手坐標(biāo)系中期望的力和力矩決定。由于前面對速度的分析已得知速度雅可比矩陣，所以控制器可根據(jù)手坐標(biāo)

10、系中的期望值計算關(guān)節(jié)力和力矩，并對機器人進行控制。顯然，隨著機器人構(gòu)型的變化，雅可比矩陣也隨之發(fā)生變化。因此當(dāng)機器人進行運動時，機械手在不斷的對工件進行操作，為了使機械手能夠持續(xù)施加同樣的力，關(guān)節(jié)處的力矩也要隨之發(fā)生變化，這時需要控制器根據(jù)這個關(guān)系式不斷的計算所需的關(guān)節(jié)力矩。,從操作臂手部端點力F與廣義關(guān)節(jié)力矩 之間的關(guān)系式 可知，操作臂靜力計算可分為兩類： 已知外界對手部作用力F，求滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩（ ） 已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩 ，確定機器人手部對外界環(huán)境的作用力F或負(fù)荷質(zhì)量（逆解，即解 ） 當(dāng)自由度n6時，力雅可比可能不是方陣，沒有逆解，一般情況下不一定能得到唯一的解。,例3：一個

11、6自由度機器人的雅可比矩陣數(shù)值如下。為了在部件上鉆孔，希望沿手坐標(biāo)系Z軸產(chǎn)生1N的力，并對于Z軸產(chǎn)生20N/m的力矩，求需要的關(guān)節(jié)力和力矩。 解：,解：由前面的推導(dǎo)知,例 2:由圖所示的一個二自由度平面關(guān)節(jié)機械手，已知手部端點力 ，忽略摩擦，求 時的關(guān)節(jié)力矩。,所以得：,根據(jù),所以,在某一瞬時 ,則與手部端點力相對應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩為,5.2.4運動學(xué)、靜力學(xué)和動力學(xué)的關(guān)系,運動學(xué),動力學(xué),靜力學(xué),Robotics 動力學(xué),5.3 機器人動力學(xué)分析 5.3.1拉格朗日方程 Lagrange方程 i=1，2，3，.,n 系統(tǒng)選定的廣義坐標(biāo)（動能和勢能的坐標(biāo)） 廣義坐標(biāo) 對時間的一階導(dǎo)數(shù) 廣義力,作用在第i個坐標(biāo)上的力或力矩 n為連桿數(shù)目,Robotics 動力學(xué),5.3.1拉格朗日方程 兩桿機器人如圖。 對連桿1： 對連桿2：,l1,l2,Robotics 動力學(xué),5.3.1拉格朗日方程 二桿動能和勢能分別為：,l1,l2,Robotics 動力學(xué),5.3.1拉格朗日方程 系統(tǒng)的總動能和勢能及拉格朗日函數(shù)分別為： 分別求得 注意：這里只求顯因變量的偏導(dǎo)數(shù),Robotics 動力學(xué),5.3.1拉格朗日方程 寫成矩陣有： 慣性力 向心力 哥式力 重力,5.3.2牛頓-歐拉法,式中 等的含義與拉格朗日法的一樣；i為連桿代號，n為連桿數(shù)目,牛頓-歐拉法求解動力