1、2013 昌平區(qū)高三二模數(shù)學(xué)（理科） 一、選擇題（本大題共一、選擇題（本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項要求的一項 ） 1 （5 分）已知集合 A=x|2x1，B=x|x1，則 AB=（） Ax|x1Bx|x0Cx|0x1Dx|x1 2 （5 分）已知命題 p： xR，x2，那么下列結(jié)論正確的是（） A命題p： xR，x2 B命題p： xR，x2 C命題p： xR，x2D命題p： xR，x2 （t 為參數(shù)）的距離為（）3 （5 分）圓 x2+（y2）2=1 的圓

2、心到直線 A B1CD2 4 （5 分）設(shè)與拋物線 y2=4x 的準(zhǔn)線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為 D，P（x，y）為 D 內(nèi)的一個動點，則目標(biāo)函數(shù) z=x2y 的最大值為（） A1 B0C2D3 ”發(fā)生的概率為（）5 （5 分）在區(qū)間0，上隨機取一個數(shù) x，則事件“tanxcosx ABCD 6 （5 分）已知四棱錐 PABCD 的三視圖如圖所示，則四棱錐 PABCD 的四個側(cè)面中面積最大的是 （） A3B2C6D8 的值為（）7 （5 分）如圖，在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，BAD=60，E 為 CD 的中點，則 第1頁 共 15 頁 A1BCD 8 （5 分）設(shè)等比數(shù)列的公比為

3、q，其前 n 項的積為 Tn，并且滿足條件 a11，a99a10010， 給出下列結(jié)論： 0q1； a99a 10110； T100的值是 Tn中最大的； 使 Tn1 成立的最大自然數(shù) n 等于 198 其中正確的結(jié)論是（） A 二、填空題（本大題共二、填空題（本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9 （5 分）二項式 10 （5 分）雙曲線 的展開式中 x3的系數(shù)為 的一條漸近線方程為 y=，則 b= BCD 11 （5 分） 如圖， AB 切圓 O 于點 A， AC 為圓 O 的直徑， BC 交圓 O 于點 D， E 為 CD 的中點， 且

4、BD=5， AC=6，則 CD=；AE= 12 （5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖， 若是 i6 時，輸出的 S 值為； 若是 i2013 時，輸出的 S 值為 第2頁 共 15 頁 13 （5 分）已知函數(shù) f（x）=，若關(guān)于 x 的方程 f（x）=k 有兩個不同的實根， 則實數(shù) k 的取值范圍是 14 （5 分）曲線 C 是平面內(nèi)到直線 l1：x=1 和直線 l2：y=1 的距離之積等于常數(shù) k2（k0）的點的 軌跡給出下列四個結(jié)論： 曲線 C 過點（1，1） ； 曲線 C 關(guān)于點（1，1）對稱； 若點 P 在曲線 C 上，點 A，B 分別在直線 l1，l2上，則|PA|+|PB|不小于 2

5、k； 設(shè) p1為曲線 C 上任意一點，則點 P1關(guān)于直線 x=1、點（1，1）及直線 y=1 對稱的點分別為 P1、 P2、P3，則四邊形 P0P1P2P3的面積為定值 4k2 其中，所有正確結(jié)論的序號是 三、解答題（本大題共三、解答題（本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 ） 15 （13 分）已知函數(shù) f（x）=sin（ 2x）+2 （）求 f（） ； cos2x，xR （）求 f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間 16 （14 分）如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形

6、，側(cè)面 PAD底面 ABCD， 且 PA=PD=AD，E、F 分別為 PC、BD 的中點 （） 求證：EF平面 PAD； （） 求證：面 PAB平面 PDC； 第3頁 共 15 頁 （） 在線段 AB 上是否存在點 G，使得二面角 CPDG 的余弦值為？說明理由 17 （13 分）某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進經(jīng)濟發(fā)展有大的提速，對市民進行了“生 活滿意”度的調(diào)查現(xiàn)隨機抽取 40 位市民，對他們的生活滿意指數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到如下分布表： 滿意級別 滿意指數(shù)（分） 人數(shù)（個） 非常滿意 90 15 滿意 60 17 一般 30 6 不滿意 0 2 （I）求這 40 位市民滿意指數(shù)的平

