1、高 等 代 數(shù)教 案秦文釗一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱第二章 1引言授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解行列式的背景教學(xué)要求要求學(xué)生熟練掌握二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則教學(xué)重點(diǎn)二、三元線性方程組的計(jì)算公式，二、三級(jí)行列式的對(duì)角線計(jì)算法則教學(xué)難點(diǎn)二、三元線性方程組的計(jì)算公式教學(xué)方法與手段啟發(fā)式 講練相結(jié)合作業(yè)與思考題無閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)解方程是代數(shù)中的一個(gè)基本的問題，特別是在中學(xué)所學(xué)代數(shù)中，解方程占有

2、重要地位.這一章和下一章主要討論一般的多元一次方程組，即線性方程組.一、對(duì)于二元線性方程組當(dāng)時(shí)，此方程組有唯一解，即我們稱為二級(jí)行列式，用符號(hào)表示為.于是上述解可以用二級(jí)行列式敘述為：當(dāng)二級(jí)行列式時(shí)，該方程組有唯一解，即.二、對(duì)于三元線性方程組有相仿的結(jié)論.設(shè)有三元線性方程組稱代數(shù)式為三級(jí)行列式，用符號(hào)表示為：二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié).當(dāng)三級(jí)行列式時(shí)，上述三元線性方程組有唯一解，解為其中 .三、元線性方程組是否也有類似的結(jié)論呢？為此，首先給出級(jí)行列式的定義并討論它的性質(zhì)，最后來解決這一問題，這是本章的主要內(nèi)容.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱2排列授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握有關(guān)排列的相關(guān)知識(shí)教學(xué)要求要求學(xué)生掌握有關(guān)排列的基本概念、并能熟練掌握排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定。教學(xué)重點(diǎn)有關(guān)排列的基本概念、排列的奇偶性。教學(xué)難點(diǎn)排列逆序數(shù)的計(jì)算與奇偶性的確定教學(xué)方法與手段講授法作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)一、排列的定義定義1 由組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)級(jí)排列.級(jí)排列的總數(shù)是.顯然也是一個(gè)級(jí)排列，這個(gè)排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來的；其它的排列或多或少地破壞自

4、然順序.定義2 在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)記為 例：排列53214的逆序數(shù)7定義3 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。應(yīng)該指出，我們同樣可以考慮由任意個(gè)不同的自然數(shù)所組成的排列，一般也稱為級(jí)排列。對(duì)這樣一般的級(jí)排列，同樣可以定義上面這些概念。二、排列的奇偶性把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到另一個(gè)排列.這樣一個(gè)變換稱為一個(gè)對(duì)換。顯然，如果連續(xù)施行再次相同的對(duì)換，那么排列就還原了。由此得知，一個(gè)對(duì)換把全部級(jí)排列兩兩配對(duì)，使每

5、兩個(gè)配成對(duì)的級(jí)排列在這個(gè)對(duì)換下互變。定理1 對(duì)換改變排列的奇偶性.這就是說，經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列.推論 在全部級(jí)排列排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有個(gè).定理2 任意一個(gè)級(jí)排列與排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變，并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性. 結(jié)論：任意兩個(gè)排列都可以經(jīng)過一系列對(duì)換互變.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱3 n級(jí)行列式授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的使學(xué)生掌握行列式的定義教學(xué)要求要求學(xué)生真正的理解行列式的定義以及行與列地位的對(duì)稱教學(xué)重點(diǎn)一般行列式的定義、行與列的地位是對(duì)稱的教學(xué)難點(diǎn)行列式的定義教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考

6、資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)一、級(jí)行列式的概念在給出級(jí)行列式的定義之前，先來看一下二級(jí)和三級(jí)行列式的定義。我們有 (1) (2)從二級(jí)和三級(jí)行列式的定義中可以看出，它們都是一些乘積的代數(shù)和，而每一項(xiàng)乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構(gòu)成的，并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成.另一方面，每一項(xiàng)乘積都帶有符號(hào).這符號(hào)是按什么原則決定的呢？在三級(jí)行列式的展開式(2)中，項(xiàng)的一般形式可以寫成 (3)其中是1，2，3的一個(gè)排列.可以看出

