1、中考數(shù)學(xué)之四邊形專題復(fù)習(xí) 1平行四邊形的判定和性質(zhì)： 性質(zhì) 平行四邊形對(duì)邊平行； 平行四邊形對(duì)邊相等； 平行四邊形對(duì)角相等； 平行四邊形鄰角互補(bǔ)； 平行四邊形對(duì)角線互相平分 平行四邊形的面積S ah（ a ha是a邊上的高） 平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是對(duì)角線交點(diǎn) 注意： 1平行四邊形的面積：平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積如圖1， 判定 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形； 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形； 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形； 兩組對(duì)角分別相等的四邊形； 對(duì)角線互相平分的四邊形 2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等如圖2， 3. 平行四邊對(duì)角線分得的四個(gè)三角

2、形面積相等。 2矩形的判定和性質(zhì) 判定性質(zhì) 矩形具備平行四邊形的性質(zhì) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形四個(gè)角都是直角 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形矩形兩條對(duì)角線相等 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形矩形是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸 矩形面積 Sab(a、b 分別表示矩形的長(zhǎng)和寬) 3菱形的判定和性質(zhì) 判定 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱 形 四條邊都相等的四邊形是菱形 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱 形 4正方形的判定和性質(zhì) 判定 有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊 形是正方形 一組鄰邊相等的矩形是正方形 一個(gè)角是直角的菱形是正方形 對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方

3、性質(zhì) 正方形具備平行四邊形性質(zhì) 正方形既具備矩形特殊性質(zhì)，又具備菱形特殊性質(zhì)，即： 四邊都相等；四個(gè)角都是直角；兩條對(duì)角線互相垂直平分且 相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；既是中心對(duì)稱圖形，又是 2 軸對(duì)稱圖形，它有 4 條對(duì)稱軸面積 Sa （a 表示正方 性質(zhì) 菱形具備平行四邊形的性質(zhì) 菱形四邊都相等 菱形兩條對(duì)角線互相垂直且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸 菱形面積S aha 1 l1l2（l1、l2分別表示菱形兩對(duì)角線的長(zhǎng)） 2 形 5梯形的判定和性質(zhì) 類別判定 形的邊長(zhǎng)） 性質(zhì) 梯形一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行 梯形中位線平行于兩底且等于兩底和

4、的一半 梯形面積S （ab）h mh（a、b是梯形的上下 底，h 是高，m 是中位線） 兩腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上兩角相等的梯形是等腰梯形 對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形 等腰梯形具有一般梯形的性質(zhì) 等腰梯形兩腰相等 等腰梯形同一底上兩角相等 等腰梯形對(duì)角線相等 等腰梯形是軸對(duì)稱圖形 直角梯形具有一般梯形的性質(zhì) 直角梯形的一腰垂直于底邊 1 2 梯形 一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊 形是梯形 等腰 梯形 直角 梯形 有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形 6梯形中的常用輔助線： 7.平行線等分線段定理 （1）如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上所截得的線段也相等 （2）

5、經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且與另一邊平行的直線必平分第三邊 （3）經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)且與底邊平行的直線必平分另一腰 8三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半 梯形的中位線平行于兩底且等于兩底和的一半 典型例題：典型例題： 例 1.如圖，ABCD 中，AE=CF，AE 與 CF 交于點(diǎn) O，連結(jié) BO求證：AOB=COB 解：作解：作 BMBMCFCF 于于 M M，BNBNAEAE 于于 N N，連接，連接 BEBE、BFBF； 根據(jù)根據(jù)和和 AE=CFAE=CF，可證，可證 BN=BMBN=BM， 于是于是AOB=AOB=COBCOB 例 2.如圖：工人師傅要把一塊三角形的鋼