7、均值； （II）以這40 人為樣本的滿意指數(shù)來估計全市市民的總體滿意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任 選 3 人，記 表示抽到滿意級別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù)求 的分布列； （III）從這 40 位市民中，先隨機選一個人，記他的滿意指數(shù)為 m，然后再隨機選另一個人，記他的 滿意指數(shù)為 n，求 nm+60 的概率 18 （13 分）已知函數(shù) f（x）= （）若 a=2，求 f（x）在（1，f（1） ）處的切線方程； （）求 f（x）在區(qū)間1，e上的最小值； （）若 f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，求 a 的取值范圍 19 （13 分）如圖已知橢圓 離心率，F(xiàn)1為橢圓的左焦點且 的

8、長軸為 AB，過點B 的直線 l 與 x 軸垂直，橢圓的 =1 （）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點，PHx 軸，H 為垂足，延長 HP 到點 Q 使得 HP=PQ連 接 AQ 并延長交直線 l 于點 M，N 為 MB 的中點，判定直線 QN 與以 AB 為直徑的圓 O 的位置關(guān)系 第4頁 共 15 頁 20 （14 分）設(shè)數(shù)列an，對任意 nN*都有（kn+b） （a1+an）+p=2（a1+a2+an） ， （其中 k、b、p 是 常數(shù)） （1）當(dāng) k=0，b=3，p=4 時，求 a1+a2+a3+an； （2）當(dāng) k=1，b=0，p=0 時，若 a3=3，

9、a9=15，求數(shù)列an的通項公式； （3）若數(shù)列an中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”當(dāng) k=1， b=0，p=0 時，設(shè) Sn是數(shù)列an的前 n 項和，a2a1=2，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”an，使得 對任意 nN*，都有 Sn0，且 有取值；若不存在，說明理由 若存在，求數(shù)列an的首項 a1的所 第5頁 共 15 頁 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共一、選擇題（本大題共 8 8 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 4040 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項要求的一項 ）

10、1 【解答】集合 B=x|2x1=（0，+） ， 又 B=x|x1， 故 AB=x|0x1 故選 C 2 【解答】由題意 p： xR，x2， p： xR，x2， 故選 B 3 【解答】把直線（t 為參數(shù)）的方程，消去參數(shù)，化為普通方程為 y=1x，即 x+y1=0 =，故圓心（0，2）到直線的距離為 故選 A 4 【解答】由題意，拋物線 y2=4x 的準(zhǔn)線 x=1，它和不等式 陰影部分， 目標(biāo)函數(shù)為 z=x2y，作出可行域如右圖， 共同圍成的三角形區(qū)域為圖中 由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點 C 時，直線 z=x2y 的截距最小，此時 z 最大， 點 C 的坐標(biāo)為（1，1） ，此時 z=12（1）=3

11、故選 D 第6頁 共 15 頁 5 【解答】tanxcosx x0，x， ，即 sinx ）（ 且 cosx0， ， 在區(qū)間0，內(nèi)，滿足 tanxcosx 故選 C 發(fā)生的概率為 P= 6 【解答】因為三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐，頂點在底面的射影是底面矩形的長邊的中點，底面邊 長分別為 4，2， 后面是等腰三角形，腰為 3，所以后面的三角形的高為： 所以后面三角形的面積為： 兩個側(cè)面面積為： 4=2 4=6， =， 23=3，前面三角形的面積為： 四棱錐 PABCD 的四個側(cè)面中面積最大的是前面三角形的面積：6 故選 C 7 【解答】在菱形 ABCD 中，BAD=60，ABD 為正三角形，由

