1、微觀(guān)粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。 量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。,這一章開(kāi)始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。 主要介紹： 1. 二個(gè)基本假設(shè)： A. 微觀(guān)粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。 B. 描述微觀(guān)粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。 2. 用定態(tài)薛定諤方程求解三個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題： A. 一維無(wú)限深勢(shì)阱 B. 一維諧振子 C. 勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）,2.1. 物質(zhì)波的波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋,1. 波函數(shù)： 概率波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式， 描述微觀(guān)客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式,例： 一維自由粒子的波函數(shù),經(jīng)典描述： 沿 x

2、 軸勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),量子描述：,以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，,（取實(shí)部）,推廣 ：三維自由粒子波函數(shù),2. 波函數(shù)的強(qiáng)度模的平方,波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積,例：一維自由粒子：,各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定,對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述,t 時(shí)刻，出現(xiàn)在空間（x,y,z）點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比,t 時(shí)刻，粒子出現(xiàn)在空間（x,y,z）點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的概率,t 時(shí)刻，粒子在空間分布的概率密度,的物理意義：, 物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（相位）傳播的過(guò)程,4、 波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件,對(duì)微觀(guān)客體的數(shù)學(xué)描述： 脫離日常生活經(jīng)驗(yàn)，避免借用經(jīng)典語(yǔ)言引起的表觀(guān)矛盾,2.2.、態(tài)的迭加原理

3、,態(tài)迭加原理是量子力學(xué)中一個(gè)很重要的原理，這一節(jié)先作一些初步介紹，隨著學(xué)習(xí)量子力學(xué)內(nèi)容的不斷深入，會(huì)不斷加深對(duì)態(tài)迭加原理的理解。,一、量子態(tài)和波函數(shù) 用波函數(shù) （r,t）來(lái)描述微觀(guān)粒子的量子態(tài)。當(dāng)（r,t）給定后，如果測(cè)量其位置，粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為 。 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋也是波粒二項(xiàng)性的一種體現(xiàn)。 經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程迭加后也是一個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程。如：惠更斯原理。 描述微觀(guān)粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經(jīng)典相同？,二、量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理,1、經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)迭加原理：二列經(jīng)典波1與2線(xiàn)性相加，=a1+b2, 相加后的也是一列波，波的干涉、衍射就

4、是用波的迭加原理加以說(shuō)明的。 量子力學(xué)的二個(gè)態(tài)的迭加原理（P22倒7行）：如果1與2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的 線(xiàn)性迭加態(tài) =c11+c22，（c1 、c2是復(fù)數(shù)） 也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。,2、例：以雙縫衍射實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)上面圖），推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理： 衍射圖樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在。 3、態(tài)的迭加原理 如果1、2、3是體系可能的狀態(tài)，則它們的線(xiàn)性迭加態(tài)=c11+c22+ c33=cii 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)時(shí)，體系部分處在1態(tài)、也部分處在2態(tài)，等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個(gè)態(tài)i。,4、說(shuō)明： （1）量子力學(xué)使用最多的是把可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)分解為某一個(gè)算符本

5、征態(tài)的迭加。 （2）如同經(jīng)典波的分解和迭加，量子力學(xué)的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加，而不是的迭加。,三、一個(gè)結(jié)論：任何一個(gè)波函數(shù)都可以看作是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加。,數(shù)學(xué)表示式： 其中， 是動(dòng)量一定的平面波。這在數(shù)學(xué) 上是成立的，這正好是非周期函數(shù)的富葉立展開(kāi)。,一維情況 ：,說(shuō)明： 1、在態(tài)（r,t）的粒子，它的動(dòng)量沒(méi)有確定的值，由上式可知：粒子可處于任何一個(gè)態(tài)p（r,t） ，但是當(dāng)粒子的狀態(tài)確定后，粒子動(dòng)量集于某一確定值的幾率是一定的。 2、由于量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加，所以1 +1=21不是新的態(tài)，只不過(guò)未歸一化。在態(tài)=c11+c21進(jìn)行測(cè)量時(shí)，發(fā)現(xiàn)粒子要么處在1 ，要么處在

