1、因動點產(chǎn)生的直角三角形問題 一解答題（共 7 小題） 1如圖所示，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，點 F 在 DC 上，DF=2動點 M、N 分別從點 D、B 同 時出發(fā)，沿射線 DA、線段 BA 向點 A 的方向運(yùn)動（點 M 可運(yùn)動到 DA 的延長線上） ，當(dāng)動點 N 運(yùn) 動到點 A 時，M、N 兩點同時停止運(yùn)動連接 FM、MN、FN，過FMN 三邊的中點作PQW設(shè)動 點 M、N 的速度都是 1 個單位/秒，M、N 運(yùn)動的時間為 x 秒試解答下列問題： （1）說明FMNQWP； （2）設(shè) 0x4試問 x 為何值時，PQW 為直角三角形？ （3）試用含的代數(shù)式表示 MN2，并求當(dāng) x

2、為何值時，MN2最小？求此時 MN2的 值 2已知，ABC 是邊長 3cm 的等邊三角形動點 P 以 1cm/s 的速度從點 A 出發(fā)，沿線段 AB 向 點 B 運(yùn)動 （1）如圖1，設(shè)點P 的運(yùn)動時間為 t（s） ，那么t=_（s）時，PBC 是直角三角 形； （2）如圖 2，若另一動點 Q 從點 B 出發(fā)，沿線段 BC 向點 C 運(yùn)動，如果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)設(shè)運(yùn)動時間為 t（s） ，那么 t 為何值時，PBQ 是直角三角形？ （3）如圖 3，若另一動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運(yùn)動連接 PQ 交 AC 于 D如果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度

3、同時出發(fā)設(shè)運(yùn)動時間為 t（s） ，那么 t 為何值時，DCQ 是等腰三角 形？ （4）如圖 4，若另一動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運(yùn)動連接 PQ 交 AC 于 D，連接 PC如 果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)請你猜想：在點 P、Q 的運(yùn)動過程中，PCD 和QCD 的面積有什么關(guān)系？并說明理由 3將一個直角三角形紙片 OAB 放置在平面直角坐標(biāo)系中（如圖） ，若斜邊所在的直線為 y= 2x+4 點 B是 OA 上的動點， 折疊直角三角形紙片 OAB， 使折疊后點 B 與點 B重合， 折痕與邊 OB 交于點 C，與邊 AB 交于點 D （1）若 B與點 O 重合，

4、直接寫出點 C、D 的坐標(biāo)； （2）若 B與點 A 重合，求點 C、D 的坐標(biāo)； （3）若 BDOB，求點 C、D 的坐標(biāo) 4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0） ，點 C 在 y 軸的正半軸上，BCx 軸，且 BC=5， AB 交 y 軸于點 D， （1）求出 C 的坐標(biāo) （2）過 A，C，B 三點的拋物線與 x 軸交于點 E，連接 BE，若動點 M 從點 A 出發(fā)沿 x 軸正方向 運(yùn)動，同時動點 N 從點 E 出發(fā)，在直線 EB 上作勻速運(yùn)動，運(yùn)動速度為每秒 1 個單位長度，當(dāng) 運(yùn)動時間 t 為多少時，MON 為直角三角形 5 （2009衡陽）如圖，AB 是O 的直徑，弦 BC=2cm，

5、ABC=60 度 （1）求O 的直徑； （2）若 D 是 AB 延長線上一點，連接 CD，當(dāng) BD 長為多少時，CD 與O 相切； （3）若動點E 以 2cm/s 的速度從 A 點出發(fā)沿著 AB 方向運(yùn)動，同時動點F 以 1cm/s 的速度從 B 點出發(fā)沿 BC 方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t（s） （0t2） ，連接 EF，當(dāng) t 為何值時，BEF 為 直角三角形 6如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，O 交 x 軸于 A、B 兩點，直線 FAx 軸于點 A，點 D 在 FA 上，且 DO 平行于O 的弦 MB，連 DM 并延長交 x 軸于點 C （1）判斷直線 DC 與O 的位置關(guān)系，并給出證