12、=18060=120 =（+）=+22cos60+12cos120=21=1， =60，可得 故選 A 第7頁 共 15 頁 8 【解答】a99a10010，a12q1971，（a1q98）21 a11，q0 又，a991，且 a10010q1，即正確； ，0a99a1011，即 a99a10110，故錯誤； 由于 T100=T99a100，而 0a1001，故有 T100T99，故錯誤； 中 T198=a1a2a198=（a1a198） （a2a197）（a99a100）=（a99a100）991， T199=a1a2a199=（a1a199） （a2a198）（a99a101）a1001，

13、故正確 正確的為， 故答案為 B 二、填空題（本大題共二、填空題（本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 9 【解答】二項式的展開式的通項公式為 Tr +1= =80， （2x）5rxr=25rx52r， 令 52r=3，r=1，故展開式中 x3的系數(shù)為 24 故答案為 80 10 【解答】雙曲線 故答案為 11 【解答】如圖所示，連接 AD AB 切圓 O 于點 A，AC 為圓 O 的直徑， BAC=90，ADC=90 由射影定理可得 AC2=CDCB BD=5，AC=6，62=CD（CD+5） ， 解得 CD=4 的一條漸近線方程為 y=，解得

14、 第8頁 共 15 頁 在 RtACD 中， 在ACE 中，由余弦定理可得 AE2=CE2+AC22CEACcosACE = =24 12 【解答】若是 i6 時， 根據(jù)程序框圖轉(zhuǎn)化得： cos+1+cos+1+cos+1+cos+1+cos+1+cos+1=5 若是 i2013 時， 根據(jù)程序框圖轉(zhuǎn)化得： cos =（cos =cos +1+cos +cos +1+cos +cos +1+cos +cos +1+cos ）+（cos +1+cos +cos +1 ）+cos+2013 +2013=2013 故答案為：5；2013 13 【解答】關(guān)于 x 的方程 f（x）=k 有兩個不同的實根

15、， 等價于函數(shù) f（x）與函數(shù) y=k 的圖象有兩個不同的交點， 作出函數(shù)的圖象如下： 第9頁 共 15 頁 由圖可知實數(shù) k 的取值范圍是（1，2） 故答案為： （1，2） 14【解答】 由題意設(shè)動點坐標(biāo)為 （x， y） ， 則利用題意及點到直線間的距離公式的得： |x+1|y1|=k2， 對于，將（1，1）代入驗證，此方程不過此點，所以錯； 對于，把方程中的x 被2x 代換，y 被 2y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于（ 1，1）對稱 正確； 對于，由題意知點 P 在曲線 C 上，點 A，B 分別在直線 l1，l2上，則|PA|x+1|，|PB|y1| |PA|+|PB|2=2k，正確； 對

16、于，由題意知點 P 在曲線 C 上，根據(jù)對稱性， 則四邊形 P0P1P2P3的面積=2|x+1|2|y1|=4|x+1|y1|=4k2所以正確 故答案為： 三、解答題（本大題共三、解答題（本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 ） 15 【解答】 （）函數(shù) f（x）=sin（2x）+2 （4 分） f（）=2sin+=2 ）+ +=2（6 分） =（8 分） xk+，kz， cos2x=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+， （）f（x）=2sin（2x+ 又由 2k2x+ ，它的最小正周期 T=

17、 ，kz，求得 k ，k+ 2k+ 可得函數(shù) f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為k，kz（13 分） 第10頁 共 15 頁 16 【解答】 （）連結(jié) ACBD=F， ABCD 為正方形，F(xiàn) 為 AC 中點，E 為 PC 中點 在CPA中，EFPA（2 分） 且 PA 平面 PAD，EF 平面 PADEF平面 PAD（4 分） （）因為平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD面 ABCD=AD ABCD 為正方形，CDAD，CD 平面 ABCD 所以 CD平面 PAD CDPA（6 分） 又 PA=PD=AD，所以PAD是等腰直角三角形， 且APD=90即 PAPD CDPD=D，且 CD、PD 面 P