6、2。,2.3. 、薛定諤方程,是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一，只能建立，不能推導(dǎo)，其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。,1. 建立 （簡(jiǎn)單復(fù)雜， 特殊一般）,一維自由粒子的振幅方程,*,2. 一維定態(tài)薛定諤方程,粒子在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，且勢(shì)能不隨時(shí)間變化,3. 三維定態(tài)薛定諤方程,拉普拉斯算符,即 三維定態(tài)薛定諤方程,振幅函數(shù),體系由N個(gè)粒子組成（N1） 體系能量為：,將能量公式變?yōu)樗惴?,5. 多粒子體系的薛定諤方程,將算符公式同時(shí)作用在多粒子波函數(shù),(r1,r2,t)上，這樣就得到多粒子的薛定諤方程:,討論： 1、薛定諤方程也稱(chēng)波動(dòng)方程，描述在勢(shì)場(chǎng)U中粒子狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。 2 、建立方程而不是推導(dǎo)方程，正確

7、性由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè)，不能從其他更基本原理或方程推導(dǎo)出來(lái)，它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。 3、薛定諤方程是線(xiàn)性方程。是微觀(guān)粒子的基本方程，相當(dāng)于牛頓方程。 4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式，否則不滿(mǎn)足自由粒子薛定諤方程。 5、薛定諤方程是非相對(duì)論的方程。,2. 用分離變量法求解,薛定諤的另一偉大科學(xué)貢獻(xiàn),What is life？,薛定諤(Schroding,1897-1961)奧地利人,因發(fā)現(xiàn)原子理論的有效的新形式一波動(dòng)力學(xué)與狄拉克(Dirac,1902-1984)因創(chuàng)立相對(duì)論性的波動(dòng)方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),2.4 粒子流

8、密度和粒子數(shù)守恒定律 （或幾率流密度和幾率守恒定律）,本節(jié)要引入幾率流密度概念，有了它就可以把幾率與電流聯(lián)系起來(lái)。 由薛定諤方程出發(fā)，討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。所以可以看作對(duì)薛定諤方程的討論。,設(shè)已歸一化，q為單粒子的電荷，則 =幾率密度(w)； dV= dV的幾率； q=電荷密度()； qdV=dV的電荷。,幾率流密度（J）含義=單位時(shí) 間垂直流過(guò)單位面積幾率。 J公式=？ 先介紹幾率的連續(xù)方程。,一、幾率的連續(xù)方程與幾率流密度 類(lèi)比：已知電荷有連續(xù)方程： 其中，電荷密度, 電流密度。,若從數(shù)學(xué)上能推出如下公式： 通過(guò)類(lèi)比，就可定義為幾率流密度J， 這個(gè)方程也就是幾

9、率的連續(xù)方程。,下面推導(dǎo)這個(gè)公式 ：,在非相對(duì)論情況下，實(shí)物粒子沒(méi)有產(chǎn)生和甄滅，所以，在隨時(shí)間的演化過(guò)程中，粒子數(shù)目保持不便。對(duì)一個(gè)粒子來(lái)說(shuō)，在全空間中找到粒子的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間變化, 即:,薛定諤方程為: (1) 對(duì)上述方程取復(fù) 共軛得 (2),由 式得:,令 J= 則有:,定義：幾率流密度 J= 得幾率的連續(xù)方程：,二、幾率守恒定律 對(duì)幾率的連續(xù)方程： 兩邊對(duì)一個(gè)封閉的體積V積分，并利用高斯公式，得：,表示：左=體積V內(nèi)單位時(shí)間幾率的增加量=右=單位時(shí)間從體積外流向體積內(nèi)的幾率量，這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價(jià)的。 幾率守恒定律表明幾率不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空