6、板，通過(guò)切割焊接成一個(gè) 與其面積相等的平行四邊形 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案并在圖中標(biāo)出焊接線， 然后證明你的結(jié)論 解：如圖，分別取邊解：如圖，分別取邊 ABAB、ACAC 的中點(diǎn)的中點(diǎn) D D、E E，沿線段，沿線段 DEDE 切割開(kāi)，將切割開(kāi)，將ADEADE 的邊的邊 AEAE 與邊與邊 ECEC 重合重合( (點(diǎn)點(diǎn) A A 與點(diǎn)與點(diǎn) C C 重合、點(diǎn)重合、點(diǎn) E E 與點(diǎn)與點(diǎn) E E 重合重合) )后焊接，點(diǎn)后焊接，點(diǎn) D D 至點(diǎn)至點(diǎn) F F 處，則所得四邊形處，則所得四邊形 DBCFDBCF 為平行四邊形證明略為平行四邊形證明略 例 3. 已知：平行四邊形ABCD 中，對(duì)角線AC、BD 相交于

7、點(diǎn) O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G 分別是 OC，OD，AB 的中點(diǎn)求證： (1)BEAC； (2)EG=EF。 證明：證明：(1)(1) 四邊形四邊形 ABCDABCD 是平行四邊形，是平行四邊形， AD=BC AD=BC，BD=2BOBD=2BO 由已知由已知 BD=2ADBD=2AD， BO=BC BO=BC，又，又 E E 是是 OCOC 中點(diǎn)，中點(diǎn)， BE BEACAC (2)(2)由由(1)BE(1)BEACAC，又，又 G G 是是 ABAB 中點(diǎn)，中點(diǎn)， EF EF 是是OCDOCD 的中位線，的中位線，又又， 例 4如圖，ABCD 為等腰梯形，ABCD，對(duì)角線 AC，BD 交于

8、 O，且AOB=60，又 E，F(xiàn)，G 分別為 DO，AO，BC 的 中點(diǎn) 求證：EFG 是等邊三角形。 證明：連接證明：連接 ECEC ABCD ABCD 為等腰梯形，為等腰梯形， AD=BC AD=BC，且，且 AC=BDAC=BD 又又 DC=DC DC=DC， ADCADCBCDBCD，ACD=ACD=BDCBDC， ODCODC 為等腰三角形為等腰三角形 DOC=DOC=AOB=60AOB=60， ODCODC 為等邊三角形為等邊三角形 又又 E E 為為 ODOD 中點(diǎn)，中點(diǎn)， OEC=90OEC=90 在在 RtRtBECBEC 中，中，G G 為斜邊的中點(diǎn)，為斜邊的中點(diǎn)， 在在O

9、ADOAD 中，中， E E，F(xiàn) F 分別為分別為 ODOD，OAOA 的中點(diǎn)的中點(diǎn) 。同理。同理 ，故，故EFGEFG 為等邊三角形為等邊三角形 例 5已知，如圖，正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為 6，菱形 EFGH 的三個(gè)頂點(diǎn) E，G，H 分別在正方形 ABCD 邊 AB，CD，DA 上， AH=2，連接 CF (1)當(dāng) DG=2 時(shí)，求FCG 的面積；(2)設(shè) DG=x，用含 x 的代數(shù)式表示FCG 的面積；(3)判斷FCG 的面積能否等于 1，并說(shuō)明理由 解：解：(1)(1) 正方形正方形 ABCDABCD 中，中，AH=2AH=2， DH=4 DH=4 又又 DG=2DG=2，因此，因此 H

10、G=HG=，即菱形，即菱形 EFGHEFGH 的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 ，在在AHEAHE 和和DGHDGH 中，中，A=A=D=90D=90， AH=DG=2 AH=DG=2，EH=HG=EH=HG= AHEAHEDGHDGH。 AHE=AHE=DGHDGH。 DGH+DGH+DHG=90DHG=90， DHG+DHG+AHE=90AHE=90， GHC=90GHC=90，即菱形，即菱形 EFGHEFGH 是正方形同理可以證明是正方形同理可以證明DGHDGHCFGCFG 因此因此FCG=90FCG=90，即點(diǎn)，即點(diǎn) F F 在在 BCBC 邊上，同時(shí)可得邊上，同時(shí)可得 CF=2CF=2，從而，從而