18、DC PA面 PDC 又 PA 面 PAB， 面 PAB面 PDC.（9 分） （） 如圖，取 AD 的中點 O，連結(jié) OP，OF PA=PD，POAD 側(cè)面 PAD底面 ABCD， 面 PAD面 ABCD， PO面 ABCD， 而 O，F(xiàn) 分別為 AD，BD 的中點，OFAB， 又 ABCD 是正方形，故 OFAD PA=PD=AD，PAPD，OP=OA=1 以 O 為原點，直線 OA，OF，OP 分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則有 A（1，0，0） ，F(xiàn)（0，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0，1） 若在 AB 上存在點 G，使得二面角 CPDG 的余弦值為 連結(jié) P

19、G，DG 設(shè) G（1，a，0） （0a2） 由（）知平面 PDC 的法向量為=（1，0，1） ， 設(shè)平面 PGD 的法向量為 =（x，y，z） =（1，0，1） ，=（2，a，0） ， 第11頁 共 15 頁 由，=0 可得，令 x=1，則 y=，z=1， 故 =（1，1） ， cos=， 解得，a= ，0） ，使得二面角 CPDG 的余弦值為（14 分）所以，在線段 AB 上存在點 G（1， 17 【解答】 （）記 表示這 40 位市民滿意指數(shù)的平均值，則 =63.75 （） 的可能取值為 0、1、2、3 設(shè)滿意級別為“非常滿意或滿意”為事件 M，則 P（M）= P（=i）= 的分布列為 P

20、 0 ，可知 B ，i=0，1，2，3 123 （）設(shè)所有滿足條件 nm+60 的事件為 A 滿足 m=0 且 n=60 的事件數(shù)為： 滿足 m=0 且 n=90 的事件數(shù)為： 滿足 m=30 且 n=90 的事件數(shù)為： P（A）= =30 所以滿足條件 nm+60 的事件的概率為 第12頁 共 15 頁 18 【解答】 （I）當(dāng) a=2 時，f（x）= f（1）=1，f（1）=， ，f（x）=x， 故 f（x）在（1，f（1） ）處的切線方程為：y 化為一般式可得 2x+2y3=0.（3 分） （）求導(dǎo)數(shù)可得 f（x）=x= =（x1） 由 a0 及定義域為（0，+） ，令 f（x）=0，解

21、得 x= 若 ， 1，即 0a1，在（1，e）上，f（x）0，f（x）在1，e上單調(diào)遞增， 因此，f（x）在區(qū)間1，e的最小值為 f（1）= 若 1 在 （ 若 e，即 1ae2，在（1，）上，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減； ） =， e） 上， f （x） 0， （f x） 單調(diào)遞增， 因此 （f x） 在區(qū)間1， e上的最小值為 （f ，即 ae2在（1，e 上，f（x）0，f（x）在1，e上單調(diào)遞減， ； 因此，f（x）在區(qū)間1，e上的最小值為 f（e）= 綜上，當(dāng) 0a1 時，fmin（x）=；當(dāng) 1ae2時，fmin（x）= 當(dāng) ae2時，fmin（x）= （9 分） （） 由（）可

22、知當(dāng)0a1 或 ae2時，f（x）在（1，e）上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可能存 在兩個零點 當(dāng) 1ae2時，要使 f（x）在區(qū)間（1，e）上恰有兩個零點，則 即，此時，ea 所以，a 的取值范圍為（e，）.（13 分） 19 【解答】 （）易知 A（a，0） ，B（a，0） ，F(xiàn)1（c，0） ， 又， ，a2c2=b2=1， ，解得 a2=4， 第13頁 共 15 頁 ； （）設(shè) P（x0，y0） ，則 Q（x0，2y0） （x02） ， ，所以直線 AQ 方程， ，則， ， ， ， 又點 P 的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則 所以， 直線 QN 的方程： 化簡整理得到： 所以點 O 到直線 QN 的距離 故直線 QN 與 AB 為直徑的圓 O 相切 ， ，即 x0 x+2y0y=4， ， 20 【解答】 （1）當(dāng) k=0，b=3，p=4 時，3（a1+an）4=2（