10、消失。,三、質(zhì)量、電荷守恒定律 1mW：質(zhì)量密度，mJ：質(zhì)量流密度。 質(zhì) 量守恒定律,2qW：電荷密度，qJ：電流密度。 電荷守恒定律,四、波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)，單值，有限。 單值與有限，由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義所定。， 連續(xù)，由幾率的連續(xù)方程所確定。 另外，一般情況下，還要求波函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。,說(shuō)明： 幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。,哥廷根：數(shù)學(xué)與物理結(jié)合是哥廷根的一個(gè)優(yōu)良傳統(tǒng).玻恩是代表人物,2.5 定態(tài)薛定諤方程,一定態(tài)薛定諤方程 條件：V（r,t）=V(r

11、)， 與t無(wú)關(guān)。 用分離變量法, 令=(r)f(t)，代入薛定諤方程，得兩個(gè)方程： 此稱(chēng)定態(tài)薛定諤方程,整個(gè)定態(tài)波函數(shù)形式： 特點(diǎn)： A. 波函數(shù)由空間部分函數(shù)與時(shí)間部分函數(shù)相乘； B時(shí)間部分函數(shù)是確定的，為： 定態(tài)波函數(shù)幾率密度W與t無(wú)關(guān)，幾率分布不隨時(shí)間而變，因此稱(chēng)為定態(tài)。 重點(diǎn)要掌握如何用定態(tài)薛定諤方程求解問(wèn)題。,二、本征方程、本征函數(shù)與本征值,算符 本征方程： ：本征值，有多個(gè)，甚至無(wú)窮多個(gè)。 ：本征值為的本征函數(shù)。也有多個(gè)，甚至無(wú)窮多個(gè)，有時(shí)一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)多個(gè)不同的本征函數(shù)，這稱(chēng)為簡(jiǎn)并。若一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)的不同本征函數(shù)數(shù)目為N，則稱(chēng)N重簡(jiǎn)并。,上述用分離變量得到兩個(gè)方程 都是本征方程：

12、 （1） 或 其中：,（2） 或 其中： 稱(chēng)為定態(tài)哈密頓算符。,定態(tài)薛定諤方程就是的本征方程。 薛定諤方程就可簡(jiǎn)寫(xiě)成：,三、 定態(tài)情況下的薛定諤方程一般解,設(shè)定態(tài)薛定諤方程的本征值為En, 本征函數(shù)為 ， 定態(tài)波函數(shù)為 它是定態(tài)情況下的薛定諤方程： 的一個(gè)解。,定態(tài)情況下的薛定諤方程的一般解，是所有定態(tài)波函數(shù)n的線(xiàn)性迭加：,說(shuō)明： 1、定態(tài)薛定諤方程或不含時(shí)的薛定諤方程是能量本征方程，E就稱(chēng)為體系的能量本征值（energy eigenvalue），而相應(yīng)的解 稱(chēng)為能量的本征函數(shù)（energy eigenfunction）。 2、 是體系的哈密頓量算符，當(dāng)不顯含t時(shí)，體系的能量是收恒量，可用分離

13、變量。 3、解定態(tài)薛定諤方程，關(guān)鍵是寫(xiě)出哈密頓量算符。,求解問(wèn)題的思路： 1. 寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代入方程 2. 用分離變量法求解 3. 用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù) 只有E取某些特定值時(shí)才有解,4、討論解的物理意義,秋水文章不染塵 風(fēng)骨超常倫,2.7 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子能量的一般性質(zhì),一維定態(tài)薛定諤方程,求定態(tài)問(wèn)題：,一維：,歸一化條件，波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，邊界條件。 U（x）*=U（x），即U（x）取值。,一維問(wèn)題的一般性質(zhì),定理1：設(shè) 是方程（1）的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量本征值是E，則 也是方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量也是E。 證：方程（1）取復(fù)共軛，注意E取實(shí)值， ，容易證明