7、，當(dāng)是偶排列時(shí).對(duì)應(yīng)的項(xiàng)在(2)中帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)帶有負(fù)號(hào). 定義4 級(jí)行列式 (4)等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積 (5) 的代數(shù)和，這里是的一個(gè)排列，每一項(xiàng)(5)都按下面規(guī)則帶有符號(hào)；當(dāng)是偶排列時(shí)，(5)帶有正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)，(5)帶有負(fù)號(hào).這一定義可寫成二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié) (6) 這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.定義表明，為了計(jì)算級(jí)行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素構(gòu)成的乘積.把構(gòu)成這些乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序，然后由列指標(biāo)所成的排列的奇偶性來決定這一項(xiàng)的符號(hào).由定義看出，級(jí)行列式是由項(xiàng)組成的.例1 計(jì)算行列式.例2 計(jì)算上三角形行列式.

8、 (7) . (8) 這個(gè)行列式就等于主對(duì)角線（從左上角到右下角這條對(duì)角線）上元素的乘積.特別主對(duì)角線以外的元素全為零的行列式稱為對(duì)角形行列式.對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積.容易看出，當(dāng)行列式的元素全是數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它的值也是數(shù)域中的一個(gè)數(shù).二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)二、行列式的性質(zhì)在行列式的定義中，為了決定每一項(xiàng)的正負(fù)號(hào)，把元素按行指標(biāo)排起來.事實(shí)上，數(shù)的乘法是交換的，因而這些元素的次序是可以任意寫的，一般地，級(jí)行列式中的項(xiàng)可以寫成, （11） 其中是兩個(gè)級(jí)排列.利用排列的性質(zhì)，不難證明，(11)的符號(hào)等于 (12) 按(12)來決定行列式中每一項(xiàng)的符號(hào)的好處在于

9、，行指標(biāo)與列指標(biāo)的地位是對(duì)稱的，因而為了決定每一項(xiàng)的符號(hào)，同樣可以把每一項(xiàng)按列指標(biāo)排起來，于是定義又可以寫成. (15) 由此即得行列式的下列性質(zhì)：性質(zhì)1 行列互換，行列式不變.即. (16) 性質(zhì)1表明，在行列式中行與列的地位是對(duì)稱的，因之凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱4 n級(jí)行列式的性質(zhì)授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)要求要求學(xué)生能熟練掌握行列式性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)行列式性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞

10、，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題，也是一個(gè)很復(fù)雜的問題.因此有必要進(jìn)一步討論行列式的性質(zhì).利用這些性質(zhì)來簡化行列式的計(jì)算.在行列式的定義中，雖然每一項(xiàng)是個(gè)元素的乘積，但是由于這個(gè)元素是取自不同的行與列，所以對(duì)于某一確定的行中個(gè)元素(譬如)來說，每一項(xiàng)都含有其中的一個(gè)且只含有其中的一個(gè)元素.因之，級(jí)行列式的項(xiàng)可以分成組，第一組的項(xiàng)都含有，第二組的項(xiàng)都含有等等.再分別把行的元素提出來，就有 (1) 其中代表那些含有的項(xiàng)在提出公因子之后的代數(shù)

11、和(至于究竟是哪一些項(xiàng)的和暫且不管，到6 再來討論).從以上討論可以知道，中不再含有第行的元素，也就是全與行列式中第行的元素?zé)o關(guān).由此即得. 性質(zhì)2 這就是說，一行的公因子可以提出去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.令，就有如果行列式中一行為零，那么行列式為零.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)性質(zhì)3 .這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行一樣.性質(zhì)3顯然可以推廣到某一行為多組數(shù)的和的情形.性質(zhì)4 如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零.所謂兩行相同就是說兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等.性質(zhì)5

12、 如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零.性質(zhì)6 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變.性質(zhì)7 對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).例1 計(jì)算級(jí)行列式例2 計(jì)算行列式.由于上(下)三角形行列式容易計(jì)算，因此計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是利用行列式的性質(zhì)，把行列式化成上(下)三角形行列式進(jìn)行計(jì)算.例3 一個(gè)級(jí)行列式，假設(shè)它的元素滿足 , (4) 證明，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱5行列式的計(jì)算授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)要求通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握矩陣的初等變換在行列式的計(jì)算中的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)矩陣

