1、matlab線性代數(shù)問題,數(shù)值運(yùn)算是MATLAB最基本、最重要的功能，MATLAB能夠成為世界上最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件之一，和它出色的數(shù)值運(yùn)算能力是分不開的。 MATLAB以復(fù)數(shù)矩陣作為基本的運(yùn)算單元，向量和標(biāo)量都作為特殊的矩陣來處理：向量看作只有一行或一列的矩陣；標(biāo)量通?？醋髦挥幸粋€元素的矩陣，在一些特殊的情況下有一定的變化。,一、線性代數(shù)基本方程組,矩陣表示：,二、行階梯法解線性方程,1、線性方程的Matlab表示方法 (1) 由n個變量組成的m個聯(lián)立線性代數(shù)方程組： 其中： 當(dāng)mn時，方程組無解； 當(dāng)m=n時，方程組有唯一解。,(2) 圖解線性方程組及在matlab中的顯示,subplot(2

2、,2,1) ezplot(x1-2*x2+1) hold on ezplot(-x1+3*x2-3) subplot(2,2,2) ezplot(x1-2*x2+1) hold on ezplot(-x1+2*x2-3),subplot(2,2,3) ezplot(x1-2*x2+1) hold on ezplot(-x1+2*x2-1) subplot(2,2,4) ezplot(x1+x2-1) hold on ezplot(x1-x2-3) hold on ezplot(-x1+2*x2+3),對于函數(shù) f = f(x)（或隱函數(shù)f = f(x,y)） ezplot(f) 在 -2*pi

3、 x 2*pi 范圍內(nèi)畫 f ezplot(f, a,b) 在 a x b 范圍內(nèi)畫出f ezplot(x,y) 在 0 t 2*pi 范圍內(nèi)繪制帶參數(shù)的平面曲線 x = x(t) 和 y = y(t) ezplot(x,y, tmin,tmax) 在 tmin A=1,4,7;8,5,2;3,6,-2;b=1;3;5;C=A,b;,例：求齊次線性方程組的通解 A=1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2; rref(A),例：行階梯法解mA=1,-0.25,-0.25,0;-0.25,1,0,-0.25;-0.25,0,1,-0.25;0,-0.25,-0.25,1 b=7.5

4、;15;10;17.5 U=rref(A,b),(2) 化學(xué)方程式配平 要使方程配平，x1,x2,x3,x4必須滿足 寫成矩陣方程,(3) 交通流量分析 某城市有兩組單行道，構(gòu)成了一個包含四個節(jié)點(diǎn)A,B,C,D的十字路口，如下圖所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進(jìn)出此十字路口的流量（每小時的車流數(shù)）標(biāo)于圖上。現(xiàn)要求計算每兩個節(jié)點(diǎn)之間路段上的交通流量x1, x2, x3, x4。,分析：在每個節(jié)點(diǎn)上，進(jìn)入和離開的車數(shù)應(yīng)該相等，這就決定了四個節(jié)點(diǎn)的流通方程： 節(jié)點(diǎn)A: x1+450x2+610 節(jié)點(diǎn)B: x2+520x3+480 節(jié)點(diǎn)C: x3+390x4+600 節(jié)點(diǎn)D: x4+640x2+310

5、 即：,三、用矩陣運(yùn)算法解線性方程組,1、矩陣運(yùn)算規(guī)則 (1) 矩陣加(減)法 (2) 矩陣乘法 (3) 矩陣除法:除法運(yùn)算有左除（）和右除（/）兩種。若AB=C，則B=AC，即B等于A左除C；A=C/B，即A等于C右除B。這兩種運(yùn)算常用于解線性方程組，即X=AB是方程組AX=B的解，X=B/A是方程組XA=B的解。 (4) 矩陣轉(zhuǎn)置 (5) 矩陣分塊 (8) 矩陣求冪,（9）矩陣的秩 行階梯法:行階梯化簡后非全為零的行數(shù)就是該矩陣的秩。 用MATLAB函數(shù)r=rank(A) A=3 4 -7 -12;5 -7 4 2;1 0 8 -5;-6 5 -2 10; b=4 -3 9 -8;,例(滿