14、。 如果對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值E，方程（1）的解無(wú)簡(jiǎn)并，則可取為實(shí)解。,定理2：對(duì)應(yīng)能量的某個(gè)本征值E，總可以找到方程（1）的一組實(shí)解，凡是屬于E的任何解，總可以表示為這一組實(shí)解的線(xiàn)性疊加。 證：如果 是實(shí)解 如果 是復(fù)解 ， 是方程（1）的解， 且： 和 也是方程（1）的解，屬于能量E。均為實(shí)解。 和 均可以表示為 和 的線(xiàn)形疊加。,定理3：設(shè)U（x）具有空間反射不變性， U（-x）=U（x）。如果 是方程（1）的對(duì)應(yīng)能量的本征值E的解，則 也是方程（1）對(duì)應(yīng)能量E的解。 證（略）,定理4：設(shè) ，則對(duì)應(yīng)任何一個(gè)能量本征值E，總可以找到方程（1）的一組解，而屬于能量本征值E的任何解，都可以用它

15、來(lái)展開(kāi)。 證： 構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) 和 均為方程（1）的解。 和 均可以表示為上述兩個(gè)函數(shù)的疊加。,定理5：對(duì)于階梯性方位勢(shì)， 有限，則能量本征函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的。,定理6：對(duì)于一維粒子，設(shè) 與 均為方程（1）的屬于同一能量的E的解，則：,定理7：設(shè)粒子在規(guī)則勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，如存在束縛態(tài)，則必定是不簡(jiǎn)并的。 束縛態(tài)（bound state）指粒子局限在有限空間中。,2.7 一維(無(wú)限深)勢(shì)阱,一、一維勢(shì)阱實(shí)例 如：金屬中的自由電子。 金屬粒子有規(guī)則的排列成行，1）電子在金屬內(nèi)部勢(shì)能為常數(shù)，認(rèn)定為零；2）表面有一個(gè)勢(shì)階?？傊藭r(shí)電子勢(shì)能可以近似認(rèn)為是一個(gè)方勢(shì)阱形式。,二、微分方程 的三種形式解。

16、 這是二階常系數(shù)微分方程，有三種等價(jià)的解： a. b. c. 依方便,隨取一種形式的解.,三、 一維無(wú)限深勢(shì)阱求解 1、一維無(wú)限深勢(shì)阱 一個(gè)粒子處在這樣勢(shì)阱 內(nèi),其質(zhì)量為. 具體例子: 金屬中電子可以 看成處在有限深勢(shì)阱內(nèi).,V(x) -a 0 a,1. 2、一維無(wú)限深勢(shì)阱的薛定諤方程與求解. 這是定態(tài)問(wèn)題, 只需解出定態(tài)波函數(shù)n與定態(tài)能量En即可. 定態(tài)薛定諤方程:,分區(qū)求解, 再利用波函數(shù)連續(xù)條件,求出各 個(gè)系數(shù),本征波函數(shù)與能量本征值. 定態(tài)波函數(shù): n=偶數(shù)； 或者， n=奇數(shù)。,可合并為一個(gè)式子: 由歸一化定出,為 總定態(tài)波函數(shù)為:,能量本征值 n=1,2,3, 1. 3、波函數(shù)與幾

17、率分布圖(P37圖8, 圖9),-a 0 a 圖 8 -a 0 a 圖 9,每一態(tài)n可看成向x方向傳播與向-x方向傳播的二列平面波合成的駐波。 利用駐波條件也可得量子化能量公式。,駐波條件：2a=n/2, n=1,2,3, 得=4a/n. E=p2/2=h2/(22) =22n2/(8a2),n=1,2,3,. 1. 4、勢(shì)阱坐標(biāo)不同時(shí)的波函數(shù)與能量 A、勢(shì)阱從02a. 波函數(shù)（空間部分）為,能量公式不變。 B、勢(shì)阱從0a. 波函數(shù)（空間部分）為,能量 （此即書(shū)上52頁(yè)習(xí)題2.3解。今后通常都用B的勢(shì)阱坐標(biāo)，故其波函數(shù)與能量要用B的波函數(shù)與能量）。,四、 宇稱(chēng),a) 空間反演算符定義：將的操作