13、的初等變換、行列式計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)行列式的計(jì)算教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)在3我們看到，一個(gè)上三角形行列式就等于它主對(duì)角線上元素的乘積這個(gè)計(jì)算是很簡單的.下面我們想辦法把任意的級(jí)行列式化為上三角形行列式來計(jì)算.定義5 由個(gè)數(shù)排成的行(橫的) 列(縱的)的表 (1)稱為一個(gè)矩陣.數(shù),稱為矩陣(1)的元素，稱為元素的行指標(biāo)，稱為列指標(biāo).當(dāng)一個(gè)矩陣的元素全是某一數(shù)域中的數(shù)時(shí)，它就稱為這一數(shù)域上的矩陣.矩

14、陣也稱為級(jí)方陣.一個(gè)級(jí)方陣定義一個(gè)級(jí)行列式稱為矩陣的行列式，記作.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)定義6 所謂數(shù)域上矩陣的初等行變換是指下列三種變換：1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行；2）把矩陣的某一行的倍加到另一行，這里是中任意一個(gè)數(shù)；3) 互換矩陣中兩行的位置.一般說來，一個(gè)矩陣經(jīng)過初等行變換后，就變成了另一個(gè)矩陣.當(dāng)矩陣經(jīng)過初等行變換變成矩陣時(shí)，我們寫成若一個(gè)矩陣的任一行從第一個(gè)元素起至該行的第一個(gè)非零元素所在的下方全為零，則稱這樣的矩陣為階梯形矩陣.可以證明，任意一個(gè)矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣.現(xiàn)在回過來討論行列式的計(jì)算問題.一個(gè)級(jí)行列式可看成是由一個(gè)級(jí)方陣

15、決定的，對(duì)于矩陣可以作初等行變換，而行列式的性質(zhì)2，6，7正是說明了方陣的初等行變換對(duì)于行列式的值的影響.每個(gè)方陣總可以經(jīng)過一系列的初等行變換變成階梯形方陣.由行列式性質(zhì)2，6，7，對(duì)方陣每作一次初等行變換，相應(yīng)地，行列式或者不變，或者差一非零的倍數(shù)，也就是顯然，階梯形方陣的行列式都是上三角形的，因此是容易計(jì)算的.例 計(jì)算不難算出，用這個(gè)方法計(jì)算一個(gè)級(jí)的數(shù)字行列式只需要做次乘法和除法.特別當(dāng)比較大的時(shí)候，這個(gè)方法的優(yōu)越性就二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)更加明顯了.同時(shí)還應(yīng)該看到，這個(gè)方法完全是機(jī)械的，因而可以用電子計(jì)算機(jī)按這個(gè)方法來進(jìn)行行列式的計(jì)算.對(duì)于矩陣同樣可以定義初等列變換，

16、即1）以中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一列；2）把矩陣的某一列的倍加到另一列，這里是中任意一個(gè)數(shù)；3) 互換矩陣中兩列的位置.為了計(jì)算行列式，也可以對(duì)矩陣進(jìn)行初等列變換.有時(shí)候，同時(shí)用初等行變換和列變換，行列式的計(jì)算可以更簡單些.矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱6行列式按一行(列)展開授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí),可以以使行列式的計(jì)算更簡化教學(xué)要求要求學(xué)生會(huì)應(yīng)用行列式展開性質(zhì)來計(jì)算行列式教學(xué)重點(diǎn)行列式按一行展開的性質(zhì)、展開性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)展開性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，

17、高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)在4看到，對(duì)于級(jí)行列式，有. (1)現(xiàn)在來研究這些,究竟是什么.三級(jí)行列式可以通過二級(jí)行列式表示：. (2) 定義7 在行列式中劃去元素所在的第行與第列，剩下的個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)行列式 (3)稱為元素的余子式，記作下面證明. (4) 為此先證明級(jí)行列式與級(jí)行列式的下面這個(gè)關(guān)系，二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié). (5) 其次,在(1)中令即可得證定義8 上面所談到的稱為元素的代數(shù)余子式.這樣，公式(1)就是說，行列式等于某一行的元素分

18、別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.在(1)中，如果令第行的元素等于另外一行，譬如說，第行的元素，也就是于是右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，應(yīng)該為零，這就是說，在行列式中，一行的元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.定理3 設(shè)表示元素的代數(shù)余子式，則下列公式成立： 二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié) (6) (7)用連加號(hào)簡寫為 在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用展開式(6)或(7)不一定能簡化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)級(jí)行列式的計(jì)算換成個(gè)()級(jí)行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用公式(6)或(7)才有意義.但這兩個(gè)公式在理論上是重要的.例1 計(jì)算行列式例2