6、明； （2）設(shè)點 D 的坐標(biāo)為（2，4） ，求 MC 的長；若動點 P 從點 A 出發(fā)向點 D 勻速運(yùn)動，速 度是每秒 1 個單位長；同時點 Q 從點 D 出發(fā)向點 C 勻速運(yùn)動，速度是每秒 2 個單位長；其中一 個點到達(dá)終點時運(yùn)動即結(jié)束連接 PQ 交 OD 于點 H，當(dāng)PDH 為直角三角形時，求點 P 的坐標(biāo) 7已知點 M，N 的坐標(biāo)分別為（0，1） ， （0，1） ，點 P 是拋物線 y=上的 一個動點 （1）求證：以點 P 為圓心，PM 為半徑的圓與直線 y=1 的相切； （2）設(shè)直線 PM 與拋物線的另一個交點為點 Q，連接 NP，NQ，求證：PNM=QNM； （3）是否存在這樣的點P

7、，使得PMN 為等腰直角三角形？若存在，請求出P 點的坐標(biāo)；若不 存在，請說明理由 答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一解答題（共 7 小題） 1如圖所示，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，點 F 在 DC 上，DF=2動點 M、N 分別從點 D、B 同 時出發(fā)，沿射線 DA、線段 BA 向點 A 的方向運(yùn)動（點 M 可運(yùn)動到 DA 的延長線上） ，當(dāng)動點 N 運(yùn) 動到點 A 時，M、N 兩點同時停止運(yùn)動連接 FM、MN、FN，過FMN 三邊的中點作PQW設(shè)動 點 M、N 的速度都是 1 個單位/秒，M、N 運(yùn)動的時間為 x 秒試解答下列問題： （1）說明FMNQWP； （2）設(shè) 0x4試問 x 為何值時

8、，PQW 為直角三角形？ （3）試用含的代數(shù)式表示 MN2，并求當(dāng) x 為何值時，MN2最??？求此時 MN2的 值 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理。 專題：計算題；證明題。 分析： （1）由根據(jù)題意可知P、W、Q 分別是FMN 三邊的中點，可得PW 是FMN 的中位線，然 后即可證明FMNQWP； （2） 由 （1） 得， FMNQWP， 當(dāng)QWP 為直角三角形時， FMN 為直角三角形， 根據(jù) DM=BN=x， 222222AN=6x，AM=4x，利用勾股定理求得FM =4+x ，MN =（4x）+（6x），F(xiàn)N =（4x）2+16， 222

9、222222然后分當(dāng) MN =FM +FN 時，當(dāng) FN =FM +MN 時，F(xiàn)M =MN +FN 時三種情況討論即可 （3）根據(jù)當(dāng)0x4，即M 從 D 到 A 運(yùn)動時，MNAN，AN=6x，故只有當(dāng)x=4 時，MN 的值 最小即可求得答案，當(dāng) 4x6 時，MN2=AM2+AN2=（x4）2+（6x）2，解得 x 即可 解答：解： （1）由題意可知 P、W、Q 分別是FMN 三邊的中點， PW 是FMN 的中位線，即 PWMN， = ， FMNQWP； （2）由（1）得，F(xiàn)MNQWP， 當(dāng)QWP 為直角三角形時，F(xiàn)MN 為直角三角形，反之亦然 由題意可得 DM=BN=x，AN=6x，AM=4x

10、， 由勾股定理分別得 FM2=4+x2，MN2=（4x）2+（6x）2，F(xiàn)N2=（4x）2+16， 當(dāng) MN2=FM2+FN2時， （4x）2+（6x）2=4+x2+（4x）2+16， 解得， 當(dāng) FN2=FM2+MN2時， （4x）2+16=4+x2+（4x）2+（6x）2 此方程無實數(shù)根， FM2=MN2+FN2時，4+x2=（4x）2+（6x）2+（4x）2+16， 解得 x 1=10（不合題意，舍去） ，x2=4， 綜上，當(dāng)或 x=4 時，PQW 為直角三角形 （3）當(dāng) 0x4，即 M 從 D 到 A 運(yùn)動時，MNAN，AN=6x， 故只有當(dāng) x=4 時，MN 的值最小，MN2的值也最

11、小，此時 MN=2，MN2=4， （10 分） 22222當(dāng) 4x6 時，MN =AM +AN =（x4） +（6x） ， =2（x5）2+2， 當(dāng) x=5 時，MN2取得最小值 2， 當(dāng) x=5 時，MN2的值最小，此時 MN2=2 點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，三角形中 位線定理等知識點的理解和掌握，難度較大，綜合性較強(qiáng)，利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識 2已知，ABC 是邊長 3cm 的等邊三角形動點 P 以 1cm/s 的速度從點 A 出發(fā)，沿線段 AB 向 點 B 運(yùn)動 （1）如圖 1，設(shè)點 P 的運(yùn)動時間為 t（s） ，那么 t=（s）時，PB

