1、北京市西城區(qū)2012屆高三4月第一次模擬考試試題 數(shù) 學(xué)（文科） 2012.4第卷（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1已知集合，那么（ ）（A）（B）（C）（D）2執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值為（ ）（A）（B）（C）（D）3若，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A）（B）（C）（D）4如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限5已知正六棱柱的底面邊長和側(cè)棱長均為，其三視圖中的俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積是（ ）（A）（B）（

2、C）（D）6若實(shí)數(shù)，滿足條件 則的最大值為（ ）（A）（B）（C）（D）7設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為則“”是“”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件8已知集合，其中，且.則中所有元素之和是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9. 已知向量，.若，則實(shí)數(shù)_.10. 某年級名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛诿肱c秒之間將測試結(jié)果分成組：，得到如圖所示的頻率分 布直方圖如果從左到右的個小矩形的面積之比為，那么成績在的學(xué)生人數(shù)是_11. 函數(shù)的最小正周期為_12. 圓的圓心到直線的距離是_

3、. 13. 已知函數(shù) 則的零點(diǎn)是_；的值域是_14. 如圖，已知拋物線及兩點(diǎn)和，其中.過，分別作軸的垂線，交拋物線于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，此時就稱，確定了.依此類推，可由，確定，.記，.給出下列三個結(jié)論： 數(shù)列是遞減數(shù)列； 對，； 若，則.其中，所有正確結(jié)論的序號是_ 三、解答題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 15.（本小題滿分13分）在中，已知 （）求角； （）若，的面積是，求16.（本小題滿分13分）某校高一年級開設(shè)研究性學(xué)習(xí)課程，（）班和（）班報名參加的人數(shù)分別是和現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽取若干名學(xué)生組成研究性學(xué)習(xí)小組，已知從（）班抽取了名同學(xué)（）求研

4、究性學(xué)習(xí)小組的人數(shù)；（）規(guī)劃在研究性學(xué)習(xí)的中、后期各安排次交流活動，每次隨機(jī)抽取小組中名同學(xué)發(fā)言求次發(fā)言的學(xué)生恰好來自不同班級的概率17（本小題滿分14分）如圖，矩形中，分別在線段和上，將矩形沿折起記折起后的矩形為，且平面平面（）求證：平面；（）若，求證：； （）求四面體體積的最大值 18.（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，一個焦點(diǎn)為（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)，都在以點(diǎn)為圓心的圓上，求的值19.（本小題滿分13分）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上（點(diǎn)在第一象限），記，梯形面積為 （）求面積以為自變量的函數(shù)式；（）若，其中為常數(shù)，且，求的最大值20.（本小題滿分

5、13分）對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且.這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時變換結(jié)束 （）試問經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；（）設(shè)，若，且的各項(xiàng)之和為（）求，；（）若數(shù)列再經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求的最小值，并說明理由 數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2012.4一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分

6、. 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. 和，； 14. . 注：13題第一問2分，第二問3分; 14題少選1個序號給2分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15.（本小題滿分13分） （）解：由，得 3分所以原式化為 4分 因?yàn)?，所?， 所以 6分 因?yàn)椋?所以 7分 （）解：由余弦定理，得 9分 因?yàn)?， 所以 11分因?yàn)?， 所以 . 13分 16.（本小題滿分13分）（）解：設(shè)從（）班抽取的人數(shù)為，依題意得 ，所以，研究性學(xué)習(xí)小組的人數(shù)為 5分（）設(shè)研究性學(xué)習(xí)小組中（）班的人為，（）班的人為 次交流活動中，每次

7、隨機(jī)抽取名同學(xué)發(fā)言的基本事件為：，共種 9分 次發(fā)言的學(xué)生恰好來自不同班級的基本事件為：，共種 12分 所以次發(fā)言的學(xué)生恰好來自不同班級的概率為 13分17.（本小題滿分14分）（）證明：因?yàn)樗倪呅?，都是矩形?所以 ， 所以 四邊形是平行四邊形，2分 所以 ， 3分 因?yàn)?平面，所以 平面 4分（）證明：連接，設(shè)因?yàn)槠矫嫫矫?，且?所以 平面， 5分所以 6分 又 ， 所以四邊形為正方形，所以 7分 所以 平面， 8分 所以 9分 （）解：設(shè)，則，其中由（）得平面，所以四面體的體積為 11分所以 13分當(dāng)且僅當(dāng)，即時，四面體的體積最大 14分18.（本小題滿分14分）（）解：設(shè)橢圓的半焦距為

8、，則 1分 由， 得 ， 從而4分 所以，橢圓的方程為 5分（）解：設(shè)將直線的方程代入橢圓的方程，消去得 7分由，得，且 9分設(shè)線段的中點(diǎn)為，則， 10分由點(diǎn)，都在以點(diǎn)為圓心的圓上，得， 11分即 ， 解得 ，符合題意 13分所以 14分19.（本小題滿分13分）（）解：依題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1分點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程，解得，舍去 2分所以 4分 由點(diǎn)在第一象限，得所以關(guān)于的函數(shù)式為 ，5分（）解：由 及，得 6分記，則 8分 令，得 9分 若，即時，與的變化情況如下：極大值所以，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為 11分 若，即時，恒成立，所以，的最大值為 13分 綜上，時，的最大值為；

9、時，的最大值為 20.（本小題滿分13分）（）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形 3分（）解：（）因?yàn)榈母黜?xiàng)之和為，且， 所以為的最大項(xiàng)， 所以最大，即，或 5分 當(dāng)時，可得 由，得，即，故7分 當(dāng)時，同理可得 ， 8分 （）方法一：由，則經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列分別為：；由此可見，經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，與數(shù)列“結(jié)構(gòu)”完全相同，但最大項(xiàng)減少12因?yàn)?，所以，?shù)列經(jīng)過次“變換”后得到的數(shù)列為接下來經(jīng)過“變換”后得到的數(shù)列分別為：；，從以上分析可知，以后重復(fù)出現(xiàn)，所以數(shù)列各項(xiàng)和不會更小所以經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，的最小值為 13分方法二：若一個數(shù)列有三項(xiàng)，且最小項(xiàng)為，較大兩項(xiàng)相差，則稱此數(shù)列與數(shù)列 “結(jié)構(gòu)相同”若數(shù)列的三項(xiàng)為，則無論其順序如何，經(jīng)過“變換”得到的數(shù)列的三項(xiàng)為(不考慮順序) 所以與結(jié)構(gòu)相同