19、行列式 (8)稱為級(jí)的范德蒙德(Vandermonde)行列式.證明對(duì)任意的，級(jí)范德蒙德行列式等于這個(gè)數(shù)的所有可能的差的乘積.用連乘號(hào)，這個(gè)結(jié)果可以簡寫為.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié).由這個(gè)結(jié)果立即得出，范德蒙德行列式為零的充要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.例3 證明.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱7 Cramer法則授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解教學(xué)重點(diǎn)Gramer法則的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)Gramer法則的應(yīng)用教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀

20、書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)現(xiàn)在應(yīng)用行列式解決線性方程組的問題.在這里只考慮方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形.定理4 如果線性方程組 (1)的系數(shù)矩陣 (2)的行列式那么線性方程組(1)有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為, (3)其中是把矩陣中第列換成常數(shù)項(xiàng)所成的矩陣的行列式，即 (4)定理中包含著三個(gè)結(jié)論：1）方程組有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)給出.這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的，因此證明的步驟是：1. 把代入方程組，驗(yàn)證它確是

21、解.2. 假如方程組有解，證明它的解必由公式(3)給出.定理4通常稱為克拉默法則.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)例1 解方程組應(yīng)該注意，定理4所討論的只是系數(shù)矩陣的行列式不為零的方程組，它只能應(yīng)用于這種方程組；至于方程組的系數(shù)行列式為零的情形，將在下一章的一般情形中一并討論.常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組.顯然齊次方程組總是有解的，因?yàn)榫褪且粋€(gè)解，它稱為零解.對(duì)于齊次線性方程組，我們關(guān)心的問題常常是，它除了零解以外，還有沒有其它解，或者說，它有沒有非零解.對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克拉默法則就有定理5 如果齊次線性方程組 (10)的系數(shù)矩陣的行列

22、式，那么它只有零解.換句話說，如果方程組(10)有非零解，那么必有.例2 求在什么條件下，方程組有非零解.克拉默法則的意義主要在于它給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系，這一點(diǎn)在以后許多問題的討論中是重要的.但是用克拉默法則進(jìn)行計(jì)算是不方便的，因?yàn)榘催@一法則解一個(gè)個(gè)未知量個(gè)方程的線性方程組就要計(jì)算個(gè)級(jí)行列式，這個(gè)計(jì)算量是很大的.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱8 Laplace定理行列式的乘法規(guī)則授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解Laplace定理行列式的乘法規(guī)則教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生了解Laplace定理行列式的乘法規(guī)則教學(xué)重點(diǎn)Laplace定理教學(xué)難點(diǎn)Laplace定理教

23、學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)一、拉普拉斯定理定義9 在一個(gè)級(jí)行列式中任意選定行列()，位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來的次序組成一個(gè)級(jí)行列式，稱為行列式的一個(gè)級(jí)子式.在中劃去這行列后余下的元素按照原來的次序組成的級(jí)行列式稱為級(jí)子式的余子式.從定義立刻看出，也是的余子式.所以和可以稱為的一對(duì)互余的子式.例1 在四級(jí)行列式中選定第一、三行，第二、四列得到一個(gè)二級(jí)子式：,的余子式為.例2 在五級(jí)

24、行列式中和是一對(duì)互余的子式.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)定義10 設(shè)的級(jí)子式在中所在的行、列指標(biāo)分別是，則的余子式前面加上符號(hào)后稱做的代數(shù)余子式.因?yàn)榕c位于行列式中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式的任一個(gè)子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致.定理6(拉普拉斯定理) 設(shè)在行列式中任意取定了()個(gè)行.由這行元素所組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式.例3 利用拉普拉斯定理計(jì)算行列式從這個(gè)例子來看，利用拉普拉斯定理來計(jì)算行列式一般是不方便的.這個(gè)定理主要是理論方面的應(yīng)用.二、行列式的乘積法則定理7 兩個(gè)級(jí)行列式和二、

25、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)的乘積等于一個(gè)級(jí)行列式,其中是的第行元素分別與的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和：.這個(gè)定理也稱為行列式的乘法定理.它的意義到第四章3中就完全清楚了.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱第三章線性方程組 1消元法授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握方程組的有解判別教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握方程組的有解判別教學(xué)重點(diǎn)方程組的初等變換、方程組的有解判別教學(xué)難點(diǎn)方程組的有解判別教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育