11、(2)(2)作作 FMFMDCDC，M M 為垂足，連結(jié)為垂足，連結(jié) GEGE， AB ABCDCD， AEG=AEG=MGEMGE， HE HEGFGF， HEG=HEG=FGEFGE。 AEH=AEH=MGFMGF。 在在AHEAHE 和和MFGMFG 中，中，A=A=M=90M=90，HE=FGHE=FG， AHEAHEMFGMFG。 FM=HA=2 FM=HA=2， 即無(wú)論菱形即無(wú)論菱形 EFGHEFGH 如何變化，點(diǎn)如何變化，點(diǎn) F F 到直線到直線 CDCD 的距離始終為定值的距離始終為定值 2 2。 因此因此 (3)(3)若若，由，由，得，得，此時(shí)，在，此時(shí)，在DGHDGH 中，

12、中，。 。相應(yīng)地，在相應(yīng)地，在AHEAHE 中，中，即點(diǎn)，即點(diǎn) E E 已經(jīng)不在邊已經(jīng)不在邊 ABAB 上。故不可能有上。故不可能有 另法：由于點(diǎn)另法：由于點(diǎn) G G 在邊在邊 DCDC 上，因此菱形的邊長(zhǎng)至少為上，因此菱形的邊長(zhǎng)至少為 DH=4DH=4， 當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為 4 4 時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) E E 在在 ABAB 邊上且滿足邊上且滿足 HE HE 的長(zhǎng)的長(zhǎng)( (即菱形的邊長(zhǎng)即菱形的邊長(zhǎng)) )將逐漸變大，最大值為將逐漸變大，最大值為 此時(shí)，此時(shí)， 而函數(shù)而函數(shù) 因此，當(dāng)因此，當(dāng) 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，故，故。 ，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn) E E 逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) B B

13、 時(shí)，時(shí)， 。 的值隨著的值隨著的增大而減小，的增大而減小， 時(shí)，時(shí)，取得最小值為取得最小值為。 ，所以，所以FCGFCG 的面積不可能等于的面積不可能等于 1 1。 鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)： 1、把正方形ABCD繞著點(diǎn)A，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點(diǎn)H（如圖） 試問(wèn)線段 HG與線段HB相等嗎？請(qǐng)先觀察猜想，然后再證明你的猜想 CD G H F A B E 2、四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG（1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置 關(guān)系，并證明你的猜想 3、將平行四邊形紙片 ABCD 按如圖方式折疊，使點(diǎn)C 與 A 重合，點(diǎn) D

14、 落到 D 處，折痕為 EF （1）求證：ABEADF； （2）連接 CF，判斷四邊形 AECF 是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論 D AFD BC E 挑戰(zhàn)自我：挑戰(zhàn)自我： 1、 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ） A90 B60 C45 D30 2 2、下列圖形中，單獨(dú)選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形是（） A. 正三角形B. 正方形C. 正五邊形D. 正六邊形 3 （北京順義）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（） A9 B8 C6 D4 4 4、如圖 4，在ABCD 中，對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，若 AC=14

15、，BD=8，AB=10，則OAB 的周長(zhǎng)為。 5、 （寧德市）如圖，在ABCD 中，AEEB，AF2，則 FC 等于_ E D F AEB 第 5 題圖 C AD B 6 題 CF 6、如圖,平行四邊形 ABCD 中, ABC=60,E、F 分別在 CD、BC 的延長(zhǎng)線上,AEBD,EFBC,DF=2,則 EF 的長(zhǎng)為 7 7、 (福建晉江)如圖，請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)關(guān)系中，選出兩個(gè)恰當(dāng) 的關(guān)系作為條件，推出四邊 A D BC 形ABCD是平行四邊形，并予以證明 （寫(xiě)出一種即可）關(guān)系：ADBC，AB CD，A C， BC 180 已知：在四邊形ABCD中，；求證：四邊形ABCD是平行四邊形 8、如圖