6、秩)： A=5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5; B=1 0 0 0 1; R_A=rank(A) %求秩 X=AB %求解,例(不滿秩)： A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; B=1 4 0; R_A=rank(A) X=AB,2 求線性齊次方程組的通解,在Matlab中，函數(shù)null用來求解零空間，即滿足AX=0的解空間，實(shí)際上是求出解空間的一組基(基礎(chǔ)解系)。其格式為： z = null(A) z的列向量為方程組的正交規(guī)范基，滿足z z = I。 z = null(A,r) z的列向量是方程AX

7、=0的有理基,例 求方程組的通解： A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3; format rat %指定有理式格式輸出 B=null(A,r) %求解空間的有理基,3 求非齊次線性方程組的通解 非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，再去求通解。 因此，步驟為： 第1步: 判斷AX=b是否有解，若有解則進(jìn)行第二步 第2步: 求AX=b的一個特解 第3步: 求AX=0的通解 第4步: AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一個特解,例：求解方程組 A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2; b=1 2 3; B=A b; n=4; R_

8、A=rank(A), R_B=rank(B), format rat if R_A=R_B0 1 -1 1;1 3 0 1;0 -7 3 1; %輸入系數(shù)矩陣 B=4 -3 1 -3; %常數(shù)項(xiàng)B,(3) Cholesky分解 如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=RR。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進(jìn)行Cholesky分解，其調(diào)用格式為： R=chol(X)：產(chǎn)生一個上三角陣R，使RR=X。若X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息。 R,p=chol(X)：這個命令格式將不輸出出錯信

9、息。當(dāng)X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足RR=X(1:q,1:q)。 實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成RRx=b，所以x=R(Rb)。,例： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; R=chol(A) ? Error using = chol Matrix must be positive definite 命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明A為非正定矩陣。, A=1 1 1 1;1 2 3 4;1 3 6 10;

10、1 4 10 20; %輸入對稱正定系數(shù)矩陣A B=4 8 18 38; %輸入常數(shù)矩陣B R=chol(A) %對矩陣A進(jìn)行Cholesky分解 x=R(RB) %求解線性方程組,（4） Schur分解 Matlab使用函數(shù)schur實(shí)現(xiàn)Schur分解，其格式為： R = schur(A) R為schur矩陣, 即R的主對角線元素為特征值的三角陣R = schur(A,flag) 若A有復(fù)特征根，則flag=complex，否則flag=real。 Q,R = schur(A,) 返回正交矩陣Q和schur矩陣R，滿足A = Q*R*Q。,例 H = -149 -50 -154; 537 1

11、80 546; -27 -9 -25 ; Q, R=schur(H),四特征值與二次型,4.1 特征值與特征向量的求法 計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，格式有3種： (1)E=eig(A) 求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。 (2)V,D=eig(A) 求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。 (3)V,D=eig(A,nobalance) 與第2種格式類似，但直接求矩陣A的特征值和特征向量。 (4)V,D=eig(A,B) 計算廣義特征值和特征向量，使AV=BVD。,例 求矩陣的特征值和特征向量 A=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3; B=

12、-1 1 0;-4 3 0;1 0 2; V,D=eig(A),例：用求特征值的方法解方程 3x5 - 7x4 + 5x2 + 2x - 18 = 0 程序?yàn)椋?p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A的伴隨陣 x1=eig(A) %求A的特征值 x2=roots(p) %求多項(xiàng)式p的零點(diǎn),4.2 正交基 函數(shù)orth將矩陣A標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到矩陣B。其格式為： B=orth(A) 其中：B的列與A的列具有相同的空間，B的列向量是正交向量，且滿足 B*B = eye(rank(A),例 將矩陣 標(biāo)準(zhǔn)正交化 A=4 0 0; 0 3 1; 0 1 3; B=orth(A)