12、C 是直角三角形； （2）如圖 2，若另一動點 Q 從點 B 出發(fā)，沿線段 BC 向點 C 運(yùn)動，如果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)設(shè)運(yùn)動時間為 t（s） ，那么 t 為何值時，PBQ 是直角三角形？ （3）如圖 3，若另一動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運(yùn)動連接 PQ 交 AC 于 D如果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)設(shè)運(yùn)動時間為 t（s） ，那么 t 為何值時，DCQ 是等腰三角 形？ （4）如圖 4，若另一動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運(yùn)動連接 PQ 交 AC 于 D，連接 PC如 果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)

13、請你猜想：在點 P、Q 的運(yùn)動過程中，PCD 和QCD 的面積有什么關(guān)系？并說明理由 考點：勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積；等腰三角形的判定。 專題：動點型。 分析： （1）當(dāng)PBC 是直角三角形時，B=60，所以 BP=1.5cm，即可算出 t 的值； （2）因為B=60，可選取BPQ=90或BQP=90，然后根據(jù)勾股定理計算出BP 長，即可 算出 t 的大??； （3）因為DCQ=120，當(dāng)DCQ 是等腰三角形時，CD=CQ，然后可證明APD 是直角三角形， 即可根據(jù)題意求出 t 的值； （4）面積相等可通過同底等高驗證 解答：解： （1）當(dāng)PBC 是直角三角形時，B=60， BPC=90，所

14、以 BP=1.5cm， 所以 t= （2 分） （2）當(dāng)BPQ=90時，BP=0.5BQ， 3t=0.5t，所以 t=2； 當(dāng)BQP=90時，BP=2BQ， 3t=2t，所以 t=1； 所以 t=1 或 2（s） （4 分） （3）因為DCQ=120，當(dāng)DCQ 是等腰三角形時，CD=CQ， 所以PDA=CDQ=CQD=30， 又因為A=60， 所以 AD=2AP，2t+t=3， 解得 t=1（s） ； （2 分） （4）相等，如圖所示： 作 PE 垂直 AD，QF 垂直 AD 延長線，因為 AP=CQ， F=AEP，QCF=APE，所以EAPFCQ， 所以 PE=QF，所以，PCD 和QCD

15、同底等高，所以面積相等 點評：本題主要考查對于勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的判定，還要注意三角形面積的求法 3將一個直角三角形紙片 OAB 放置在平面直角坐標(biāo)系中（如圖） ，若斜邊所在的直線為 y= 2x+4 點 B是 OA 上的動點， 折疊直角三角形紙片 OAB， 使折疊后點 B 與點 B重合， 折痕與邊 OB 交于點 C，與邊 AB 交于點 D （1）若 B與點 O 重合，直接寫出點 C、D 的坐標(biāo)； （2）若 B與點 A 重合，求點 C、D 的坐標(biāo)； （3）若 BDOB，求點 C、D 的坐標(biāo) 考點：一次函數(shù)綜合題。 分析： （1）B與點 O 重合，則 CD 是AOB 的中位線，根據(jù)中點定義

16、進(jìn)行解答寫出； （2）B與點 A 重合，則CD 是 AB 的垂直平分線，點D 坐標(biāo)可以根據(jù)（1）求解，再根據(jù)線段垂 直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得BC=AC，然后設(shè)點C 坐標(biāo)為（0，m） ，分別用m 表示出 OC、AC 的長度，再利用勾股定理列式求解即可求出 m 的值，從而點 C 的坐標(biāo)便可求出； （3）若 BDOB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及折疊前后兩個圖形能夠完全重合的性質(zhì) 可以得到OCB=CBD，再根據(jù)同位角相等兩直線平行得到 CBBA，從而證明COB BOA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，設(shè) OB=x 0，然后表示出 OC，在 RtBOC 中，利用勾股 定理列式計算即可求