16、1，有一張菱形紙片 ABCD，AC 8，BD 6。 D C （1）請(qǐng)沿著 AC 剪一刀，把它分成兩部分，把剪開(kāi)的兩部分拼成一個(gè)平行四 邊形，在圖 2 中用實(shí)數(shù)畫(huà)出你所拼成的平行四邊形;若沿著 BD 剪開(kāi)， 請(qǐng)?jiān)趫D 3 中用實(shí)線畫(huà)出拼成的平行四邊形;并直接寫(xiě)出這兩個(gè)平行四邊 形的周長(zhǎng)。 BA （2）沿著一條直線剪開(kāi)，拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形，請(qǐng)?jiān)趫D4 （圖 1） 中用實(shí)線畫(huà)出拼成的平行四邊形。 （注：上述所畫(huà)的平行四邊形都不能與原菱形全等） DDD CCC ABABAB （圖 2）（圖 3）（圖 4） 周長(zhǎng)為_(kāi)周長(zhǎng)為_(kāi) 9 9、在梯形 ABCD 中，AD/BC，對(duì)角線 ACBD，且AC

17、 5cm，BD=12c m，求梯形中位線的長(zhǎng)。 1010、如圖，在周長(zhǎng)為20cm 的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于點(diǎn)O，OEBD交AD于E，則ABE的周長(zhǎng)為（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm E A D O BC 11 題 o 10 題 1111、如圖，在平行四邊形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，EAF=45 ，且AE+AF=2 2，則平行四邊形ABCD的 周長(zhǎng)是 直擊中考：直擊中考： 1.1. 如圖，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形 EFGH的周長(zhǎng)是（） 【答案】D

18、 A7B9C10D11 2.2. 在ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)F，則AF：CF（） A1：2B1：3C2：3D2：5【答案】A A 3.3. 下面圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第個(gè)圖形一共有1 個(gè)平行四邊形，第個(gè) 圖形一共有 5 個(gè)平行四邊形， 第個(gè)圖形一共有 11 個(gè)平行四邊形， ， 則第個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為( ) 【答案】C 圖圖圖圖 A55B42C41 4.4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（） 【答案】C C A 4 B 5 C 6 D 7 5.5. 正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為（） 【答案】 A120 B135 C140

19、D144 6、圖 1 是一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形和一個(gè)菱形的組合圖形，菱形邊長(zhǎng)為等邊三角形邊長(zhǎng)的一半，以此為基本單 位，可以拼成一個(gè)形狀相同但尺寸更大的圖形（如圖2） ，依此規(guī)律繼續(xù)拼下去（如圖3） ，則第 n 個(gè)圖形的 周長(zhǎng)是（） 【答案】C D29 圖 1圖 2圖 3 （A）2n（B）4n（C）2n1（D）2n2 7.7. 如圖，邊長(zhǎng)為 6 的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（） 【答案】B A.17 B.17 C.18 D.19 8.8. 如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則

20、折痕CE的 長(zhǎng)為（） 【答案】A 3 3 A.2 3 B. C.3 D.6 2 9.9. 如圖，正方形ABCD中，AB6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD3DE將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于 點(diǎn)G， 連結(jié)AG、CF 下列結(jié)論： ABGAFG； BGGC； AGCF； SFGC3 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) 【答 案】C A1B2C3D4 10.10. 如圖，五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙） 若四個(gè)平行四 邊形面積的和為 14cm ，四邊形ABCD面積是 11cm ，則四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（） 【答案】 A （A）48cm（B）36cm（C）24cm（D

21、）18cm 22 E A H D B F C （第 10 題） G 11.11. 如圖,四邊形 ABCD中,AC=a,BD=b,且 ACBD,順次連接四邊形ABCD 各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四 邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有( )【答答 案】案】C 四邊形 A2B2C2D2是矩形;四邊形 A4B4C4D4是菱形; 四邊形 A5B5C5D5的周長(zhǎng) a bab ;四邊形 AnBnCnDn的面積是 n142 A. B. C. D. A D2D1 A1 D3 C3 A2C2 D B A3B3

22、B1C1 B2 C 12.12. 如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與 BD相交于點(diǎn)H下列結(jié)論： （） 【答案】D 3 2CG；若AF=2DF，則BG=6GF其中正確的結(jié)論 4 A只有B只有C只有D AEDDFB；S 四邊形BCDG= D F G A E 第 12 題圖 B H C 13.13. 如圖， 三個(gè)邊長(zhǎng)均為 2 的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個(gè)正方形的中心， 則陰影部分的面積是 .【答 案】2 O2 O 1 14.14.取一張矩形紙片按照?qǐng)D1、圖2 中的方法對(duì)折，并沿圖3 中過(guò)矩形頂點(diǎn)的斜線（虛線）剪