18、叫空間 反演算符。即： 宇稱(chēng)定義： 則稱(chēng)波函數(shù)（r,t）具有宇稱(chēng)。 在一維情況下，宇稱(chēng)的奇偶性與函數(shù)的奇偶 性是一致的。,b) 若一維勢(shì)能是對(duì)稱(chēng)的，即V（x）=V(-x), 則其波函數(shù)一定具有宇稱(chēng)（見(jiàn)P52習(xí)題2.6）。 例如，一維無(wú)限深勢(shì)阱，勢(shì)阱坐標(biāo)為-aa, 勢(shì)能是對(duì)稱(chēng)的，則其波函數(shù)具有宇稱(chēng)， n=偶數(shù)，奇宇稱(chēng)；,n=奇數(shù)，偶宇稱(chēng)。 宇稱(chēng)是一個(gè)十分重要的物理概念。傳統(tǒng)認(rèn)為高能物理中某一物理過(guò)程宇稱(chēng)是守恒的。楊振寧與李政道發(fā)現(xiàn)了弱作用下宇稱(chēng)不守恒，并被吳健雄所做實(shí)驗(yàn)證實(shí)，從而獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。,四、半無(wú)限深勢(shì)阱（關(guān)洪p47）,V(x) -a 0 a,Ex：2.3， 7個(gè)定理的證明； 有限深勢(shì)阱

19、； 半無(wú)限深勢(shì)阱。,五、有限深方勢(shì)阱(曾教程p34),V(x) -a 0 a,2.7 線(xiàn)性諧振子,什么叫諧振子？彈簧振動(dòng)、單擺就是諧振子，它們的位移或角位移滿(mǎn)足方程： 諧振子在物理中很重要，很多物理問(wèn)題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個(gè)原子的微振動(dòng)，就可以看成在各自平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。雙原子分子的振動(dòng)可化為諧振子。 這節(jié)介紹求解線(xiàn)性諧振子（一維）的定態(tài)薛定諤方程，解出波函數(shù)與能量，并作些討論。,經(jīng)典諧振子： 能量：E= , 勢(shì)能= 量子能量：E=(n+1/2)h,n=0,1,2,. 一、線(xiàn)性諧振子的定態(tài)薛定諤方程 勢(shì)能V（x）= 與t無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。 定態(tài)薛定諤方程：,先作簡(jiǎn)化，引入無(wú)

20、量綱變量 =x, = , 令=2E/。 （自己推導(dǎo)） 二 方程的求解 思路：先求在時(shí)的漸近解形式，再在 漸近解基礎(chǔ)上提出一般解的形式，再求解。,定態(tài)薛定諤方程簡(jiǎn)化為：,1求時(shí)的漸近解形式 方程： 其解： 2一般解的形式： 代入原方程，得H（）應(yīng)滿(mǎn)足的方程： 這是厄米方程，要有合理的解，必須=2n+1, n=0,1, 其解為： ，稱(chēng)厄米多項(xiàng)式。 厄米方程求解過(guò)程見(jiàn)P248附錄2。 波函數(shù)為：,歸一化系數(shù): Nn= 厄米多項(xiàng)式 A 前幾個(gè)厄米多項(xiàng)式見(jiàn)P41。 B 迭推公式： （1） （2） 由得： 由得：,能量：由=2n+1與=2E/得： En=(n+1/2)h,n=0,1,2,. 當(dāng)n=0時(shí)，E