17、出 x 0 的值，再求出 OC 得到點 C 的坐標(biāo)，利用直線 AB 的解析式求出點 D 的坐標(biāo) 解答：解： （1）C（0，2） ，D（1，2） ； （2）由 y=2x+4 求得 B（0，4） ，A（0，2） 如圖，折疊后點 B 與點 A 重合， 則ACDBCD，BD=DA 由（1）得 D 的坐標(biāo)為（1，2） 設(shè)點 C 的坐標(biāo)為（0，m） （m0） 則 BC=OBOC=4m 于是 AC=BC=4m 在 RtAOC 中，由勾股定理，得 AC2=OC2+OA2， 即（4m）2=m2+22， 解得 ，D 的坐標(biāo)為（1，2） 點 C 的坐標(biāo)為 （3）如圖，折疊后點 B 落在 OA 邊上的點為 B， 且

18、BDOB 則BCDBCD，OCB=CBD 又CBD=CBD， OCB=CBD，有 CBBA RtCOBRtBOA 有，得 OC=2OB 在 RtBOC 中， 設(shè) OB=x 0（x0） ，則 OC=2x0 則 BC=BC=OBOC=42x 0， 在 RtBOC 中，由勾股定理，得 BC2=OC2+OB2 （42x 0） 2=（2x 0） 2+x 0 2， 得 x2 0+16x016=0， 解得 x 00， 點 C 的坐標(biāo)為 BDOB 則可得點 D 的橫坐標(biāo)為 設(shè)點 D 的縱坐標(biāo)為 n 點 D 在直線 y=2x+4 上， 點 D 的坐標(biāo)為 ， 點評：本題綜合考查了一次函數(shù)的知識，翻折對稱的性質(zhì)，勾

19、股定理的應(yīng)用，相似三角形的判 定與相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，并且運(yùn)算量較大，希望通過學(xué)們在解答是 要仔細(xì)分析，小心計算，以避免出錯 4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0） ，點 C 在 y 軸的正半軸上，BCx 軸，且 BC=5， AB 交 y 軸于點 D， （1）求出 C 的坐標(biāo) （2）過 A，C，B 三點的拋物線與 x 軸交于點 E，連接 BE，若動點 M 從點 A 出發(fā)沿 x 軸正方向 運(yùn)動，同時動點 N 從點 E 出發(fā)，在直線 EB 上作勻速運(yùn)動，運(yùn)動速度為每秒 1 個單位長度，當(dāng) 運(yùn)動時間 t 為多少時，MON 為直角三角形 考點：二次函數(shù)綜合題。 專題：數(shù)形結(jié)合；

20、分類討論。 分析： （1）根據(jù)題意首先判斷出BCDAOD，根據(jù)相似比求出 CD 的長，進(jìn)而確定 C 點的坐 標(biāo) （2）首先作 BFx 軸于點 F，則 BF=4根據(jù)拋物線的對稱性及 A、C、O 點的坐標(biāo)和勾股定理 得到 BE、OE、AE 的值再分兩類情況進(jìn)行討論：點 N 在射線 EB 上：若NMO=90，若 NOM=90，ONM=90；點 N 在射線 EB 的方向延長線上：若NMO=90，若NOM=90， ONM=90最終得到結(jié)論 解答：解： （1）BCx 軸， BCDAOD， CD= CO=， ， ， C 點的坐標(biāo)為（0，4） （2）如圖 1，作 BFx 軸于點 F，則 BF=4， 由拋物線的

21、對稱性知 EF=3， BE=5，OE=8，AE=11， 根據(jù)點 N 運(yùn)動方向，分以下兩種情況討論： 點 N 在射線 EB 上， 若NMO=90，如圖 1，則 cosBEF= 解得 t= ， ， 若NOM=90，如圖 2，則點 N 和 G 重合， cosBEF= ，解得 t= ， ， ONM=90的情況不存在 點 N 在射線 EB 的方向延長線上， 若NMO=90，如圖 3，則 cosNEM=cosBEF， ， ，解得 t=， 而NOM=90和ONM=90的情況不存在 綜上，當(dāng) t=、t=或 t=時，MON 為直角三角形 點評：此題考查了拋物線解析式的圖象性質(zhì)、勾股定理等重要知識點，其中（2）小

22、題中用到 了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏 5 （2009衡陽）如圖，AB 是O 的直徑，弦 BC=2cm，ABC=60 度 （1）求O 的直徑； （2）若 D 是 AB 延長線上一點，連接 CD，當(dāng) BD 長為多少時，CD 與O 相切； （3）若動點E 以 2cm/s 的速度從 A 點出發(fā)沿著 AB 方向運(yùn)動，同時動點F 以 1cm/s 的速度從 B 點出發(fā)沿 BC 方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t（s） （0t2） ，連接 EF，當(dāng) t 為何值時，BEF 為 直角三角形 考點：切線的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。 專題：代數(shù)幾何綜