23、開(kāi)，那剪下的這部分 展開(kāi)， 平鋪在桌面上， 若平鋪的這個(gè)圖形是正六邊形， 則這張矩形紙片的寬和長(zhǎng)之比為 .【答案】3:2 15.15. 如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方 法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為。 【答案】 1 n14 1616、 如圖， 菱形 ABCD 的對(duì)角線長(zhǎng)分別為a、b， 以菱形 ABCD 各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作矩形A1B1C1D1， 然后再以矩形 A1B1C1D1 的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作菱形 A2B2C2D2，如此下去，得到四邊形A2009B2009C2009D2009的面積用含a、b的代數(shù)式表示

24、為 【答案】（ ） ab D D 1 D 3 A 2 A A 3 A 1 B 2 B 第20題圖 3 B 3 B 1 D 2 C 3 C 2 C C 1 1 2 2010 1717、如圖，邊長(zhǎng)為 1 的菱形ABCD中，DAB 60連結(jié)對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1，使 D 1 AC 60；連結(jié)AC 1 ，再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AC1C2D2，使 D 2 AC 1 60；，按此規(guī)律所作 的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為 【答案】 3 n1 C C2 2 D D2 2 D D1 1 D D A AB B C C1 1 C C 1818正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 4，M、N分別是BC、CD上的兩

25、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN當(dāng)BM=時(shí)，四邊形ABCN 的面積最大 【答案【答案】2;2; 19、如圖，平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC、BD 交于點(diǎn) O，E、F 在 AC 上，G、H 在 BD 上，AF=CE，BH=DG 求證：GFHE A E G F BC 【答案】證明：平行四邊形【答案】證明：平行四邊形 ABCDABCD 中，中，OA=OCOA=OC， 由已知：由已知：AF=CE AFAF=CE AFOA=CEOA=CEOCOCOF=OEOF=OE同理得：同理得：OG=OHOG=OH 四邊形四邊形 EGFHEGFH 是平行四邊形是平行四邊形GFGFHEHE 20、 如圖，已知線段ABC

26、D，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn). (1)若BK= OH D 5CD KC，求的值； 2AB 1 AD時(shí)，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的 2 (2)連接BE，若BE平分ABC，則當(dāng)AE= 結(jié)論并予以證明再探究：當(dāng)AE= 1 AD (n2)，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量 n 關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明 C C K K D D C C K K E E D D E E A AB B A AB BF F G G 【答案】解：【答案】解： （1 1）ABABCDCD，BKBK= = 5CDCK2 KCKC，= = =.

27、. 2ABBK5 （2 2）如圖所示，分別過(guò)）如圖所示，分別過(guò)C C、D D作作BEBECFCFDGDG分別交于分別交于ABAB的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于F F、G G三點(diǎn)，三點(diǎn)， BEBEDGDG，點(diǎn)，點(diǎn)E E是是ADAD的點(diǎn)，的點(diǎn)，AB=BGAB=BG；CDCDFGFG，CDCDAGAG，四邊形，四邊形CDGFCDGF是平行四邊形，是平行四邊形，CD=FGCD=FG； ABEABE= =EBCEBC，BEBECFCF，EBCEBC= =BCFBCF，ABEABE= =BFCBFC，BCBC= =B BF F， AB-CD=BG-FG=BF=BCAB-CD=BG-FG=BF=BC，AB=BC+CD

28、AB=BC+CD. . 當(dāng)當(dāng)AEAE= = 1 ADAD ( (n 2) )時(shí)，時(shí)， （n1）AB=BC+CDAB=BC+CD. . n 21、如圖，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE 說(shuō)明四邊形ACEF是平行四邊形； 當(dāng)B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說(shuō)明理由 第 25 題圖 【答案】【答案】 （1 1）證明：由題意知）證明：由題意知FDCFDC = =DCADCA = 90 = 90EFEFCACAAEFAEF= =EACEAC AFAF= =CECE= =AEAEF F= =AEFAEF= =EACEAC= =E