21、0=（1/2）h，稱(chēng)為零點(diǎn)能。 即使在絕對(duì)零度下，零點(diǎn)能還要存在，這是量子效應(yīng)，已被許多實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。這是經(jīng)典物理所沒(méi)有的。,b.波函數(shù)： n=0,1,2,. 整個(gè)波函數(shù)： 能量：,三 諧振子的幾率分布 前6個(gè)波函數(shù)的曲線(xiàn)見(jiàn)P42圖12； 前6個(gè)波函數(shù)模平方的曲線(xiàn)見(jiàn)P43圖13。 說(shuō)明：1.圖13上豎虛線(xiàn)表示與量子能量相當(dāng)?shù)慕?jīng)典諧振子的振幅處。A= 2與經(jīng)典諧振子幾率分布比較 經(jīng)典諧振子幾率： ， 其曲線(xiàn)就是圖13中的U型虛線(xiàn),結(jié)論：1. 在經(jīng)典振幅之外，仍有粒子出現(xiàn)，這也是量子效應(yīng)。 2從前幾個(gè)波函數(shù)曲線(xiàn)看，量子與經(jīng)典沒(méi)有什么相似，但當(dāng)n很大時(shí)，量子的平均結(jié)果與經(jīng)典曲線(xiàn)相似。 3.熟記有關(guān)結(jié)論

22、。,四、S維各項(xiàng)同性諧振子,勢(shì)函數(shù)形式為： 其中：,波函數(shù)形式： 例如：二維線(xiàn)形諧振子： U=1/2k（x2+y2）， 三維線(xiàn)形諧振子：U=1/2k（x2+y2+z2）。,五、位移諧振子,帶電荷q的諧振子處于均勻外電場(chǎng)中 求能級(jí)和波函數(shù)。 位移諧振子的勢(shì)能：,波函數(shù)：,六、耦合諧振子（對(duì)角化解耦）,耦合諧振子： 二次性化為平方,Summary: 1、由于諧振子勢(shì)具有空間反射不變性，按定理3的推論， 必有確定的宇稱(chēng)。 可證： 2、基態(tài)：能量： 并不為零，稱(chēng)為零點(diǎn)能（zero-point energy）。 是微觀(guān)粒子的波動(dòng)-粒子兩重性的表現(xiàn)。 處于基態(tài)的諧振子在空間的概率分布是一個(gè)高斯型分布，在原

23、點(diǎn)處找到粒子的概率最大。按經(jīng)典力學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，基態(tài)諧振子只允許在的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，而屬于經(jīng)典,禁區(qū)，但按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)Ｗ佑幸欢ǜ怕侍幱诮?jīng)典禁區(qū)（量子效應(yīng)），可以計(jì)算此概率（考研究生題）。 3、能量本征值隨量子數(shù)n的變化不但是斷續(xù)的，而且是等間距的，間距只和振子的固有頻率有關(guān)。 4、“能量量子化”和“零點(diǎn)能存在”是量子振子能量不同于經(jīng)典振子能譜的兩大特點(diǎn)。均是波動(dòng)性的體現(xiàn)。 5、熟練掌握本節(jié)內(nèi)容。 6、“突然近似”，諧振子：k突然變成2k；無(wú)限勢(shì)阱： a突然變成2a。,習(xí)題：2.5，2.6，2.7,諧振子,2.8 勢(shì)壘貫穿,勢(shì)壘貫穿能量低于勢(shì)壘高度的粒子有一定幾率穿過(guò)勢(shì)壘。 例：勢(shì)壘貫穿現(xiàn)象金屬電子的熱發(fā)射-電子有冷發(fā)射：如果給金屬加上一個(gè)外電場(chǎng)（約1000000V/CM），使金屬成為陰極，則該電場(chǎng)會(huì)使電子釋放出來(lái)而形成電流，這種現(xiàn)象叫金屬電子的冷發(fā)射。,應(yīng)用: 1973年:固體中的隧道效應(yīng), 半導(dǎo)體中的隧道效應(yīng). 約朔夫森, 江琦, 迦埃非. 1986年:設(shè)計(jì)世界上第一架電子顯微鏡,設(shè)計(jì)隧道 效應(yīng)顯微鏡. 魯斯卡, 賓尼(德國(guó)),羅雷爾因(瑞士). 1997年：量子隧道效應(yīng)。,經(jīng)典物理無(wú)法理解勢(shì)壘貫穿。 ETV，TEV0，不可能 . 本節(jié)介紹量子力學(xué)如何解釋勢(shì)壘貫穿，以及