23、合題。 分析： （1）根據(jù)已知條件知：BAC=30，已知 AB 的長，根據(jù)直角三角形中，30銳角所對 的直角邊等于斜邊的一半可得 AB 的長，即O 的直徑； （2）根據(jù)切線的性質(zhì)知：OCCD，根據(jù) OC 的長和COD 的度數(shù)可將 OD 的長求出，進(jìn)而可將 BD 的長求出； （3）應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)EFBC 時，BEF 為直角三角形，根據(jù)BEFBAC，可將 時間 t 求出； 當(dāng) EFBA 時，BEF 為直角三角形，根據(jù)BEFBCA，可將時間 t 求出 解答：解： （1）AB 是O 的直徑， ACB=90； ABC=60， BAC=180ACBABC=30； AB=2BC=4cm，即O 的直

24、徑為 4cm （2）如圖（1）CD 切O 于點 C，連接 OC，則 OC=OB= AB=2cm CDCO；OCD=90； BAC=30， COD=2BAC=60； D=180CODOCD=30； OD=2OC=4cm； BD=ODOB=42=2（cm） ； 當(dāng) BD 長為 2cm，CD 與O 相切 （3）根據(jù)題意得： BE=（42t）cm，BF=tcm； 如圖（2）當(dāng) EFBC 時，BEF 為直角三角形，此時BEFBAC； BE：BA=BF：BC； 即： （42t） ：4=t：2； 解得：t=1； 如圖（3）當(dāng) EFBA 時，BEF 為直角三角形，此時BEFBCA； BE：BC=BF：BA；

25、即： （42t） ：2=t：4； 解得：t=1.6； 當(dāng) t=1s 或 t=1.6s 時，BEF 為直角三角形 點評：本題考查圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識的綜 合應(yīng)用能力在求時間 t 時應(yīng)分情況進(jìn)行討論，防止漏解 6如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，O 交 x 軸于 A、B 兩點，直線 FAx 軸于點 A，點 D 在 FA 上，且 DO 平行于O 的弦 MB，連 DM 并延長交 x 軸于點 C （1）判斷直線 DC 與O 的位置關(guān)系，并給出證明； （2）設(shè)點 D 的坐標(biāo)為（2，4） ，求 MC 的長；若動點 P 從點 A 出發(fā)向點 D 勻速運(yùn)動，速 度是每

26、秒 1 個單位長；同時點 Q 從點 D 出發(fā)向點 C 勻速運(yùn)動，速度是每秒 2 個單位長；其中一 個點到達(dá)終點時運(yùn)動即結(jié)束連接 PQ 交 OD 于點 H，當(dāng)PDH 為直角三角形時，求點 P 的坐標(biāo) 考點：切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；切割線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。 專題：動點型；探究型。 分析： （1）連 OM，根據(jù)全等三角形的判定方法得到DAODMO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可 得到 OMDC，根據(jù)切線的判定定理就可以判定 DC 切O 于 M； （2）根據(jù)已知條件容易證明OMCDAC，根據(jù)相似比即可求得 MC 的長； 分兩種情況：當(dāng)PHD=90時；當(dāng)DPH=90時； 解答：證明： （

27、1）連 OM， DOMB， 1=2，3=4 OB=OM， 1=3 2=4 在DAO 與DMO 中 ， DAODMO OMD=OAD FAx 軸于點 A， OAD=90 OMD=90 即 OMDC DC 切O 于 M （4 分） 解： （2）D（2，4） ， OA=2（即O 的半徑） ，AD=4 由（1）知 DM=AD=4， OMCDAC， = = AC=2MC 在 RtACD 中，CD=MC+4， （2MC）2+42=（MC+4）2 MC= 或 MC=0（不合，舍去） ， MC 的長為 （8 分） （3）由（2）知 CD= 當(dāng)PHD=90時，由切線長性質(zhì)定理知 PO 平分PDQ， PD=QD 4t=2t，（符合題意） P（2， ） （10 分） 當(dāng)DPH=90時，PQAC， DPQDAC 即 ，（符合題意） P（2，） （12 分） 點評：此題把全等三角形，相似三角形，平行線等知識和圓結(jié)合起來，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué) 生有較高的分析問題、解決問題的能力 7已知點 M，N 的坐標(biāo)分別為（0，1） ， （0，1） ，點 P