29、CAECA又又AEAE= =EAEA AECAECEAFEAF，EFEF= =CACA，四邊形，四邊形ACEFACEF是平行四邊形是平行四邊形 （2 2）當(dāng)）當(dāng)B B=30=30時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形ACEFACEF是菱形是菱形 1 理由是：理由是：B B=30=30，ACBACB=90=90，ACAC= =AB，DEDE垂直平分垂直平分BCBC，BEBE= =CECE 2 1 又又AEAE= =CECE，CECE= =AB，ACAC= =CECE，四邊形，四邊形ACEFACEF是菱形是菱形 2 22、 （2011 山東濱州 10 分）如圖，在ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

30、O作直線MNBC. 設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E,交BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF。那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何下時(shí)， 四邊形AECF 是矩形？并證明你的結(jié)論。 A M B EOFN C （第 24 題圖） 【答案】當(dāng)點(diǎn)【答案】當(dāng)點(diǎn) O O 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 ACAC 的中點(diǎn)（或的中點(diǎn)（或 OA=OCOA=OC）時(shí)，）時(shí)， 四邊形四邊形 AECFAECF 是矩形是矩形2 2 分分 證明：證明：CECE 平分平分BCA,BCA,1=1=2 2，3 3 分分 又又MNMNBC,BC, 1=1=3 3， 3=3=2 2，EO=CO.EO=CO. 5 5 分分 同理，同理，F(xiàn)O=COFO=CO6 6 分分

31、 EO=FOEO=FO 又又 OA=OC,OA=OC, 四邊形四邊形 AECFAECF 是平行四邊形是平行四邊形7 7 分分 又又1=1=2 2，4=4=5 5，1+1+5=5=2+2+4.4. 8 8 分分 又又1+1+5+5+2+2+4=1804=1802+2+4=904=909 9 分分 四邊形四邊形 AECFAECF 是矩形是矩形1010 分分 23、 （2011 湖北襄陽(yáng) 10 分)如圖 9，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合） ，連接PD并將線段PD繞 點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE，DF. （1）求證：ADPEPB； （2）求C

32、BE的度數(shù)； （3）當(dāng) D C AP 的值等于多少時(shí)，PFDBFP？并說(shuō)明理由. AB F APB E 圖 9 【答案】 （1 1）證明：四邊形）證明：四邊形ABCDABCD是正方形是正方形 A APBCPBC9090，ABABADAD，ADPADPAPDAPD90901 1 分分 DPEDPE9090APDAPDEPBEPB9090 ADPADPEPBEPB. . 2 2 分分 （2 2）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)E E作作EGEGABAB交交ABAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G G，則，則EGPEGPA A9090 3 3 分分 D C F APB E G 又又ADPADPEPBEPB，PDPDPEPE，P

33、ADPADEGPEGP EGEGAPAP，ADADABABPGPG，APAPEGEGBGBG4 4 分分 CBECBEEBGEBG4545. . 5 5 分分 （3 3）方法一：）方法一： 當(dāng)當(dāng) AP1 時(shí)，時(shí)，PFEPFEBFPBFP. .6 6 分分 AB2 1 2 AP1 a8 8 分分 AD4 ADPADPFPBFPB，A APBFPBF，ADPADPBPFBPF7 7 分分 設(shè)設(shè)ADADABABa a，則，則APAPPBPBa，BFBFBPBP PD AD2 AP2 55 a，PF PB2 BF2a 42 PBBF5 9 9 分分 PDPF5 又又DPFDPFPBFPBF9090，A

34、DPADPBFPBFP1010 分分 方法二：方法二： 假設(shè)假設(shè)ADPADPBFPBFP，則，則 PBBF . . 6 6 分分 PDPF ADPADPFPBFPB，A APBFPBF，ADPADPBPFBPF7 7 分分 PDAP ，8 8 分分 PFBF PBAP ，9 9 分分 BFBF AP1 時(shí)，時(shí)，PFEPFEBFP.BFP.1010 分分 AB2 PBPBAPAP，當(dāng)當(dāng) 24.24. （2011 湖南永州 10 分）探究問(wèn)題： 方法感悟： 如圖， 在正方形 ABCD 中， 點(diǎn) E， F 分別為 DC， BC 邊上的點(diǎn)， 且滿足EAF=45， 連接 EF， 求證 DE+BF=EF