13、 Q=B*B,4.3 二次型 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟,解,1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值,例,從而得特征值,2求特征向量,3將特征向量正交化,得正交向量組,4將正交向量組單位化，得正交矩陣,于是所求正交變換為,程序?yàn)椋?A=17 -2 -2;-2 14 -4;-2 -4 14; P,D=schur(A) syms y1 y2 y3 y=y1;y2;y3; X=vpa(P,2)*y %vpa表示可變精度計算 f=y1 y2 y3*D*y,例,例 求一個正交變換X=PY，把二次型 化成標(biāo)準(zhǔn)形。 A=0 1 1 -1;1 0 -1 1;1 -1 0 1;-1 1 1 0; P,D

14、=schur(A) syms y1 y2 y3 y4 y=y1;y2;y3;y4; X=vpa(P,2)*y f=y1 y2 y3 y4*D*y,6. 非線性方程數(shù)值求解,6.1 單變量非線性方程求解 在MATLAB中提供了一個fzero函數(shù)，可以用來求單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為： z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索的起點(diǎn)。一個函數(shù)可能有多個根，但fzero函數(shù)只給出離x0最近的那個根。tol控制結(jié)果的相對精度，缺省時取tol=eps，trace指定迭代信息是否在運(yùn)算中顯示，為1時顯示，為0時不顯示，缺省時取tr

15、ace=0。,例 求f(x)=x-10 x+2=0在x0=0.5附近的根。 首先， 建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; 然后，調(diào)用fzero函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5),6.2 非線性方程組的求解 對于非線性方程組F(X)=0，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為： X=fsolve(fun,X0,option) 計算由參數(shù)fun=0決定的方程的根，x0是估計的方程根的初值，options是優(yōu)化參數(shù)，可取的值有0（默認(rèn)）和1。,例 求下列非線性方程組在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。 x-0.6

16、*sin(x)-0.3*cos(y)=0 y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y)=0 (1) 建立函數(shù)文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用fsolve函數(shù)求方程的根。 x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off),例 求解非線性方程x*3x1=0的根，并給出相關(guān)信息。 x0=0.8; %設(shè)定根的初值 x1,fv,e

17、x,out,jac=fsolve(x*3x-1,x0,options),數(shù)組操作的其它常用函數(shù)及命令,1.數(shù)組的保存和裝載,（1）在命令窗口保存數(shù)組 格式 save %在命令窗口保存 Workspace工作空間中的所有變量，文件名后綴為.mat save filename %在文件filename.mat中保存Workspace中的所有變量 save filename v1 v2 %在文件filename.mat中保存Workspace中的,1.數(shù)組的保存和裝載,（2）利用存取數(shù)據(jù)文件的方式保存數(shù)組 先建立一個M文件，名稱為abc.m，如其程序?yàn)椋?A=12.8 15.6 16.5 14.5

18、15.8 16.7 18 19.2 20.4; B=1 3 6 8 10 13. 17 19 21; save xyz A B 這樣就將數(shù)組A、B保存在文件名為xyz的數(shù)據(jù)文件，即xyz.mat文件。 （3）利用Workspace菜單保存數(shù)組 若Workspace內(nèi)存變量中已有數(shù)組A、B，可使用菜單欄中的“Save As”對話框來進(jìn)行操作。,（4）數(shù)組的裝載 若要調(diào)用數(shù)組A、B，只需在MATLAB命令窗口使用命令： load xyz 即可將數(shù)組A、B導(dǎo)入Workspace中。,2 數(shù)組尋址和賦值,2.1 數(shù)組尋址 （1）訪問一個元素：x(i)表示訪問數(shù)組x的第i個元素。 （2）訪問一塊元素：x(a:b:c)表示訪問數(shù)組x的從第a個元素開始，以步長為b，到第c個元素（但不超過c），b可以為負(fù)數(shù)，b缺省時為1。 （3）直接使用元素編址序號：x(a b c d ) 表示提取數(shù)組x的第a、b、c、d個元素構(gòu)成一個新的數(shù)組x(a) x(b) x