26、出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)一、線性方程組的初等變換現(xiàn)在討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為 (1) 的方程組，其中代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為線性方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng).方程組中未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)不一定相等.系數(shù)的第一個(gè)指標(biāo)表示它在第個(gè)方程，第二個(gè)指標(biāo)表示它是的系數(shù).所謂方程組(1)的一個(gè)解就是指由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組，當(dāng)分別用代入后，(1)中每個(gè)等式都變成恒等式. 方程組(1)的解的全體稱為它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.顯然，如果知道了一個(gè)線性方程組的全

27、部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)線性方程組就基本上確定了.確切地說，線性方程組(1)可以用下面的矩陣 (2)來表示.實(shí)際上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外線性方程組(1)就確定了，而采用什么文字來代表未知量當(dāng)然不是實(shí)質(zhì)性的.在中學(xué)所學(xué)代數(shù)里學(xué)過用加減消元法和代入消元法解二元、三元線性方程組.實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解線性方程組更有普遍性.下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.例如，解方程組二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)第二個(gè)方程組減去第一個(gè)方程的2倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，就變成第二個(gè)方程減去第三個(gè)方程的2倍，把第二第三兩個(gè)方程的次序互換，即得這樣，就容易求出方程組的

28、解為（9，-1，-6）.分析一下消元法，不難看出，它實(shí)際上是反復(fù)地對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所用的變換也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1. 用一非零數(shù)乘某一方程；2. 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程；3. 互換兩個(gè)方程的位置.定義1 變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.二、線性方程組的解的情形消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.下面證明，初等變換總是把方程組變成同解的方程組.下面我們來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組.對(duì)于方程組(1)，首先檢查的系數(shù).如果的系數(shù)全為零，那么方程組(1)對(duì)沒有任何限制，就可以取任何值，而方程組(1)可以看作的方程組來解.如果的系數(shù)不全為零，那么利用初

29、等二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)變換3，可以設(shè).利用初等變換2，分別把第一個(gè)方程的倍加到第個(gè)方程().于是方程組(1)就變成 (3) 其中這樣，解方程組(1)的問題就歸結(jié)為解方程組 (4) 的問題.顯然(4)的一個(gè)解，代入(3)的第一個(gè)方程就定出的值，這就得出(3)的一個(gè)解；(3)的解顯然都是(4)的解.這就是說，方程組(3)有解的充要條件為方程組(4)有解，而(3)與(1)是同解的，因之，方程組(1)有解的充要條件為方程組(4)有解.對(duì)(4)再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步步作下去，最后就得到一個(gè)階梯形方程組.為了討論起來方便，不妨設(shè)所得的方程組為 (5) 二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

30、第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)其中.方程組(5)中的“0=0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)，這時(shí)去掉它們也不影響(5)的解.而且(1)與(5)是同解的.現(xiàn)在考慮(5)的解的情況.如(5)中有方程，而.這時(shí)不管取什么值都不能使它成為等式.故(5)無解，因而(1)無解.當(dāng)是零或(5)中根本沒有“0=0”的方程時(shí)，分兩種情況：1）.這時(shí)階梯形方程組為(6) 其中.由最后一個(gè)方程開始，的值就可以逐個(gè)地唯一決定了.在這個(gè)情形，方程組(6)也就是方程組(1)有唯一的解.例1 解線性方程組2）.這時(shí)階梯形方程組為其中.把它改寫成 (7) 二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)由此可見，任給一組值，就唯

31、一地定出的值，也就是定出方程組(7)的一個(gè)解.一般地，由(7)我們可以把通過表示出來，這樣一組表達(dá)式稱為方程組(1)的一般解，而稱為一組自由未知量.例2 解線性方程組從這個(gè)例子看出，一般線性方程組化成階梯形，不一定就是(5)的樣子，但是只要把方程組中的某些項(xiàng)調(diào)動(dòng)一下，總可以化成(5)的樣子.以上就是用消元法解線性方程組的整個(gè)過程.總起來說就是，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現(xiàn)的話)去掉.如果剩下的方程當(dāng)中最后的一個(gè)等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯一的解；