35、感悟解題方法，并完成下列填空： 將ADE 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得到ABG，此時(shí) AB 與 AD 重合，由旋轉(zhuǎn)可得： AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90, ABG+ABF=90+90=180， 因此，點(diǎn) G，B，F(xiàn) 在同一條直線上 EAF=452+3=BAD-EAF=90-45=45 1=2，1+3=45 即GAF=_ 又 AG=AE，AF=AF GAF_ _=EF，故 DE+BF=EF A 1 3 2 D E G B F C （第 25 題） 方法遷移： 如圖，將RtABC沿斜邊翻折得到ADC，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別為 DC，BC 邊上的點(diǎn)，且EAF= EF 之間有何數(shù)量關(guān)系，

36、并證明你的猜想 A D A 1 3 E B C E C 2 D 1 DAB試猜想 DE，BF， 2 F G BF （第 25 題） （第 25 題）解得圖 問(wèn)題拓展： 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=AD，E，F(xiàn) 分別為 DC,BC 上的點(diǎn)，滿足EAF 么關(guān)系時(shí)，可使得 DE+BF=EF請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由） A D E B F 1 DAB,試猜想當(dāng)B 與D 滿足什 2 C （第 25 題） 【答案】答案】EAFEAF、EAFEAF、GFGF DE+BF=EFDE+BF=EF，理由如下：，理由如下： 假設(shè)假設(shè)BADBAD 的度數(shù)為的度數(shù)為m，將，將ADEADE 繞點(diǎn)繞點(diǎn) A A

37、 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m得到得到ABGABG，此時(shí)，此時(shí) ABAB 與與 ADAD 重合，由旋轉(zhuǎn)可得：重合，由旋轉(zhuǎn)可得： AB=AD,BG=DE,AB=AD,BG=DE, 1=1=2 2，ABG=ABG=D=90D=90, , ABG+ABG+ABF=90ABF=90+90+90=18=180 0， 因此，點(diǎn)因此，點(diǎn) G G，B B，F(xiàn) F 在同一條直線上在同一條直線上 EAF=EAF= 111 m2+2+3=3=BAD-BAD-EAF=EAF=m m m 222 1 m 2 即即GAF=GAF=EAFEAF 又又 AG=AEAG=AE，AF=AFAF=AF GAFGAFEAFEAFGF=EF

38、GF=EF， 又又GF=BG+BF=DE+BFGF=BG+BF=DE+BFDE+BF=EFDE+BF=EF 當(dāng)當(dāng)B B 與與D D 互補(bǔ)時(shí)，可使得互補(bǔ)時(shí)，可使得 DE+BF=EFDE+BF=EF 25、如圖， 等腰梯形ABCD中，AB15，AD20，C30 點(diǎn)M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB、 AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng) （1）設(shè)ND的長(zhǎng)為x，用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫(xiě)出x的取值范圍 （2）當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，請(qǐng)判斷AMN的形狀 1=1=2 2，1+1+3=3= B M A N C D C B MAP N D 解：解： （1 1）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)N N作作BABA的垂線的垂

39、線NPNP，交，交BABA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P P 由已知，由已知，AMAMx x，ANAN2020x x 四邊形四邊形ABCDABCD是等腰梯形，是等腰梯形，ABABCDCD，D DC C3030 ， PANPAND D3030 在在 RtRtAPNAPN中，中，PNPNANANsinsinPANPAN 即點(diǎn)即點(diǎn)N N到到ABAB的距離為的距離為 （1 1 分）分） 1 （2020x x） ， 2 （3 3 分）分） 1 （2020x x） 2 點(diǎn)點(diǎn)N N在在ADAD上，上，0 0x x2020，點(diǎn)，點(diǎn)M M在在ABAB上，上，0 0x x1515， x x的取值范圍是的取值范圍是0 0x x1515