32、如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無窮多個(gè)解.定理1 在齊次線性方程組中，如果，那么它必有非零解.矩陣 (10) 二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)稱為線性方程組(1)的增廣矩陣.顯然，用初等變換化方程組(1)成階梯形就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣(10)成階梯形矩陣.因此，解線性方程組的第一步工作可以通過矩陣來進(jìn)行，而從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組有解還是無解，在有解的情形，回到階梯形方程組去解.例3 解線性方程組 解：（略）一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱2 n維向量空間授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解n維向量概念、熟練掌握n維向

33、量的運(yùn)算。教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生理解n維向量概念、熟練掌握n維向量的運(yùn)算。教學(xué)重點(diǎn)n維向量概念、n維向量的運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)n維向量的運(yùn)算教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)定義2 所謂數(shù)域上一個(gè)維向量就是由數(shù)域中個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 (1) 稱為向量(1)的分量.用小寫希臘字母來代表向量.定義3 如果維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即.就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.維向量之間的基本關(guān)系是用向量的加法和數(shù)量

34、乘法表達(dá)的.定義4 向量稱為向量的和，記為由定義立即推出：交換律： . (2) 結(jié)合律： . (3) 定義5 分量全為零的向量稱為零向量，記為0;向量稱為向量的負(fù)向量，記為.顯然對(duì)于所有的，都有. (4) 二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié) . (5) (2)(5)是向量加法的四條基本運(yùn)算規(guī)律.定義6 定義7 設(shè)為數(shù)域中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為由定義立即推出：, (6) , (7) , (8) . (9) (6)(9)是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)則.由(6)(9)或由定義不難推出：, (10) , (11) . (12) 如果，那么. (13) 定義8 以數(shù)域中的數(shù)作為

35、分量的維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間.在時(shí)，3維實(shí)向量空間可以認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間.以上已把數(shù)域上全體維向量的集合組成一個(gè)有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即數(shù)域上維向量空間.向量通常是寫成一行：.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)有時(shí)也可以寫成一列：.為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同.一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱3線性相關(guān)性授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能熟練掌握線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩。教學(xué)要求通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能熟練掌握線性相關(guān)性的判定、

36、極大線性無關(guān)組及向量組的秩。教學(xué)重點(diǎn)線性組合、向量組等價(jià)、線性相關(guān)(無關(guān))等一些基本概念、線性相關(guān)性的判定、極大線性無關(guān)組及向量組的秩。教學(xué)難點(diǎn)求極大線性無關(guān)組及向量組的秩、論證向量組的等價(jià)。教學(xué)方法與手段講授法 啟發(fā)式作業(yè)與思考題閱讀書目或參考資料1.張禾瑞，郝炳新編：高等代數(shù)，高等教育出版社。2.王萼芳：高等代數(shù)，高等教育出版社。3.田孝貴等：高等代數(shù)，高等教育出版社教學(xué)后記二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)一般向量空間除只有一個(gè)零向量構(gòu)成的零空間外，都含有無窮多個(gè)向量，這些向量之間有怎樣的關(guān)系，對(duì)于弄清向量空間的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。一、線性相關(guān)與線性無關(guān)兩個(gè)向量之間最簡單的關(guān)系是成比例

37、.所謂向量與成比例就是說有一數(shù)使.定義9 向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)域中的數(shù)，使,其中叫做這個(gè)線性組合的系數(shù).例如，任一個(gè)維向量都是向量組 （1）的一個(gè)線性組合.向量稱為維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.當(dāng)向量是向量組的一個(gè)線性組合時(shí)，也說可以經(jīng)向量組線性表出.定義10 如果向量組中每一個(gè)向量都可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組就稱為可以經(jīng)向量組線性表出.如果兩個(gè)向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價(jià).二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)由定義有，每一個(gè)向量組都可以經(jīng)它自身線性表出.同時(shí)，如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，向量組可以經(jīng)向量組線性表出，那么向量組可以經(jīng)向量組

38、線性表出.向量組之間等價(jià)具有以下性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià).2）對(duì)稱性：如果向量組與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).3）傳遞性：如果向量組與等價(jià)，與等價(jià)，那么向量組與等價(jià).定義11 如果向量組中有一個(gè)向量是可以由其余的向量的線性表出，那么向量組線性相關(guān). 從定義可以看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的.向量組線性相關(guān)就表示或者(這兩個(gè)式子不一定能同時(shí)成立).在為實(shí)數(shù)域，并且是三維時(shí)，就表示向量與共線.三個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義就是它們共面.定義11向量組稱為線性相關(guān)的，如果有數(shù)域中不全為零的數(shù)，使這兩個(gè)定義在的時(shí)候是一致的.定義12 一向量組不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)

39、，使就稱為線性無關(guān)；二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)或者說，一向量組稱為線性無關(guān)，如果由可以推出由定義有，如果一向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān).換句話說，如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無關(guān).特別地，由于兩個(gè)成比例的向量是線性相關(guān)的，所以，線性無關(guān)的向量組中一定不能包含兩個(gè)成比例的向量. 定義11包含了由一個(gè)向量組構(gòu)成的向量組的情形. 單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無關(guān).不難看出，由維單位向量組成的向量組是線性無關(guān)的.具體判斷一個(gè)向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的問題可以歸結(jié)為解方程組的問題.要判斷一個(gè)向量組 (2) 是否線性相關(guān)，

40、根據(jù)定義11，就是看方程 (3) 有無非零解.(3)式按分量寫出來就是 (4) 因之，向量組線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組(4)只有零解.例1 判斷的向量是否線性相關(guān)。二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)例2 在向量空間里，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)線性無關(guān).例3 若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).從而，如果向量組(2)線性無關(guān)，那么在每一個(gè)向量上添一個(gè)分量所得到的維的向量組 (5) 也線性無關(guān).定理2 設(shè)與是兩個(gè)向量組.如果1）向量組可以經(jīng)線性表出，2） ，那么向量組必線性相關(guān).推論1 如果向量組可以經(jīng)向量組線性表出，且線性無關(guān)，那么.推論2 任意個(gè)維向量必線性相關(guān).推論3 兩個(gè)線性無關(guān)

41、的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理2的幾何意義是清楚的：在三維向量的情形，如果，那么可以由向量線性表出的向量當(dāng)然都在所在的平面上，因而這些向量是共面的，也就是說，當(dāng)時(shí)，這些向量線性相關(guān).兩個(gè)向量組與等價(jià)，就意味著它們?cè)谕黄矫嫔?二、極大線性無關(guān)組定義13 一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組，如果這二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)個(gè)部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關(guān).一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.極大線性無關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià).例4 看的

42、向量組在這里線性無關(guān)，而，所以是一個(gè)極大線性無關(guān)組.另一方面，也都是向量組的極大線性無關(guān)組.由上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關(guān)組不是唯一的.但是每一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都是等價(jià)的.定理3 一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理3表明，極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無關(guān)組的選擇無關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì).因此有定義14 向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.一向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià).由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組

43、的極大線性無關(guān)組也等價(jià).所以，等價(jià)的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無關(guān)組，且任一個(gè)線性無關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關(guān)組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零.現(xiàn)在把上面的概念與方程組的解的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系，給定一個(gè)方程組二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的向量分別是.設(shè)有另一個(gè)方程它對(duì)應(yīng)的向量為.則是的線性組合，當(dāng)且僅當(dāng)，即方程(B)是方程 的線性組合.容易驗(yàn)證，方程組的解一定滿足(B).進(jìn)一步設(shè)方程組它的方程所對(duì)應(yīng)的向量為.若可經(jīng)線性表出，則方程組的解是方程組的解.再進(jìn)一步，當(dāng)與等價(jià)時(shí)，兩個(gè)方程組同解.例5 （1）設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)；對(duì)個(gè)線性無關(guān)向量組，以上命題是否成立？（2）當(dāng)線性無關(guān)，證明也線性無關(guān)，當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，是否也線性無關(guān)？.二、課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 第 頁教 學(xué) 內(nèi) 容小結(jié)例6 設(shè)在向量組中，且每個(gè)都不能表成它的前個(gè)向量的線性組合，證明線性無關(guān).一、章（節(jié)、目）授課計(jì)劃 第 頁授課章節(jié)名稱4矩陣的秩授課時(shí)數(shù)教學(xué)目的通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)求矩陣的秩、能理解有關(guān)矩陣秩的相關(guān)理論。教學(xué)要求要求學(xué)生會(huì)求矩陣的秩、能理解有關(guān)矩陣秩的相關(guān)理論。教學(xué)重點(diǎn)矩陣的秩、矩陣